Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemfrcn0 Structured version   Unicode version

Theorem ballotlemfrcn0 28261
 Description: Value of for a reversed counting , before the first tie, cannot be zero . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m
ballotth.n
ballotth.o
ballotth.p
ballotth.f
ballotth.e
ballotth.mgtn
ballotth.i
ballotth.s
ballotth.r
Assertion
Ref Expression
ballotlemfrcn0
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,   ,,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,,)   (,,)   ()   ()   ()   ()   (,)   ()   ()   ()

Proof of Theorem ballotlemfrcn0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10904 . . . . . 6
21a1i 11 . . . . 5
3 ballotth.m . . . . . . . 8
4 ballotth.n . . . . . . . 8
5 nnaddcl 10568 . . . . . . . 8
63, 4, 5mp2an 672 . . . . . . 7
76nnzi 10898 . . . . . 6
87a1i 11 . . . . 5
9 ballotth.o . . . . . . . . 9
10 ballotth.p . . . . . . . . 9
11 ballotth.f . . . . . . . . 9
12 ballotth.e . . . . . . . . 9
13 ballotth.mgtn . . . . . . . . 9
14 ballotth.i . . . . . . . . 9
15 ballotth.s . . . . . . . . 9
163, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15ballotlemsdom 28243 . . . . . . . 8
17 elfzelz 11698 . . . . . . . 8
1816, 17syl 16 . . . . . . 7
19183adant3 1016 . . . . . 6
2019, 2zsubcld 10981 . . . . 5
213, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15ballotlemsgt1 28242 . . . . . 6
22 zltlem1 10925 . . . . . . 7
2322biimpa 484 . . . . . 6
242, 19, 21, 23syl21anc 1227 . . . . 5
2519zred 10976 . . . . . . 7
26 1re 9605 . . . . . . . 8
2726a1i 11 . . . . . . 7
2825, 27resubcld 9997 . . . . . 6
29 simp1 996 . . . . . . . 8
303, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14ballotlemiex 28233 . . . . . . . . 9
3130simpld 459 . . . . . . . 8
32 elfzelz 11698 . . . . . . . 8
3329, 31, 323syl 20 . . . . . . 7
3433zred 10976 . . . . . 6
358zred 10976 . . . . . 6
36 elfzelz 11698 . . . . . . . . . . . 12
37363ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11
38 elfzle1 11699 . . . . . . . . . . . 12
39383ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . 11
4037zred 10976 . . . . . . . . . . . 12
41 simp3 998 . . . . . . . . . . . 12
4240, 34, 41ltled 9742 . . . . . . . . . . 11
43 elfz4 11691 . . . . . . . . . . 11
442, 33, 37, 39, 42, 43syl32anc 1236 . . . . . . . . . 10
453, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15ballotlemsel1i 28244 . . . . . . . . . 10
4629, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . . 9
47 elfzle2 11700 . . . . . . . . 9
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8
49 zlem1lt 10924 . . . . . . . . 9
5019, 33, 49syl2anc 661 . . . . . . . 8
5148, 50mpbid 210 . . . . . . 7
5228, 34, 51ltled 9742 . . . . . 6
53 elfzle2 11700 . . . . . . 7
5429, 31, 533syl 20 . . . . . 6
5528, 34, 35, 52, 54letrd 9748 . . . . 5
56 elfz4 11691 . . . . 5
572, 8, 20, 24, 55, 56syl32anc 1236 . . . 4
58 fvex 5881 . . . . . . . . . 10
59 ovex 6319 . . . . . . . . . 10
6058, 59brcnv 5190 . . . . . . . . 9
6151, 60sylibr 212 . . . . . . . 8
623, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14ballotlemi 28232 . . . . . . . . . 10
6362breq1d 4462 . . . . . . . . 9
64633ad2ant1 1017 . . . . . . . 8
6561, 64mpbid 210 . . . . . . 7
66 ltso 9675 . . . . . . . . . . 11
67 cnvso 5551 . . . . . . . . . . 11
6866, 67mpbi 208 . . . . . . . . . 10
6968a1i 11 . . . . . . . . 9
703, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14ballotlemsup 28236 . . . . . . . . 9
7169, 70supub 7929 . . . . . . . 8
7271con2d 115 . . . . . . 7
7329, 65, 72sylc 60 . . . . . 6
74 fveq2 5871 . . . . . . . 8
7574eqeq1d 2469 . . . . . . 7
7675elrab 3266 . . . . . 6
7773, 76sylnib 304 . . . . 5
78 imnan 422 . . . . 5
7977, 78sylibr 212 . . . 4
8057, 79mpd 15 . . 3
8180neqned 2670 . 2
82 ballotth.r . . . . . . . . . 10
833, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 82ballotlemro 28254 . . . . . . . . 9
8483adantr 465 . . . . . . . 8
85 elfzelz 11698 . . . . . . . . 9
8685adantl 466 . . . . . . . 8
873, 4, 9, 10, 11, 84, 86ballotlemfelz 28222 . . . . . . 7
8887zcnd 10977 . . . . . 6
8988negeq0d 9932 . . . . 5
90 eqid 2467 . . . . . . 7
913, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 82, 90ballotlemfrceq 28260 . . . . . 6
9291eqeq1d 2469 . . . . 5
9389, 92bitr4d 256 . . . 4
9493necon3bid 2725 . . 3
9529, 44, 94syl2anc 661 . 2
9681, 95mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2817  crab 2821   cdif 3478   cin 3480  cif 3944  cpw 4015   class class class wbr 4452   cmpt 4510   wor 4804  ccnv 5003  cima 5007  cfv 5593  (class class class)co 6294   cmpt2 6296  cfn 7526  csup 7910  cr 9501  cc0 9502  c1 9503   caddc 9505   clt 9638   cle 9639   cmin 9815  cneg 9816   cdiv 10216  cn 10546  cz 10874  cfz 11682  chash 12383 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-sup 7911  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-rp 11231  df-fz 11683  df-hash 12384 This theorem is referenced by:  ballotlemirc  28263
 Copyright terms: Public domain W3C validator