Theorem ballotlemfrceqOLD 29411

Description: Value of F for a reverse counting ( R ` C ). (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2017.) Obsolete version of ballotlemfrceq 29373 as of 6-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotthOLD.m	|- M e. NN
ballotthOLD.n	|- N e. NN
ballotthOLD.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotthOLD.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotthOLD.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotthOLD.e	|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotthOLD.mgtn	|- N < M
ballotthOLD.i	|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
ballotthOLD.s	|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
ballotthOLD.r	|- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
ballotlemgOLD	|- .^ = ( u e. Fin , v e. Fin |-> ( ( # ` ( v i^i u ) ) - ( # ` ( v \ u ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfrceqOLD	|- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   C, i, k   i, c, F, k   i, E, k   k, I, c   E, c   i, I, c   k, J   S, k, i, c   R, i   v, u, C   u, I, v   u, J, v   u, R, v   u, S, v   i, J

Allowed substitution hints:   C( x, c)   P( x, v, u, i, k, c)   R( x, k, c)   S( x)   E( x, v, u)   .^ ( x, v, u, i, k, c)   F( x, v, u)   I( x)   J( x, c)   M( x, v, u)   N( x, v, u)   O( x, v, u)

Proof of Theorem ballotlemfrceqOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotthOLD.m	. . . . . . . . 9 |- M e. NN
2		ballotthOLD.n	. . . . . . . . 9 |- N e. NN
3		ballotthOLD.o	. . . . . . . . 9 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4		ballotthOLD.p	. . . . . . . . 9 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5		ballotthOLD.f	. . . . . . . . 9 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6		ballotthOLD.e	. . . . . . . . 9 |- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
7		ballotthOLD.mgtn	. . . . . . . . 9 |- N < M
8		ballotthOLD.i	. . . . . . . . 9 |- I = ( c e. ( O \ E ) |-> sup ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , `' < ) )
9		ballotthOLD.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ballotlemsel1iOLD 29395	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
11		1zzd 10975	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> 1 e. ZZ )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	ballotlemiexOLD 29384	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
13	12	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
14	13	simpld 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
15		elfzelz 11807	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
17		elfzuz3 11804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) )
18		fzss2 11845	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
19	14, 17, 18	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
20		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) )
21	19, 20	sseldd 3435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ballotlemsdomOLD 29394	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
23	21, 22	syldan 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
24		elfzelz 11807	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ )
26		fzsubel 11841	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( I ` C ) e. ZZ ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) )
27	11, 16, 25, 11, 26	syl22anc 1270	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) <-> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) )
28	10, 27	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
29		1m1e0 10685	. . . . . . . 8 |- ( 1 - 1 ) = 0
30	29	oveq1i 6305	. . . . . . 7 |- ( ( 1 - 1 ) ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) = ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) )
31	28, 30	syl6eleq 2541	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
32	12	simpld 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
33	32, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
34		1zzd 10975	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> 1 e. ZZ )
35	33, 34	zsubcld 11052	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ )
36		nnaddcl 10638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( M + N ) e. NN )
37	1, 2, 36	mp2an 679	. . . . . . . . . . 11 |- ( M + N ) e. NN
38	37	nnzi 10968	. . . . . . . . . 10 |- ( M + N ) e. ZZ
39	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. ZZ )
40		elfzle2 11810	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
41	32, 40	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) <_ ( M + N ) )
42		zlem1lt 10995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( I ` C ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) ) )
43	33, 39, 42	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) <-> ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) ) )
44	35	zred 11047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) e. RR )
45	39	zred 11047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. RR )
46		ltle 9727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) -> ( ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
47	44, 45, 46	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( ( I ` C ) - 1 ) < ( M + N ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
48	43, 47	sylbid 219	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) <_ ( M + N ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
49	41, 48	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) )
50		eluz2 11172	. . . . . . . . 9 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) <-> ( ( ( I ` C ) - 1 ) e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ ( ( I ` C ) - 1 ) <_ ( M + N ) ) )
51	35, 39, 49, 50	syl3anbrc 1193	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) )
52		fzss2 11845	. . . . . . . 8 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( ( I ` C ) - 1 ) ) -> ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
54	53	sselda 3434	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( ( I ` C ) - 1 ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
55	31, 54	syldan 473	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
56		ballotthOLD.r	. . . . . 6 |- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
57		ballotlemgOLD	. . . . . 6 |- .^ = ( u e. Fin , v e. Fin |-> ( ( # ` ( v i^i u ) ) - ( # ` ( v \ u ) ) ) )
58	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56, 57	ballotlemfgOLD 29408	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) )
59	55, 58	syldan 473	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) )
60	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56, 57	ballotlemfrcOLD 29409	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) = ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) )
61	59, 60	oveq12d 6313	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = ( ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) + ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) )
62		fzsplit3 28382	. . . . . 6 |- ( ( ( S ` C ) ` J ) e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) = ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) u. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) )
63	10, 62	syl 17	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( 1 ... ( I ` C ) ) = ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) u. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) )
64	63	oveq2d 6311	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) = ( C .^ ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) u. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) )
65		1eluzge0 11209	. . . . . . . . 9 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
66		fzss1 11844	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... ( M + N ) ) C_ ( 0 ... ( M + N ) )
68	67	sseli 3430	. . . . . . 7 |- ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
69	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56, 57	ballotlemfgOLD 29408	. . . . . . 7 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( I ` C ) e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
70	68, 69	sylan2 477	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
71	14, 70	syldan 473	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) )
72	13	simprd 465	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 )
73	71, 72	eqtr3d 2489	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( C .^ ( 1 ... ( I ` C ) ) ) = 0 )
74		fzfi 12192	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin
75		eldifi 3557	. . . . . . . 8 |- ( C e. ( O \ E ) -> C e. O )
76	1, 2, 3	ballotlemelo 29332	. . . . . . . . 9 |- ( C e. O <-> ( C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( # ` C ) = M ) )
77	76	simplbi 462	. . . . . . . 8 |- ( C e. O -> C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
78	75, 77	syl 17	. . . . . . 7 |- ( C e. ( O \ E ) -> C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) )
79		ssfi 7797	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... ( M + N ) ) e. Fin /\ C C_ ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> C e. Fin )
80	74, 78, 79	sylancr 670	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> C e. Fin )
81	80	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> C e. Fin )
82		fzfid 12193	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. Fin )
83		fzfid 12193	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) e. Fin )
84	25	zred 11047	. . . . . 6 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( S ` C ) ` J ) e. RR )
85		ltm1 10452	. . . . . 6 |- ( ( ( S ` C ) ` J ) e. RR -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( ( S ` C ) ` J ) )
86		fzdisj 11833	. . . . . 6 |- ( ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) < ( ( S ` C ) ` J ) -> ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) i^i ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) = (/) )
87	84, 85, 86	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) i^i ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) = (/) )
88	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56, 57, 81, 82, 83, 87	ballotlemgunOLD 29407	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( C .^ ( ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) u. ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) = ( ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) + ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) )
89	64, 73, 88	3eqtr3rd 2496	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( C .^ ( 1 ... ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) ) + ( C .^ ( ( ( S ` C ) ` J ) ... ( I ` C ) ) ) ) = 0 )
90	61, 89	eqtrd 2487	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = 0 )
91	75	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> C e. O )
92	25, 11	zsubcld 11052	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) e. ZZ )
93	1, 2, 3, 4, 5, 91, 92	ballotlemfelz 29335	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. ZZ )
94	93	zcnd 11048	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. CC )
95	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56	ballotlemroOLD 29405	. . . . . 6 |- ( C e. ( O \ E ) -> ( R ` C ) e. O )
96	95	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( R ` C ) e. O )
97		elfzelz 11807	. . . . . 6 |- ( J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) -> J e. ZZ )
98	20, 97	syl 17	. . . . 5 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> J e. ZZ )
99	1, 2, 3, 4, 5, 96, 98	ballotlemfelz 29335	. . . 4 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. ZZ )
100	99	zcnd 11048	. . 3 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. CC )
101		addeq0 28332	. . 3 |- ( ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) e. CC /\ ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) e. CC ) -> ( ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) )
102	94, 100, 101	syl2anc 667	. 2 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) + ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) = 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) ) )
103	90, 102	mpbid 214	1 |- ( ( C e. ( O \ E ) /\ J e. ( 1 ... ( I ` C ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( ( S ` C ) ` J ) - 1 ) ) = -u ( ( F ` ( R ` C ) ) ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   {crab 2743   \ cdif 3403   u. cun 3404   i^i cin 3405   C_ wss 3406   (/)c0 3733   ifcif 3883   ~Pcpw 3953   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   `'ccnv 4836   "cima 4840   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   |-> cmpt2 6297   Fincfn 7574   supcsup 7959   CCcc 9542   RRcr 9543   0cc0 9544   1c1 9545   + caddc 9547   < clt 9680   <_ cle 9681   - cmin 9865   -ucneg 9866   / cdiv 10276   NNcn 10616   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791   #chash 12522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-hash 12523

This theorem is referenced by:  ballotlemfrcn0OLD  29412