Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemfrceq Structured version   Unicode version

Theorem ballotlemfrceq 28642
Description: Value of  F for a reverse counting  ( R `  C ). (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
ballotth.r  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
ballotlemg  |-  .^  =  ( u  e.  Fin ,  v  e.  Fin  |->  ( ( # `  (
v  i^i  u )
)  -  ( # `  ( v  \  u
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfrceq  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  -u ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c    k, J    S, k, i, c    R, i   
v, u, C    u, I, v    u, J, v   
u, R, v    u, S, v    i, J
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, v, u, i, k, c)    R( x, k, c)    S( x)    E( x, v, u)    .^ ( x, v, u, i, k, c)    F( x, v, u)    I( x)    J( x, c)    M( x, v, u)    N( x, v, u)    O( x, v, u)

Proof of Theorem ballotlemfrceq
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . . . . 9  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . . . . . . . 9  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 ballotth.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
7 ballotth.mgtn . . . . . . . . 9  |-  N  < 
M
8 ballotth.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
9 ballotth.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsel1i 28626 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )
11 1zzd 10916 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ballotlemiex 28615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( I `
 C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  ( ( F `  C ) `  ( I `  C
) )  =  0 ) )
1413simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
15 elfzelz 11713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
17 elfzuz3 11710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( I `  C ) ) )
18 fzss2 11748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
I `  C )
)  ->  ( 1 ... ( I `  C ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
1914, 17, 183syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( 1 ... ( I `  C
) )  C_  (
1 ... ( M  +  N ) ) )
20 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )
2119, 20sseldd 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsdom 28625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
2321, 22syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
24 elfzelz 11713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  ->  ( ( S `  C ) `  J )  e.  ZZ )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ZZ )
26 fzsubel 11744 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( I `  C
)  e.  ZZ )  /\  ( ( ( S `  C ) `
 J )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) )  <-> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) ) )
2711, 16, 25, 11, 26syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  e.  ( 1 ... (
I `  C )
)  <->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) ) )
2810, 27mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) )
29 1m1e0 10625 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3029oveq1i 6306 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( I `  C
)  -  1 ) )
3128, 30syl6eleq 2555 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) )
3212simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
3332, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
34 1zzd 10916 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  ZZ )
3533, 34zsubcld 10995 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  e.  ZZ )
36 nnaddcl 10578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
371, 2, 36mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  +  N )  e.  NN
3837nnzi 10909 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +  N )  e.  ZZ
3938a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
40 elfzle2 11715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
4132, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
42 zlem1lt 10936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I `  C
)  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( I `
 C )  <_ 
( M  +  N
)  <->  ( ( I `
 C )  - 
1 )  <  ( M  +  N )
) )
4333, 39, 42syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  <_  ( M  +  N )  <->  ( (
I `  C )  -  1 )  < 
( M  +  N
) ) )
4435zred 10990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  e.  RR )
4539zred 10990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
46 ltle 9690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I `  C )  -  1 )  e.  RR  /\  ( M  +  N
)  e.  RR )  ->  ( ( ( I `  C )  -  1 )  < 
( M  +  N
)  ->  ( (
I `  C )  -  1 )  <_ 
( M  +  N
) ) )
4744, 45, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( ( I `  C )  -  1 )  <  ( M  +  N )  -> 
( ( I `  C )  -  1 )  <_  ( M  +  N ) ) )
4843, 47sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  <_  ( M  +  N )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  <_  ( M  +  N ) ) )
4941, 48mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  <_  ( M  +  N ) )
50 eluz2 11112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  <->  ( ( ( I `  C )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ  /\  ( ( I `  C )  -  1 )  <_ 
( M  +  N
) ) )
5135, 39, 49, 50syl3anbrc 1180 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
52 fzss2 11748 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  ->  ( 0 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
5351, 52syl 16 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
0 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
5453sselda 3499 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
5531, 54syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
56 ballotth.r . . . . . 6  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
57 ballotlemg . . . . . 6  |-  .^  =  ( u  e.  Fin ,  v  e.  Fin  |->  ( ( # `  (
v  i^i  u )
)  -  ( # `  ( v  \  u
) ) ) )
581, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56, 57ballotlemfg 28639 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  ( C  .^  ( 1 ... ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) ) )
5955, 58syldan 470 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  ( C  .^  ( 1 ... ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) ) )
601, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56, 57ballotlemfrc 28640 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  =  ( C  .^  ( (
( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) ) ) )
6159, 60oveq12d 6314 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )  +  ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) )  =  ( ( C  .^  ( 1 ... ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) )  +  ( C  .^  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) ) ) )
62 fzsplit3 27751 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  e.  ( 1 ... (
I `  C )
)  ->  ( 1 ... ( I `  C ) )  =  ( ( 1 ... ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  u.  (
( ( S `  C ) `  J
) ... ( I `  C ) ) ) )
6310, 62syl 16 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( 1 ... ( I `  C
) )  =  ( ( 1 ... (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )  u.  ( ( ( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) ) ) )
6463oveq2d 6312 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( C  .^  ( 1 ... (
I `  C )
) )  =  ( C  .^  ( (
1 ... ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )  u.  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) ) ) )
65 1eluzge0 11149 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
66 fzss1 11747 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
)
6867sseli 3495 . . . . . . 7  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
691, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56, 57ballotlemfg 28639 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  ( C  .^  ( 1 ... ( I `  C ) ) ) )
7068, 69sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  ( C  .^  ( 1 ... ( I `  C ) ) ) )
7114, 70syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  ( C  .^  ( 1 ... ( I `  C ) ) ) )
7213simprd 463 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  0 )
7371, 72eqtr3d 2500 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( C  .^  ( 1 ... (
I `  C )
) )  =  0 )
74 fzfi 12084 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin
75 eldifi 3622 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  C  e.  O )
761, 2, 3ballotlemelo 28601 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  O  <->  ( C  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  ( # `  C
)  =  M ) )
7776simplbi 460 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  O  ->  C  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
7875, 77syl 16 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  C  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
79 ssfi 7759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... ( M  +  N )
)  e.  Fin  /\  C  C_  ( 1 ... ( M  +  N
) ) )  ->  C  e.  Fin )
8074, 78, 79sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  C  e.  Fin )
8180adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  C  e.  Fin )
82 fzfid 12085 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( 1 ... ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  e.  Fin )
83 fzfid 12085 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J ) ... ( I `  C
) )  e.  Fin )
8425zred 10990 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  RR )
85 ltm1 10403 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  e.  RR  ->  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 )  < 
( ( S `  C ) `  J
) )
86 fzdisj 11737 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S `  C ) `  J
)  -  1 )  <  ( ( S `
 C ) `  J )  ->  (
( 1 ... (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )  i^i  ( ( ( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) ) )  =  (/) )
8784, 85, 863syl 20 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( 1 ... ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )  i^i  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) )  =  (/) )
881, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56, 57, 81, 82, 83, 87ballotlemgun 28638 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( C  .^  ( ( 1 ... ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  u.  (
( ( S `  C ) `  J
) ... ( I `  C ) ) ) )  =  ( ( C  .^  ( 1 ... ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) )  +  ( C  .^  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) ) ) )
8964, 73, 883eqtr3rd 2507 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( C 
.^  ( 1 ... ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) ) )  +  ( C  .^  (
( ( S `  C ) `  J
) ... ( I `  C ) ) ) )  =  0 )
9061, 89eqtrd 2498 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )  +  ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) )  =  0 )
9175adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  C  e.  O
)
9225, 11zsubcld 10995 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ZZ )
931, 2, 3, 4, 5, 91, 92ballotlemfelz 28604 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  e.  ZZ )
9493zcnd 10991 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  e.  CC )
951, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 56ballotlemro 28636 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( R `  C )  e.  O )
9695adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( R `  C )  e.  O
)
97 elfzelz 11713 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  J  e.  ZZ )
9820, 97syl 16 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
991, 2, 3, 4, 5, 96, 98ballotlemfelz 28604 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  e.  ZZ )
10099zcnd 10991 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  e.  CC )
101 addeq0 27708 . . 3  |-  ( ( ( ( F `  C ) `  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )  e.  CC  /\  ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J )  e.  CC )  -> 
( ( ( ( F `  C ) `
 ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )  +  ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) )  =  0  <->  (
( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  =  -u ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J ) ) )
10294, 100, 101syl2anc 661 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( ( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  +  ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J ) )  =  0  <->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  -u ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) ) )
10390, 102mpbid 210 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  -u ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   "cima 5011   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   Fincfn 7535   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   -ucneg 9825    / cdiv 10227   NNcn 10556   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   #chash 12407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-hash 12408
This theorem is referenced by:  ballotlemfrcn0  28643
  Copyright terms: Public domain W3C validator