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Theorem ballotlemfrcn0 27079
Description: Value of  F for a reversed counting  ( R `  C ), before the first tie, cannot be zero . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
ballotth.r  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfrcn0  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( F `  ( R `  C ) ) `  J )  =/=  0 )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c    k, J    S, k, i, c    R, i   
i, J
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    R( x, k, c)    S( x)    E( x)    F( x)    I( x)    J( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemfrcn0
Dummy variables  v  u  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10791 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
1  e.  ZZ )
3 ballotth.m . . . . . . . 8  |-  M  e.  NN
4 ballotth.n . . . . . . . 8  |-  N  e.  NN
5 nnaddcl 10459 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
63, 4, 5mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( M  +  N )  e.  NN
76nnzi 10785 . . . . . 6  |-  ( M  +  N )  e.  ZZ
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  ZZ )
9 ballotth.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
10 ballotth.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
11 ballotth.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
12 ballotth.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
13 ballotth.mgtn . . . . . . . . 9  |-  N  < 
M
14 ballotth.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
15 ballotth.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
163, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15ballotlemsdom 27061 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
17 elfzelz 11574 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  ->  ( ( S `  C ) `  J )  e.  ZZ )
1816, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ZZ )
19183adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( S `  C ) `  J
)  e.  ZZ )
2019, 2zsubcld 10867 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ZZ )
213, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15ballotlemsgt1 27060 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
1  <  ( ( S `  C ) `  J ) )
22 zltlem1 10812 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( ( S `  C ) `  J
)  e.  ZZ )  ->  ( 1  < 
( ( S `  C ) `  J
)  <->  1  <_  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) ) )
2322biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( ( S `  C ) `  J
)  e.  ZZ )  /\  1  <  (
( S `  C
) `  J )
)  ->  1  <_  ( ( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )
242, 19, 21, 23syl21anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
1  <_  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )
2519zred 10862 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( S `  C ) `  J
)  e.  RR )
26 1re 9500 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
1  e.  RR )
2825, 27resubcld 9891 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  RR )
29 simp1 988 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  C  e.  ( O  \  E ) )
303, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14ballotlemiex 27051 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
3130simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
32 elfzelz 11574 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
3329, 31, 323syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( I `  C
)  e.  ZZ )
3433zred 10862 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( I `  C
)  e.  RR )
358zred 10862 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  RR )
36 elfzelz 11574 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  J  e.  ZZ )
37363ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  J  e.  ZZ )
38 elfzle1 11575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  1  <_  J )
39383ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
1  <_  J )
4037zred 10862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  J  e.  RR )
41 simp3 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  J  <  ( I `  C ) )
4240, 34, 41ltled 9637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  J  <_  ( I `  C ) )
43 elfz4 11567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( I `  C
)  e.  ZZ  /\  J  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_  J  /\  J  <_  ( I `
 C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... (
I `  C )
) )
442, 33, 37, 39, 42, 43syl32anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )
453, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15ballotlemsel1i 27062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )
4629, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( S `  C ) `  J
)  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )
47 elfzle2 11576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  e.  ( 1 ... (
I `  C )
)  ->  ( ( S `  C ) `  J )  <_  (
I `  C )
)
4846, 47syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( S `  C ) `  J
)  <_  ( I `  C ) )
49 zlem1lt 10811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( S `  C ) `  J
)  e.  ZZ  /\  ( I `  C
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  <_ 
( I `  C
)  <->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  <  (
I `  C )
) )
5019, 33, 49syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  <_  (
I `  C )  <->  ( ( ( S `  C ) `  J
)  -  1 )  <  ( I `  C ) ) )
5148, 50mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  <  ( I `
 C ) )
5228, 34, 51ltled 9637 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  <_  ( I `  C ) )
53 elfzle2 11576 . . . . . . 7  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
5429, 31, 533syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( I `  C
)  <_  ( M  +  N ) )
5528, 34, 35, 52, 54letrd 9643 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  <_  ( M  +  N ) )
56 elfz4 11567 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( 1  <_ 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  /\  ( ( ( S `  C
) `  J )  -  1 )  <_ 
( M  +  N
) ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
572, 8, 20, 24, 55, 56syl32anc 1227 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
58 fvex 5812 . . . . . . . . . 10  |-  ( I `
 C )  e. 
_V
59 ovex 6228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  -  1 )  e. 
_V
6058, 59brcnv 5133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I `  C ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  <->  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 )  < 
( I `  C
) )
6151, 60sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( I `  C
) `'  <  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )
623, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14ballotlemi 27050 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  =  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
6362breq1d 4413 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
) `'  <  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 )  <->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) )
64633ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( I `  C ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `  J
)  -  1 )  <->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) )
6561, 64mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )
66 ltso 9570 . . . . . . . . . . 11  |-  <  Or  RR
67 cnvso 5487 . . . . . . . . . . 11  |-  (  < 
Or  RR  <->  `'  <  Or  RR )
6866, 67mpbi 208 . . . . . . . . . 10  |-  `'  <  Or  RR
6968a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  `'  <  Or  RR )
703, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14ballotlemsup 27054 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  E. z  e.  RR  ( A. w  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 }  -.  z `'  <  w  /\  A. w  e.  RR  (
w `'  <  z  ->  E. y  e.  {
k  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  |  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 } w `'  <  y
) ) )
7169, 70supub 7824 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 }  ->  -. 
sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) )
7271con2d 115 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) `'  <  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  ->  -.  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } ) )
7329, 65, 72sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  -.  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  C
) `  k )  =  0 } )
74 fveq2 5802 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) ) )
7574eqeq1d 2456 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  =  0  <->  (
( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  =  0 ) )
7675elrab 3224 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S `  C ) `  J
)  -  1 )  e.  { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0 }  <->  ( (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  =  0 ) )
7773, 76sylnib 304 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  -.  ( ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  0 ) )
78 imnan 422 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )  =  0 )  <->  -.  ( ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  0 ) )
7977, 78sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  0 ) )
8057, 79mpd 15 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )  =  0 )
8180neneqad 2656 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( F `  C ) `  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )  =/=  0 )
82 ballotth.r . . . . . . . . . 10  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
833, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 82ballotlemro 27072 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( R `  C )  e.  O )
8483adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( R `  C )  e.  O
)
85 elfzelz 11574 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  J  e.  ZZ )
8685adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
873, 4, 9, 10, 11, 84, 86ballotlemfelz 27040 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  e.  ZZ )
8887zcnd 10863 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  e.  CC )
8988negeq0d 9826 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( R `
 C ) ) `
 J )  =  0  <->  -u ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  =  0 ) )
90 eqid 2454 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  Fin ,  v  e.  Fin  |->  ( (
# `  ( v  i^i  u ) )  -  ( # `  ( v 
\  u ) ) ) )  =  ( u  e.  Fin , 
v  e.  Fin  |->  ( ( # `  (
v  i^i  u )
)  -  ( # `  ( v  \  u
) ) ) )
913, 4, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 82, 90ballotlemfrceq 27078 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  -u ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) )
9291eqeq1d 2456 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )  =  0  <->  -u ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  =  0 ) )
9389, 92bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( R `
 C ) ) `
 J )  =  0  <->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  0 ) )
9493necon3bid 2710 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( F `  ( R `
 C ) ) `
 J )  =/=  0  <->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =/=  0
) )
9529, 44, 94syl2anc 661 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  =/=  0  <->  ( ( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  =/=  0 ) )
9681, 95mpbird 232 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  J  <  ( I `  C ) )  -> 
( ( F `  ( R `  C ) ) `  J )  =/=  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   {crab 2803    \ cdif 3436    i^i cin 3438   ifcif 3902   ~Pcpw 3971   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461    Or wor 4751   `'ccnv 4950   "cima 4954   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205   Fincfn 7423   supcsup 7805   RRcr 9396   0cc0 9397   1c1 9398    + caddc 9400    < clt 9533    <_ cle 9534    - cmin 9710   -ucneg 9711    / cdiv 10108   NNcn 10437   ZZcz 10761   ...cfz 11558   #chash 12224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7806  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-rp 11107  df-fz 11559  df-hash 12225
This theorem is referenced by:  ballotlemirc  27081
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