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Theorem ballotlemfp1 26877
Description: If the J th ballot is for A, ( F ` C ) goes up 1. If the J th ballot is for B, ( F ` C ) goes down 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m |- M e. NN
ballotth.n |- N e. NN
ballotth.o |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotlemfp1.c |- ( ph -> C e. O )
ballotlemfp1.j |- ( ph -> J e. NN )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfp1 |- ( ph -> ( ( -. J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O, c   F, c, i   C, i   i, J   ph, i
Allowed substitution hints:   ph( x, c)   C( x, c)   P( x, i, c)   F( x)   J( x, c)   M( x)   N( x)   O( x)
Proof of Theorem ballotlemfp1
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . 6 |- M e. NN
2 ballotth.n . . . . . 6 |- N e. NN
3 ballotth.o . . . . . 6 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4 ballotth.p . . . . . 6 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5 ballotth.f . . . . . 6 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6 ballotlemfp1.c . . . . . 6 |- ( ph -> C e. O )
7 ballotlemfp1.j . . . . . . 7 |- ( ph -> J e. NN )
87nnzd 10749 . . . . . 6 |- ( ph -> J e. ZZ )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ballotlemfval 26875 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) )
109adantr 465 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) )
11 elnnuz 10900 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. NN <-> J e. ( ZZ>= ` 1 ) )
127, 11sylib 196 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. ( ZZ>= ` 1 ) )
13 fzspl 26080 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... J ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) )
1413ineq1d 3554 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) i^i C ) )
15 indir 3601 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) )
1614, 15syl6eq 2491 . . . . . . . . 9 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) )
1712, 16syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) )
1817adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) )
19 disjsn 3939 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C i^i { J } ) = (/) <-> -. J e. C )
20 incom 3546 . . . . . . . . . . . 12 |- ( C i^i { J } ) = ( { J } i^i C )
2120eqeq1i 2450 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C i^i { J } ) = (/) <-> ( { J } i^i C ) = (/) )
2219, 21bitr3i 251 . . . . . . . . . 10 |- ( -. J e. C <-> ( { J } i^i C ) = (/) )
2322biimpi 194 . . . . . . . . 9 |- ( -. J e. C -> ( { J } i^i C ) = (/) )
2423adantl 466 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( { J } i^i C ) = (/) )
2524uneq2d 3513 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. (/) ) )
26 un0 3665 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. (/) ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C )
2726a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. (/) ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) )
2818, 25, 273eqtrd 2479 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) )
2928fveq2d 5698 . . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) = ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) )
3013difeq1d 3476 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... J ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) \ C ) )
31 difundir 3606 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) )
3230, 31syl6eq 2491 . . . . . . . . 9 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... J ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) )
3312, 32syl 16 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 ... J ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) )
34 disj3 3726 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( { J } i^i C ) = (/) <-> { J } = ( { J } \ C ) )
3523, 34sylib 196 . . . . . . . . . 10 |- ( -. J e. C -> { J } = ( { J } \ C ) )
3635eqcomd 2448 . . . . . . . . 9 |- ( -. J e. C -> ( { J } \ C ) = { J } )
3736uneq2d 3513 . . . . . . . 8 |- ( -. J e. C -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) )
3833, 37sylan9eq 2495 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( 1 ... J ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) )
3938fveq2d 5698 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) ) )
408adantr 465 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> J e. ZZ )
41 uzid 10878 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ZZ -> J e. ( ZZ>= ` J ) )
42 uznfz 11546 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( ZZ>= ` J ) -> -. J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
438, 41, 423syl 20 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
4443adantr 465 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> -. J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
45 difss 3486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) C_ ( 1 ... ( J - 1 ) )
4645sseli 3355 . . . . . . . . 9 |- ( J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) -> J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
4744, 46nsyl 121 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) )
48 fzfi 11797 . . . . . . . . 9 |- ( 1 ... ( J - 1 ) ) e. Fin
49 ssfi 7536 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) e. Fin /\ ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) C_ ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin )
5048, 45, 49mp2an 672 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin
5147, 50jctil 537 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin /\ -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) )
52 hashunsng 12157 . . . . . . 7 |- ( J e. ZZ -> ( ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin /\ -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) ) )
5340, 51, 52sylc 60 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) )
5439, 53eqtrd 2475 . . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) )
5529, 54oveq12d 6112 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) ) )
56 1z 10679 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
5756a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
588, 57zsubcld 10755 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. ZZ )
591, 2, 3, 4, 5, 6, 58ballotlemfval 26875 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) )
6059adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) )
6160oveq1d 6109 . . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) - 1 ) )
62 inss1 3573 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) C_ ( 1 ... ( J - 1 ) )
63 ssfi 7536 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) e. Fin /\ ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) C_ ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin )
6448, 62, 63mp2an 672 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin
65 hashcl 12129 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. NN0 )
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. NN0
6766nn0cni 10594 . . . . . . 7 |- ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. CC
6867a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. CC )
69 diffi 7546 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) e. Fin -> ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin )
7048, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin
71 hashcl 12129 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. NN0 )
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. NN0
7372nn0cni 10594 . . . . . . 7 |- ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. CC
7473a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. CC )
75 ax-1cn 9343 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
7675a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> 1 e. CC )
7768, 74, 76subsub4d 9753 . . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) - 1 ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) ) )
7861, 77eqtr2d 2476 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) )
7910, 55, 783eqtrd 2479 . . 3 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) )
8079ex 434 . 2 |- ( ph -> ( -. J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) ) )
819adantr 465 . . . 4 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) )
8217fveq2d 5698 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) ) )
8382adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) ) )
84 snssi 4020 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. C -> { J } C_ C )
85 df-ss 3345 . . . . . . . . . 10 |- ( { J } C_ C <-> ( { J } i^i C ) = { J } )
8684, 85sylib 196 . . . . . . . . 9 |- ( J e. C -> ( { J } i^i C ) = { J } )
8786uneq2d 3513 . . . . . . . 8 |- ( J e. C -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) )
8887fveq2d 5698 . . . . . . 7 |- ( J e. C -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) ) )
8988adantl 466 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) ) )
90 simpr 461 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> J e. C )
918adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> J e. ZZ )
9291, 41, 423syl 20 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> -. J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
9362sseli 3355 . . . . . . . . 9 |- ( J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) -> J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
9492, 93nsyl 121 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) )
9594, 64jctil 537 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin /\ -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) )
96 hashunsng 12157 . . . . . . 7 |- ( J e. C -> ( ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin /\ -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) ) )
9790, 95, 96sylc 60 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) )
9883, 89, 973eqtrd 2479 . . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) )
9933fveq2d 5698 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) ) )
10099adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) ) )
101 difin2 3615 . . . . . . . . . . 11 |- ( { J } C_ C -> ( { J } \ C ) = ( ( C \ C ) i^i { J } ) )
102 difid 3750 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( C \ C ) = (/)
103102ineq1i 3551 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C \ C ) i^i { J } ) = ( (/) i^i { J } )
104 incom 3546 . . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) i^i { J } ) = ( { J } i^i (/) )
105 in0 3666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( { J } i^i (/) ) = (/)
106103, 104, 1053eqtri 2467 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C \ C ) i^i { J } ) = (/)
107101, 106syl6eq 2491 . . . . . . . . . 10 |- ( { J } C_ C -> ( { J } \ C ) = (/) )
10884, 107syl 16 . . . . . . . . 9 |- ( J e. C -> ( { J } \ C ) = (/) )
109108uneq2d 3513 . . . . . . . 8 |- ( J e. C -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) )
110109fveq2d 5698 . . . . . . 7 |- ( J e. C -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) ) )
111110adantl 466 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) ) )
112 un0 3665 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C )
113112a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) )
114113fveq2d 5698 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) ) = ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) )
115100, 111, 1143eqtrd 2479 . . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) )
11698, 115oveq12d 6112 . . . 4 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) = ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) )
11767a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. CC )
11875a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> 1 e. CC )
11973a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. CC )
120117, 118, 119addsubd 9743 . . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) = ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) + 1 ) )
12159adantr 465 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) )
122121oveq1d 6109 . . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) = ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) + 1 ) )
123120, 122eqtr4d 2478 . . . 4 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) )
12481, 116, 1233eqtrd 2479 . . 3 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) )
125124ex 434 . 2 |- ( ph -> ( J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) ) )
12680, 125jca 532 1 |- ( ph -> ( ( -. J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   {crab 2722   \ cdif 3328   u. cun 3329   i^i cin 3330   C_ wss 3331   (/)c0 3640   ~Pcpw 3863   {csn 3880   e. cmpt 4353   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   Fincfn 7313   CCcc 9283   1c1 9286   + caddc 9288   - cmin 9598   / cdiv 9996   NNcn 10325   NN0cn0 10582   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864   ...cfz 11440   #chash 12106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-fz 11441  df-hash 12107
This theorem is referenced by:  ballotlemfc0  26878  ballotlemfcc  26879  ballotlem4  26884  ballotlemi1  26888  ballotlemii  26889  ballotlemic  26892  ballotlem1c  26893
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