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Theorem ballotlemfrceq 28107
Description: Value of  F for a reverse counting  ( R `  C ). (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
ballotth.r  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
ballotlemg  |-  .^  =  ( u  e.  Fin ,  v  e.  Fin  |->  ( ( # `  (
v  i^i  u )
)  -  ( # `  ( v  \  u
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfrceq  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  -u ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c    k, J    S, k, i, c    R, i   
v, u, C    u, I, v    u, J, v   
u, R, v    u, S, v    i, J
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, v, u, i, k, c)    R( x, k, c)    S( x)    E( x, v, u)    .^ ( x, v, u, i, k, c)    F( x, v, u)    I( x)    J( x, c)    M( x, v, u)    N( x, v, u)    O( x, v, u)

Proof of Theorem ballotlemfrceq
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . . . . 9  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . . . . . . . 9  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 ballotth.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
7 ballotth.mgtn . . . . . . . . 9  |-  N  < 
M
8 ballotth.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
9 ballotth.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsel1i 28091 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )
11 1z 10890 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
1211a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ballotlemiex 28080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( I `
 C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  ( ( F `  C ) `  ( I `  C
) )  =  0 ) )
1514simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
16 elfzelz 11684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
18 elfzuz3 11681 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( I `  C ) ) )
19 fzss2 11719 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
I `  C )
)  ->  ( 1 ... ( I `  C ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
2015, 18, 193syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( 1 ... ( I `  C
) )  C_  (
1 ... ( M  +  N ) ) )
21 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) ) )
2220, 21sseldd 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9ballotlemsdom 28090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
2422, 23syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )
25 elfzelz 11684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  ->  ( ( S `  C ) `  J )  e.  ZZ )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ZZ )
27 fzsubel 11715 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( I `  C
)  e.  ZZ )  /\  ( ( ( S `  C ) `
 J )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  e.  ( 1 ... ( I `
 C ) )  <-> 
( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) ) )
2812, 17, 26, 12, 27syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  e.  ( 1 ... (
I `  C )
)  <->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) ) )
2910, 28mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( ( 1  -  1 ) ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) )
30 1m1e0 10600 . . . . . . . 8  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3130oveq1i 6292 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  -  1 ) ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... (
( I `  C
)  -  1 ) )
3229, 31syl6eleq 2565 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( I `  C )  -  1 ) ) )
3313simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
3433, 16syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
3511a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  ZZ )
3634, 35zsubcld 10967 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  e.  ZZ )
37 nnaddcl 10554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
381, 2, 37mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  +  N )  e.  NN
3938nnzi 10884 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +  N )  e.  ZZ
4039a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
41 elfzle2 11686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
4233, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  <_  ( M  +  N
) )
43 zlem1lt 10910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( I `  C
)  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( I `
 C )  <_ 
( M  +  N
)  <->  ( ( I `
 C )  - 
1 )  <  ( M  +  N )
) )
4434, 40, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  <_  ( M  +  N )  <->  ( (
I `  C )  -  1 )  < 
( M  +  N
) ) )
4536zred 10962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  e.  RR )
4640zred 10962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  RR )
47 ltle 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( I `  C )  -  1 )  e.  RR  /\  ( M  +  N
)  e.  RR )  ->  ( ( ( I `  C )  -  1 )  < 
( M  +  N
)  ->  ( (
I `  C )  -  1 )  <_ 
( M  +  N
) ) )
4845, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( ( I `  C )  -  1 )  <  ( M  +  N )  -> 
( ( I `  C )  -  1 )  <_  ( M  +  N ) ) )
4944, 48sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  <_  ( M  +  N )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  <_  ( M  +  N ) ) )
5042, 49mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  <_  ( M  +  N ) )
51 eluz2 11084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  <->  ( ( ( I `  C )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( M  +  N )  e.  ZZ  /\  ( ( I `  C )  -  1 )  <_ 
( M  +  N
) ) )
5236, 40, 50, 51syl3anbrc 1180 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
53 fzss2 11719 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  ->  ( 0 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
5452, 53syl 16 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
0 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
5554sselda 3504 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
5632, 55syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )
57 ballotth.r . . . . . 6  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
58 ballotlemg . . . . . 6  |-  .^  =  ( u  e.  Fin ,  v  e.  Fin  |->  ( ( # `  (
v  i^i  u )
)  -  ( # `  ( v  \  u
) ) ) )
591, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 57, 58ballotlemfg 28104 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 )  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  ( C  .^  ( 1 ... ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) ) )
6056, 59syldan 470 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  ( C  .^  ( 1 ... ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) ) )
611, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 57, 58ballotlemfrc 28105 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  =  ( C  .^  ( (
( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) ) ) )
6260, 61oveq12d 6300 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )  +  ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) )  =  ( ( C  .^  ( 1 ... ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) )  +  ( C  .^  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) ) ) )
63 fzsplit3 27267 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  e.  ( 1 ... (
I `  C )
)  ->  ( 1 ... ( I `  C ) )  =  ( ( 1 ... ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  u.  (
( ( S `  C ) `  J
) ... ( I `  C ) ) ) )
6410, 63syl 16 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( 1 ... ( I `  C
) )  =  ( ( 1 ... (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )  u.  ( ( ( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) ) ) )
6564oveq2d 6298 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( C  .^  ( 1 ... (
I `  C )
) )  =  ( C  .^  ( (
1 ... ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )  u.  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) ) ) )
66 1nn0 10807 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
67 nn0uz 11112 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
6866, 67eleqtri 2553 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
69 fzss1 11718 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 0 ... ( M  +  N )
)
7170sseli 3500 . . . . . . 7  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ( 0 ... ( M  +  N )
) )
721, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 57, 58ballotlemfg 28104 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  ( 0 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  ( C  .^  ( 1 ... ( I `  C ) ) ) )
7371, 72sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  ( C  .^  ( 1 ... ( I `  C ) ) ) )
7415, 73syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  ( C  .^  ( 1 ... ( I `  C ) ) ) )
7514simprd 463 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  0 )
7674, 75eqtr3d 2510 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( C  .^  ( 1 ... (
I `  C )
) )  =  0 )
77 fzfi 12046 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin
78 eldifi 3626 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  C  e.  O )
791, 2, 3ballotlemelo 28066 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  O  <->  ( C  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  ( # `  C
)  =  M ) )
8079simplbi 460 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  O  ->  C  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
8178, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  C  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
82 ssfi 7737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... ( M  +  N )
)  e.  Fin  /\  C  C_  ( 1 ... ( M  +  N
) ) )  ->  C  e.  Fin )
8377, 81, 82sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  C  e.  Fin )
8483adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  C  e.  Fin )
85 fzfid 12047 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( 1 ... ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  e.  Fin )
86 fzfid 12047 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J ) ... ( I `  C
) )  e.  Fin )
8726zred 10962 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( S `
 C ) `  J )  e.  RR )
88 ltm1 10378 . . . . . 6  |-  ( ( ( S `  C
) `  J )  e.  RR  ->  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 )  < 
( ( S `  C ) `  J
) )
89 fzdisj 11708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( S `  C ) `  J
)  -  1 )  <  ( ( S `
 C ) `  J )  ->  (
( 1 ... (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )  i^i  ( ( ( S `  C
) `  J ) ... ( I `  C
) ) )  =  (/) )
9087, 88, 893syl 20 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( 1 ... ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )  i^i  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) )  =  (/) )
911, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 57, 58, 84, 85, 86, 90ballotlemgun 28103 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( C  .^  ( ( 1 ... ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  u.  (
( ( S `  C ) `  J
) ... ( I `  C ) ) ) )  =  ( ( C  .^  ( 1 ... ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) ) )  +  ( C  .^  ( ( ( S `
 C ) `  J ) ... (
I `  C )
) ) ) )
9265, 76, 913eqtr3rd 2517 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( C 
.^  ( 1 ... ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) ) )  +  ( C  .^  (
( ( S `  C ) `  J
) ... ( I `  C ) ) ) )  =  0 )
9362, 92eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )  +  ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) )  =  0 )
9478adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  C  e.  O
)
9526, 12zsubcld 10967 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 )  e.  ZZ )
961, 2, 3, 4, 5, 94, 95ballotlemfelz 28069 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  e.  ZZ )
9796zcnd 10963 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  e.  CC )
981, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 57ballotlemro 28101 . . . . . 6  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  ( R `  C )  e.  O )
9998adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( R `  C )  e.  O
)
100 elfzelz 11684 . . . . . 6  |-  ( J  e.  ( 1 ... ( I `  C
) )  ->  J  e.  ZZ )
10121, 100syl 16 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  J  e.  ZZ )
1021, 2, 3, 4, 5, 99, 101ballotlemfelz 28069 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  e.  ZZ )
103102zcnd 10963 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J )  e.  CC )
104 addeq0 27230 . . 3  |-  ( ( ( ( F `  C ) `  (
( ( S `  C ) `  J
)  -  1 ) )  e.  CC  /\  ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J )  e.  CC )  -> 
( ( ( ( F `  C ) `
 ( ( ( S `  C ) `
 J )  - 
1 ) )  +  ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) )  =  0  <->  (
( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  =  -u ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J ) ) )
10597, 103, 104syl2anc 661 . 2  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( ( ( F `  C
) `  ( (
( S `  C
) `  J )  -  1 ) )  +  ( ( F `
 ( R `  C ) ) `  J ) )  =  0  <->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  -u ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) ) )
10693, 105mpbid 210 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  J  e.  ( 1 ... ( I `  C ) ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( ( S `
 C ) `  J )  -  1 ) )  =  -u ( ( F `  ( R `  C ) ) `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   ~Pcpw 4010   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   "cima 5002   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284   Fincfn 7513   supcsup 7896   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   -ucneg 9802    / cdiv 10202   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668   #chash 12369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-hash 12370
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