Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemfrcn0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ballotlemfrcn0 29435
 Description: Value of for a reversed counting , before the first tie, cannot be zero . (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2017.) (Revised by AV, 6-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m
ballotth.n
ballotth.o
ballotth.p
ballotth.f
ballotth.e
ballotth.mgtn
ballotth.i inf
ballotth.s
ballotth.r
Assertion
Ref Expression
ballotlemfrcn0
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,,   ,   ,,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,,)   (,,)   ()   ()   ()   ()   (,)   ()   ()   ()

Proof of Theorem ballotlemfrcn0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 10992 . . . . 5
2 ballotth.m . . . . . . . 8
3 ballotth.n . . . . . . . 8
4 nnaddcl 10653 . . . . . . . 8
52, 3, 4mp2an 686 . . . . . . 7
65nnzi 10985 . . . . . 6
76a1i 11 . . . . 5
8 ballotth.o . . . . . . . . 9
9 ballotth.p . . . . . . . . 9
10 ballotth.f . . . . . . . . 9
11 ballotth.e . . . . . . . . 9
12 ballotth.mgtn . . . . . . . . 9
13 ballotth.i . . . . . . . . 9 inf
14 ballotth.s . . . . . . . . 9
152, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14ballotlemsdom 29417 . . . . . . . 8
16 elfzelz 11826 . . . . . . . 8
1715, 16syl 17 . . . . . . 7
18173adant3 1050 . . . . . 6
1918, 1zsubcld 11068 . . . . 5
202, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14ballotlemsgt1 29416 . . . . . 6
21 zltlem1 11013 . . . . . . 7
2221biimpa 492 . . . . . 6
231, 18, 20, 22syl21anc 1291 . . . . 5
2418zred 11063 . . . . . . 7
25 1red 9676 . . . . . . 7
2624, 25resubcld 10068 . . . . . 6
27 simp1 1030 . . . . . . . 8
282, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13ballotlemiex 29407 . . . . . . . . 9
2928simpld 466 . . . . . . . 8
30 elfzelz 11826 . . . . . . . 8
3127, 29, 303syl 18 . . . . . . 7
3231zred 11063 . . . . . 6
337zred 11063 . . . . . 6
34 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . 12
35343ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . 11
36 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . 12
37363ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . 11
3835zred 11063 . . . . . . . . . . . 12
39 simp3 1032 . . . . . . . . . . . 12
4038, 32, 39ltled 9800 . . . . . . . . . . 11
41 elfz4 11819 . . . . . . . . . . 11
421, 31, 35, 37, 40, 41syl32anc 1300 . . . . . . . . . 10
432, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14ballotlemsel1i 29418 . . . . . . . . . 10
4427, 42, 43syl2anc 673 . . . . . . . . 9
45 elfzle2 11829 . . . . . . . . 9
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8
47 zlem1lt 11012 . . . . . . . . 9
4818, 31, 47syl2anc 673 . . . . . . . 8
4946, 48mpbid 215 . . . . . . 7
5026, 32, 49ltled 9800 . . . . . 6
51 elfzle2 11829 . . . . . . 7
5227, 29, 513syl 18 . . . . . 6
5326, 32, 33, 50, 52letrd 9809 . . . . 5
54 elfz4 11819 . . . . 5
551, 7, 19, 23, 53, 54syl32anc 1300 . . . 4
56 biid 244 . . . . . . . . 9
5749, 56sylibr 217 . . . . . . . 8
582, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13ballotlemi 29406 . . . . . . . . . 10 inf
5958breq2d 4407 . . . . . . . . 9 inf
60593ad2ant1 1051 . . . . . . . 8 inf
6157, 60mpbid 215 . . . . . . 7 inf
62 ltso 9732 . . . . . . . . . 10
6362a1i 11 . . . . . . . . 9
642, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13ballotlemsup 29410 . . . . . . . . 9
6563, 64inflb 8023 . . . . . . . 8 inf
6665con2d 119 . . . . . . 7 inf
6727, 61, 66sylc 61 . . . . . 6
68 fveq2 5879 . . . . . . . 8
6968eqeq1d 2473 . . . . . . 7
7069elrab 3184 . . . . . 6
7167, 70sylnib 311 . . . . 5
72 imnan 429 . . . . 5
7371, 72sylibr 217 . . . 4
7455, 73mpd 15 . . 3
7574neqned 2650 . 2
76 ballotth.r . . . . . . . . . 10
772, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 76ballotlemro 29428 . . . . . . . . 9
7877adantr 472 . . . . . . . 8
79 elfzelz 11826 . . . . . . . . 9
8079adantl 473 . . . . . . . 8
812, 3, 8, 9, 10, 78, 80ballotlemfelz 29396 . . . . . . 7
8281zcnd 11064 . . . . . 6
8382negeq0d 9997 . . . . 5
84 eqid 2471 . . . . . . 7
852, 3, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 76, 84ballotlemfrceq 29434 . . . . . 6
8685eqeq1d 2473 . . . . 5
8783, 86bitr4d 264 . . . 4
8887necon3bid 2687 . . 3
8927, 42, 88syl2anc 673 . 2
9075, 89mpbird 240 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  crab 2760   cdif 3387   cin 3389  cif 3872  cpw 3942   class class class wbr 4395   cmpt 4454   wor 4759  cima 4842  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cfn 7587  infcinf 7973  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cneg 9881   cdiv 10291  cn 10631  cz 10961  cfz 11810  chash 12553 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-hash 12554 This theorem is referenced by:  ballotlemirc  29437
 Copyright terms: Public domain W3C validator