Theorem ballotlemfrcn0 29355

Description: Value of F for a reversed counting ( R ` C ), before the first tie, cannot be zero . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2017.) (Revised by AV, 6-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
ballotth.r	|- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfrcn0	|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) =/= 0 )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I, c   E, c   i, I, c   k, J   S, k, i, c   R, i   i, J

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, k, c)   R( x, k, c)   S( x)   E( x)   F( x)   I( x)   J( x, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotlemfrcn0

Dummy variables v u y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 10965	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 e. ZZ )
2		ballotth.m	. . . . . . . 8 |- M e. NN
3		ballotth.n	. . . . . . . 8 |- N e. NN
4		nnaddcl 10628	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
5	2, 3, 4	mp2an 677	. . . . . . 7 |- ( M + N ) e. NN
6	5	nnzi 10958	. . . . . 6 |- ( M + N ) e. ZZ
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
8		ballotth.o	. . . . . . . . 9 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
9		ballotth.p	. . . . . . . . 9 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
10		ballotth.f	. . . . . . . . 9 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
11		ballotth.e	. . . . . . . . 9 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
12		ballotth.mgtn	. . . . . . . . 9 |- N < M
13		ballotth.i	. . . . . . . . 9 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
14		ballotth.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
15	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	ballotlemsdom 29337	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
16		elfzelz 11797	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
18	17	3adant3 1027	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
19	18, 1	zsubcld 11042	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ZZ )
20	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	ballotlemsgt1 29336	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 < ( ( S ` C ) ` J ) )
21		zltlem1 10986	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ ) -> ( 1 < ( ( S ` C ) ` J ) <-> 1 <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) )
22	21	biimpa 487	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ ) /\ 1 < ( ( S ` C ) ` J ) ) -> 1 <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) )
23	1, 18, 20, 22	syl21anc 1266	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) )
24	18	zred 11037	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. RR )
25		1red 9655	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 e. RR )
26	24, 25	resubcld 10044	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. RR )
27		simp1 1007	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> C e. ( O \ E ) )
28	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13	ballotlemiex 29327	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
29	28	simpld 461	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
30		elfzelz 11797	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
31	27, 29, 30	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
32	31	zred 11037	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. RR )
33	7	zred 11037	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( M + N ) e. RR )
34		elfzelz 11797	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> J e. ZZ )
35	34	3ad2ant2 1029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J e. ZZ )
36		elfzle1 11799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> 1 <_ J )
37	36	3ad2ant2 1029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 <_ J )
38	35	zred 11037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J e. RR )
39		simp3 1009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J < ( I ` C ) )
40	38, 32, 39	ltled 9780	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J <_ ( I ` C ) )
41		elfz4 11790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
42	1, 31, 35, 37, 40, 41	syl32anc 1275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
43	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	ballotlemsel1i 29338	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
44	27, 42, 43	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
45		elfzle2 11800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) <_ ( I ` C ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) <_ ( I ` C ) )
47		zlem1lt 10985	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) <_ ( I ` C ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) ) )
48	18, 31, 47	syl2anc 666	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) <_ ( I ` C ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) ) )
49	46, 48	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) )
50	26, 32, 49	ltled 9780	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) <_ ( I ` C ) )
51		elfzle2 11800	. . . . . . 7 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
52	27, 29, 51	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
53	26, 32, 33, 50, 52	letrd 9789	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) <_ ( M + N ) )
54		elfz4 11790	. . . . 5 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ZZ ) /\ ( 1 <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
55	1, 7, 19, 23, 53, 54	syl32anc 1275	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
56		biid 240	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) )
57	49, 56	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) )
58	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13	ballotlemi 29326	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) = inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
59	58	breq2d 4413	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) )
60	59	3ad2ant1 1028	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) )
61	57, 60	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
62		ltso 9711	. . . . . . . . . 10 |- < Or RR
63	62	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> < Or RR )
64	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13	ballotlemsup 29330	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. w < z /\ A. w e. RR ( z < w -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } y < w ) ) )
65	63, 64	inflb 8002	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -> -. ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) ) )
66	65	con2d 119	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , < ) -> -. ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } ) )
67	27, 61, 66	sylc 62	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> -. ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } )
68		fveq2 5863	. . . . . . . 8 |- ( k = ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) -> ( ( F ` C ) ` k ) = ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) )
69	68	eqeq1d 2452	. . . . . . 7 |- ( k = ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
70	69	elrab 3195	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } <-> ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
71	67, 70	sylnib 306	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> -. ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
72		imnan 424	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> -. ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) <-> -. ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
73	71, 72	sylibr 216	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> -. ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
74	55, 73	mpd 15	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> -. ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 )
75	74	neqned 2630	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) =/= 0 )
76		ballotth.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
77	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 76	ballotlemro 29348	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( R ` C ) e. O )
78	77	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( R ` C ) e. O )
79		elfzelz 11797	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> J e. ZZ )
80	79	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ZZ )
81	2, 3, 8, 9, 10, 78, 80	ballotlemfelz 29316	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. ZZ )
82	81	zcnd 11038	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. CC )
83	82	negeq0d 9975	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = 0 <-> -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = 0 ) )
84		eqid 2450	. . . . . . 7 |- ( u e. Fin , v e. Fin |-> ( ( # ` ( v i^i u ) ) - ( # ` ( v \ u ) ) ) ) = ( u e. Fin , v e. Fin |-> ( ( # ` ( v i^i u ) ) - ( # ` ( v \ u ) ) ) )
85	2, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 76, 84	ballotlemfrceq 29354	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) )
86	85	eqeq1d 2452	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 <-> -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = 0 ) )
87	83, 86	bitr4d 260	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
88	87	necon3bid 2667	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) =/= 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) =/= 0 ) )
89	27, 42, 88	syl2anc 666	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) =/= 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) =/= 0 ) )
90	75, 89	mpbird 236	1 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) =/= 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   {crab 2740   \ cdif 3400   i^i cin 3402   ifcif 3880   ~Pcpw 3950   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   Or wor 4753   "cima 4836   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   |-> cmpt2 6290   Fincfn 7566  infcinf 7952   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   -ucneg 9858   / cdiv 10266   NNcn 10606   ZZcz 10934   ...cfz 11781   #chash 12512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-card 8370  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-2 10665  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-hash 12513

This theorem is referenced by:  ballotlemirc  29357