Theorem ballotlemfrcn0 28261

Description: Value of F for a reversed counting ( R ` C ), before the first tie, cannot be zero . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn	|- N < M
ballotth.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
ballotth.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
ballotth.r	|- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfrcn0	|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) =/= 0 )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F, k   C, i, k   i, E, k   C, k   k, I, c   E, c   i, I, c   k, J   S, k, i, c   R, i   i, J

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, i, k, c)   R( x, k, c)   S( x)   E( x)   F( x)   I( x)   J( x, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotlemfrcn0

Dummy variables v u y w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 10904	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
2	1	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 e. ZZ )
3		ballotth.m	. . . . . . . 8 |- M e. NN
4		ballotth.n	. . . . . . . 8 |- N e. NN
5		nnaddcl 10568	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
6	3, 4, 5	mp2an 672	. . . . . . 7 |- ( M + N ) e. NN
7	6	nnzi 10898	. . . . . 6 |- ( M + N ) e. ZZ
8	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( M + N ) e. ZZ )
9		ballotth.o	. . . . . . . . 9 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
10		ballotth.p	. . . . . . . . 9 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
11		ballotth.f	. . . . . . . . 9 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
12		ballotth.e	. . . . . . . . 9 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
13		ballotth.mgtn	. . . . . . . . 9 |- N < M
14		ballotth.i	. . . . . . . . 9 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
15		ballotth.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
16	3, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	ballotlemsdom 28243	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
17		elfzelz 11698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
18	16, 17	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
19	18	3adant3 1016	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
20	19, 2	zsubcld 10981	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ZZ )
21	3, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	ballotlemsgt1 28242	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 < ( ( S ` C ) ` J ) )
22		zltlem1 10925	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ ) -> ( 1 < ( ( S ` C ) ` J ) <-> 1 <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) )
23	22	biimpa 484	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ ) /\ 1 < ( ( S ` C ) ` J ) ) -> 1 <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) )
24	2, 19, 21, 23	syl21anc 1227	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) )
25	19	zred 10976	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. RR )
26		1re 9605	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 e. RR )
28	25, 27	resubcld 9997	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. RR )
29		simp1 996	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> C e. ( O \ E ) )
30	3, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14	ballotlemiex 28233	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
31	30	simpld 459	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
32		elfzelz 11698	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
33	29, 31, 32	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
34	33	zred 10976	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) e. RR )
35	8	zred 10976	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( M + N ) e. RR )
36		elfzelz 11698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> J e. ZZ )
37	36	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J e. ZZ )
38		elfzle1 11699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> 1 <_ J )
39	38	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> 1 <_ J )
40	37	zred 10976	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J e. RR )
41		simp3 998	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J < ( I ` C ) )
42	40, 34, 41	ltled 9742	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J <_ ( I ` C ) )
43		elfz4 11691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
44	2, 33, 37, 39, 42, 43	syl32anc 1236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
45	3, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	ballotlemsel1i 28244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
46	29, 44, 45	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
47		elfzle2 11700	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) <_ ( I ` C ) )
48	46, 47	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) <_ ( I ` C ) )
49		zlem1lt 10924	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) <_ ( I ` C ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) ) )
50	19, 33, 49	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) <_ ( I ` C ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) ) )
51	48, 50	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) )
52	28, 34, 51	ltled 9742	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) <_ ( I ` C ) )
53		elfzle2 11700	. . . . . . 7 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
54	29, 31, 53	3syl 20	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
55	28, 34, 35, 52, 54	letrd 9748	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) <_ ( M + N ) )
56		elfz4 11691	. . . . 5 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ZZ ) /\ ( 1 <_ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
57	2, 8, 20, 24, 55, 56	syl32anc 1236	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
58		fvex 5881	. . . . . . . . . 10 |- ( I ` C ) e. _V
59		ovex 6319	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. _V
60	58, 59	brcnv 5190	. . . . . . . . 9 |- ( ( I ` C ) `' < ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( I ` C ) )
61	51, 60	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( I ` C ) `' < ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) )
62	3, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14	ballotlemi 28232	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) = sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
63	62	breq1d 4462	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) `' < ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) <-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) `' < ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) )
64	63	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( I ` C ) `' < ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) <-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) `' < ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) )
65	61, 64	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) `' < ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) )
66		ltso 9675	. . . . . . . . . . 11 |- < Or RR
67		cnvso 5551	. . . . . . . . . . 11 |- ( < Or RR <-> `' < Or RR )
68	66, 67	mpbi 208	. . . . . . . . . 10 |- `' < Or RR
69	68	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> `' < Or RR )
70	3, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14	ballotlemsup 28236	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> E. z e. RR ( A. w e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -. z `' < w /\ A. w e. RR ( w `' < z -> E. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } w `' < y ) ) )
71	69, 70	supub 7929	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } -> -. sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) `' < ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) )
72	71	con2d 115	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) `' < ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) -> -. ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } ) )
73	29, 65, 72	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> -. ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } )
74		fveq2 5871	. . . . . . . 8 |- ( k = ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) -> ( ( F ` C ) ` k ) = ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) )
75	74	eqeq1d 2469	. . . . . . 7 |- ( k = ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
76	75	elrab 3266	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` C ) ` k ) = 0 } <-> ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
77	73, 76	sylnib 304	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> -. ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
78		imnan 422	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> -. ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) <-> -. ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
79	77, 78	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> -. ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
80	57, 79	mpd 15	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> -. ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 )
81	80	neqned 2670	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) =/= 0 )
82		ballotth.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
83	3, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 82	ballotlemro 28254	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( R ` C ) e. O )
84	83	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( R ` C ) e. O )
85		elfzelz 11698	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> J e. ZZ )
86	85	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ZZ )
87	3, 4, 9, 10, 11, 84, 86	ballotlemfelz 28222	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. ZZ )
88	87	zcnd 10977	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. CC )
89	88	negeq0d 9932	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = 0 <-> -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = 0 ) )
90		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( u e. Fin , v e. Fin |-> ( ( # ` ( v i^i u ) ) - ( # ` ( v \ u ) ) ) ) = ( u e. Fin , v e. Fin |-> ( ( # ` ( v i^i u ) ) - ( # ` ( v \ u ) ) ) )
91	3, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 82, 90	ballotlemfrceq 28260	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) )
92	91	eqeq1d 2469	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 <-> -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = 0 ) )
93	89, 92	bitr4d 256	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = 0 ) )
94	93	necon3bid 2725	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) =/= 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) =/= 0 ) )
95	29, 44, 94	syl2anc 661	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) =/= 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) =/= 0 ) )
96	81, 95	mpbird 232	1 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ J < ( I ` C ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) =/= 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   {crab 2821   \ cdif 3478   i^i cin 3480   ifcif 3944   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4452   |-> cmpt 4510   Or wor 4804   `'ccnv 5003   "cima 5007   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   |-> cmpt2 6296   Fincfn 7526   supcsup 7910   RRcr 9501   0cc0 9502   1c1 9503   + caddc 9505   < clt 9638   <_ cle 9639   - cmin 9815   -ucneg 9816   / cdiv 10216   NNcn 10546   ZZcz 10874   ...cfz 11682   #chash 12383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-sup 7911  df-card 8330  df-cda 8558  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-rp 11231  df-fz 11683  df-hash 12384

This theorem is referenced by:  ballotlemirc  28263