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Theorem ballotlemfrceq 29361
Description: Value of  F for a reverse counting  ( R `  C ). (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|-> inf ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  c ) `
 k )  =  0 } ,  RR ,  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
ballotth.r  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
ballotlemg  |-  .^  =  ( u  e.  Fin ,  v  e.  Fin  |->  ( ( # `  (
v  i^i  u )
)  -  ( # `  ( v  \  u
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfrceq  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  -u ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c    k, J    S, k, i, c    R, i   
v, u, C    u, I, v    u, J, v   
u, R, v    u, S, v    i, J
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, v, u, i, k, c)    R( x, k, c)    S( x)    E( x, v, u)    .^ ( x, v, u, i, k, c)    F( x, v, u)    I( x)    J( x, c)    M( x, v, u)    N( x, v, u)    O( x, v, u)

Proof of Theorem ballotlemfrceq
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . . . . 9  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . . . . . . . 9  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 ballotth.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
7 ballotth.mgtn . . . . . . . . 9  |-  N  < 
M
8 ballotth.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|-> inf ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( ( F `  c ) `
 k )  =  0 } ,  RR ,  <  ) )
9 ballotth.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsel1i 29345 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )
11 1zzd 10968 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ballotlemiex 29334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
1312adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( I `
 C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  ( ( F `  C ) `  ( I `  C
) )  =  0 ) )
1413simpld 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
15 elfzelz 11800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
17 elfzuz3 11797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( I `  C ) ) )
18 fzss2 11838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
I `  C )
)  ->  ( 1 ... ( I `  C ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
1914, 17, 183syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( 1 ... ( I `  C
) )  C_  (
1 ... ( M  +  N ) ) )
20 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )
2119, 20sseldd 3433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsdom 29344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
2321, 22syldan 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
24 elfzelz 11800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  ->  ( ( S `  C ) `  J )  e.  ZZ )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ZZ )
26 fzsubel 11834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( I `  C
)  e.  ZZ )  /\  ( ( ( S `  C ) `
 J )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) )  <-> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) ) )
2711, 16, 25, 11, 26syl22anc 1269 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  e.  ( 1 ... (
I `  C )
)  <->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) ) )
2810, 27mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) )
29 1m1e0 10678 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3029oveq1i 6300 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( I `  C
)  -  1 ) )
3128, 30syl6eleq 2539 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) )
3212simpld 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
3332, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
34 1zzd 10968 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  ZZ )
3533, 34zsubcld 11045 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  e.  ZZ )
36 nnaddcl 10631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
371, 2, 36mp2an 678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  +  N )  e.  NN
3837nnzi 10961 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +  N )  e.  ZZ
3938a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
40 elfzle2 11803 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
4132, 40syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
42 zlem1lt 10988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I `  C
)  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( I `
 C )  <_ 
( M  +  N
)  <->  ( ( I `
 C )  - 
1 )  <  ( M  +  N )
) )
4333, 39, 42syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  <_  ( M  +  N )  <->  ( (
I `  C )  -  1 )  < 
( M  +  N
) ) )
4435zred 11040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  e.  RR )
4539zred 11040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
46 ltle 9722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I `  C )  -  1 )  e.  RR  /\  ( M  +  N
)  e.  RR )  ->  ( ( ( I `  C )  -  1 )  < 
( M  +  N
)  ->  ( (
I `  C )  -  1 )  <_ 
( M  +  N
) ) )
4744, 45, 46syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( ( I `  C )  -  1 )  <  ( M  +  N )  -> 
( ( I `  C )  -  1 )  <_  ( M  +  N ) ) )
4843, 47sylbid 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  <_  ( M  +  N )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  <_  ( M  +  N ) ) )
4941, 48mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  <_  ( M  +  N ) )
50 eluz2 11165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  <->  ( ( ( I `  C )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ  /\  ( ( I `  C )  -  1 )  <_ 
( M  +  N
) ) )
5135, 39, 49, 50syl3anbrc 1192 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
52 fzss2 11838 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  ->  ( 0 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
5351, 52syl 17 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
0 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
5453sselda 3432 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
5531, 54syldan 473 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
56 ballotth.r . . . . . 6  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
57 ballotlemg . . . . . 6  |-  .^  =  ( u  e.  Fin ,  v  e.  Fin  |->  ( ( # `  (
v  i^i  u )
)  -  ( # `  ( v  \  u
) ) ) )
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56, 57ballotlemfg 29358 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  ( C  .^  ( 1 ... ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) ) )
5955, 58syldan 473 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  ( C  .^  ( 1 ... ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) ) )
601, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56, 57ballotlemfrc 29359 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  =  ( C  .^  ( (
( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) ) ) )
6159, 60oveq12d 6308 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )  +  ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) )  =  ( ( C  .^  ( 1 ... ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) )  +  ( C  .^  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) ) ) )
62 fzsplit3 28370 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  e.  ( 1 ... (
I `  C )
)  ->  ( 1 ... ( I `  C ) )  =  ( ( 1 ... ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  u.  (
( ( S `  C ) `  J
) ... ( I `  C ) ) ) )
6310, 62syl 17 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( 1 ... ( I `  C
) )  =  ( ( 1 ... (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )  u.  ( ( ( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) ) ) )
6463oveq2d 6306 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( C  .^  ( 1 ... (
I `  C )
) )  =  ( C  .^  ( (
1 ... ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )  u.  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) ) ) )
65 1eluzge0 11202 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
66 fzss1 11837 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
)
6867sseli 3428 . . . . . . 7  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
691, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56, 57ballotlemfg 29358 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  ( C  .^  ( 1 ... ( I `  C ) ) ) )
7068, 69sylan2 477 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  ( C  .^  ( 1 ... ( I `  C ) ) ) )
7114, 70syldan 473 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  ( C  .^  ( 1 ... ( I `  C ) ) ) )
7213simprd 465 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  0 )
7371, 72eqtr3d 2487 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( C  .^  ( 1 ... (
I `  C )
) )  =  0 )
74 fzfi 12185 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin
75 eldifi 3555 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  C  e.  O )
761, 2, 3ballotlemelo 29320 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  O  <->  ( C  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  ( # `  C
)  =  M ) )
7776simplbi 462 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  O  ->  C  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
7875, 77syl 17 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  C  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
79 ssfi 7792 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... ( M  +  N )
)  e.  Fin  /\  C  C_  ( 1 ... ( M  +  N
) ) )  ->  C  e.  Fin )
8074, 78, 79sylancr 669 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  C  e.  Fin )
8180adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  C  e.  Fin )
82 fzfid 12186 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( 1 ... ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  e.  Fin )
83 fzfid 12186 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J ) ... ( I `  C
) )  e.  Fin )
8425zred 11040 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  RR )
85 ltm1 10445 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  e.  RR  ->  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 )  < 
( ( S `  C ) `  J
) )
86 fzdisj 11826 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S `  C ) `  J
)  -  1 )  <  ( ( S `
 C ) `  J )  ->  (
( 1 ... (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )  i^i  ( ( ( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) ) )  =  (/) )
8784, 85, 863syl 18 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( 1 ... ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )  i^i  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) )  =  (/) )
881, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56, 57, 81, 82, 83, 87ballotlemgun 29357 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( C  .^  ( ( 1 ... ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  u.  (
( ( S `  C ) `  J
) ... ( I `  C ) ) ) )  =  ( ( C  .^  ( 1 ... ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) )  +  ( C  .^  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) ) ) )
8964, 73, 883eqtr3rd 2494 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( C 
.^  ( 1 ... ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) ) )  +  ( C  .^  (
( ( S `  C ) `  J
) ... ( I `  C ) ) ) )  =  0 )
9061, 89eqtrd 2485 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )  +  ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) )  =  0 )
9175adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  C  e.  O
)
9225, 11zsubcld 11045 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ZZ )
931, 2, 3, 4, 5, 91, 92ballotlemfelz 29323 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  e.  ZZ )
9493zcnd 11041 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  e.  CC )
951, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56ballotlemro 29355 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( R `  C )  e.  O )
9695adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( R `  C )  e.  O
)
97 elfzelz 11800 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  J  e.  ZZ )
9820, 97syl 17 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
991, 2, 3, 4, 5, 96, 98ballotlemfelz 29323 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  e.  ZZ )
10099zcnd 11041 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  e.  CC )
101 addeq0 28320 . . 3  |-  ( ( ( ( F `  C ) `  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )  e.  CC  /\  ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J )  e.  CC )  -> 
( ( ( ( F `  C ) `
 ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )  +  ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) )  =  0  <->  (
( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  =  -u ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J ) ) )
10294, 100, 101syl2anc 667 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( ( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  +  ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J ) )  =  0  <->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  -u ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) ) )
10390, 102mpbid 214 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  -u ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   {crab 2741    \ cdif 3401    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   ~Pcpw 3951   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   "cima 4837   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    |-> cmpt2 6292   Fincfn 7569  infcinf 7955   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   NNcn 10609   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784   #chash 12515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-hash 12516
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