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Theorem ballotlemfp1 26877
Description: If the  J th ballot is for A,  ( F `  C ) goes up 1. If the  J th ballot is for B,  ( F `  C ) goes down 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotlemfp1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
ballotlemfp1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfp1  |-  ( ph  ->  ( ( -.  J  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `
 J )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( J  -  1
) )  -  1 ) )  /\  ( J  e.  C  ->  ( ( F `  C
) `  J )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( J  - 
1 ) )  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O, c    F, c, i    C, i    i, J    ph, i
Allowed substitution hints:    ph( x, c)    C( x, c)    P( x, i, c)    F( x)    J( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemfp1
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . 6  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . . . . 6  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . . . . 6  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . . . . 6  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . . . . 6  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 ballotlemfp1.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
7 ballotlemfp1.j . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
87nnzd 10749 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ballotlemfval 26875 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  =  ( (
# `  ( (
1 ... J )  i^i 
C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... J ) 
\  C ) ) ) )
109adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  J )  =  ( ( # `  ( ( 1 ... J )  i^i  C
) )  -  ( # `
 ( ( 1 ... J )  \  C ) ) ) )
11 elnnuz 10900 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  NN  <->  J  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
127, 11sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
13 fzspl 26080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 1 ... J )  =  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  u.  { J } ) )
1413ineq1d 3554 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
1 ... J )  i^i 
C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  u.  { J } )  i^i  C
) )
15 indir 3601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  u.  { J } )  i^i  C
)  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u.  ( { J }  i^i  C ) )
1614, 15syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
1 ... J )  i^i 
C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  ( { J }  i^i  C
) ) )
1712, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... J )  i^i  C
)  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u.  ( { J }  i^i  C ) ) )
1817adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( 1 ... J
)  i^i  C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u.  ( { J }  i^i  C ) ) )
19 disjsn 3939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  i^i  { J } )  =  (/)  <->  -.  J  e.  C )
20 incom 3546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  i^i  { J }
)  =  ( { J }  i^i  C
)
2120eqeq1i 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  i^i  { J } )  =  (/)  <->  ( { J }  i^i  C
)  =  (/) )
2219, 21bitr3i 251 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  J  e.  C  <->  ( { J }  i^i  C )  =  (/) )
2322biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  J  e.  C  -> 
( { J }  i^i  C )  =  (/) )
2423adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( { J }  i^i  C
)  =  (/) )
2524uneq2d 3513 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  ( { J }  i^i  C
) )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  (/) ) )
26 un0 3665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u.  (/) )  =  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  (/) )  =  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
) )
2818, 25, 273eqtrd 2479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( 1 ... J
)  i^i  C )  =  ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )
2928fveq2d 5698 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  i^i 
C ) )  =  ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) ) )
3013difeq1d 3476 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
1 ... J )  \  C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  u.  { J } )  \  C
) )
31 difundir 3606 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  u.  { J } )  \  C
)  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C )  u.  ( { J }  \  C ) )
3230, 31syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
1 ... J )  \  C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  ( { J }  \  C
) ) )
3312, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... J )  \  C
)  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C )  u.  ( { J }  \  C ) ) )
34 disj3 3726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { J }  i^i  C )  =  (/)  <->  { J }  =  ( { J }  \  C ) )
3523, 34sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  J  e.  C  ->  { J }  =  ( { J }  \  C ) )
3635eqcomd 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  J  e.  C  -> 
( { J }  \  C )  =  { J } )
3736uneq2d 3513 . . . . . . . 8  |-  ( -.  J  e.  C  -> 
( ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C )  u.  ( { J }  \  C
) )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  { J } ) )
3833, 37sylan9eq 2495 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( 1 ... J
)  \  C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  u. 
{ J } ) )
3938fveq2d 5698 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  \  C ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  { J } ) ) )
408adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  J  e.  ZZ )
41 uzid 10878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  ( ZZ>= `  J )
)
42 uznfz 11546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  J
)  ->  -.  J  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )
438, 41, 423syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  J  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )
4443adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  -.  J  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) ) )
45 difss 3486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  C_  ( 1 ... ( J  -  1 ) )
4645sseli 3355 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C )  ->  J  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )
4744, 46nsyl 121 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  -.  J  e.  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )
48 fzfi 11797 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  e. 
Fin
49 ssfi 7536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  C_  ( 1 ... ( J  - 
1 ) ) )  ->  ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C )  e.  Fin )
5048, 45, 49mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  e. 
Fin
5147, 50jctil 537 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  e.  Fin  /\  -.  J  e.  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) ) )
52 hashunsng 12157 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ZZ  ->  (
( ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C )  e.  Fin  /\ 
-.  J  e.  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) )  ->  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  { J } ) )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) )  +  1 ) ) )
5340, 51, 52sylc 60 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  u. 
{ J } ) )  =  ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )  +  1 ) )
5439, 53eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  \  C ) )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) )  +  1 ) )
5529, 54oveq12d 6112 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( # `  ( ( 1 ... J )  i^i  C ) )  -  ( # `  (
( 1 ... J
)  \  C )
) )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  -  ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )  +  1 ) ) )
56 1z 10679 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
5756a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
588, 57zsubcld 10755 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ZZ )
591, 2, 3, 4, 5, 6, 58ballotlemfval 26875 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  ( J  -  1 ) )  =  ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C ) ) ) )
6059adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( J  -  1 ) )  =  ( ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
) )  -  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) ) ) )
6160oveq1d 6109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( ( F `  C ) `  ( J  -  1 ) )  -  1 )  =  ( ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C ) ) )  -  1 ) )
62 inss1 3573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  C_  ( 1 ... ( J  -  1 ) )
63 ssfi 7536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  C_  ( 1 ... ( J  - 
1 ) ) )  ->  ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C )  e.  Fin )
6448, 62, 63mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  e. 
Fin
65 hashcl 12129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  e. 
NN0 )
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
) )  e.  NN0
6766nn0cni 10594 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
) )  e.  CC
6867a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  e.  CC )
69 diffi 7546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  e.  Fin  ->  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C )  e.  Fin )
7048, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  e. 
Fin
71 hashcl 12129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )  e. 
NN0 )
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) )  e.  NN0
7372nn0cni 10594 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) )  e.  CC
7473a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )  e.  CC )
75 ax-1cn 9343 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
7675a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  1  e.  CC )
7768, 74, 76subsub4d 9753 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) ) )  - 
1 )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  -  ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )  +  1 ) ) )
7861, 77eqtr2d 2476 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  -  ( ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) )  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  ( J  -  1 ) )  -  1 ) )
7910, 55, 783eqtrd 2479 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  J )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( J  - 
1 ) )  - 
1 ) )
8079ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  J  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  J )  =  ( ( ( F `  C ) `  ( J  -  1 ) )  -  1 ) ) )
819adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  J )  =  ( ( # `  ( ( 1 ... J )  i^i  C
) )  -  ( # `
 ( ( 1 ... J )  \  C ) ) ) )
8217fveq2d 5698 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( 1 ... J
)  i^i  C )
)  =  ( # `  ( ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C )  u.  ( { J }  i^i  C
) ) ) )
8382adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  i^i 
C ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  ( { J }  i^i  C
) ) ) )
84 snssi 4020 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  C  ->  { J }  C_  C )
85 df-ss 3345 . . . . . . . . . 10  |-  ( { J }  C_  C  <->  ( { J }  i^i  C )  =  { J } )
8684, 85sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  C  ->  ( { J }  i^i  C
)  =  { J } )
8786uneq2d 3513 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  C  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  ( { J }  i^i  C
) )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  { J } ) )
8887fveq2d 5698 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  C  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u.  ( { J }  i^i  C ) ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  { J } ) ) )
8988adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u.  ( { J }  i^i  C ) ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  { J } ) ) )
90 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  J  e.  C )
918adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  J  e.  ZZ )
9291, 41, 423syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  -.  J  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) ) )
9362sseli 3355 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C )  ->  J  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )
9492, 93nsyl 121 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  -.  J  e.  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )
9594, 64jctil 537 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  e.  Fin  /\  -.  J  e.  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) ) )
96 hashunsng 12157 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  C  ->  (
( ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C )  e.  Fin  /\ 
-.  J  e.  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  ->  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  { J } ) )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  +  1 ) ) )
9790, 95, 96sylc 60 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u. 
{ J } ) )  =  ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  +  1 ) )
9883, 89, 973eqtrd 2479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  i^i 
C ) )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  +  1 ) )
9933fveq2d 5698 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( 1 ... J
)  \  C )
)  =  ( # `  ( ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C )  u.  ( { J }  \  C
) ) ) )
10099adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  \  C ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  ( { J }  \  C
) ) ) )
101 difin2 3615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { J }  C_  C  ->  ( { J }  \  C )  =  ( ( C  \  C
)  i^i  { J } ) )
102 difid 3750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C 
\  C )  =  (/)
103102ineq1i 3551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  \  C )  i^i  { J }
)  =  ( (/)  i^i 
{ J } )
104 incom 3546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  i^i 
{ J } )  =  ( { J }  i^i  (/) )
105 in0 3666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { J }  i^i  (/) )  =  (/)
106103, 104, 1053eqtri 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  \  C )  i^i  { J }
)  =  (/)
107101, 106syl6eq 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( { J }  C_  C  ->  ( { J }  \  C )  =  (/) )
10884, 107syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  C  ->  ( { J }  \  C
)  =  (/) )
109108uneq2d 3513 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  C  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  ( { J }  \  C
) )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  (/) ) )
110109fveq2d 5698 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  C  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  u.  ( { J }  \  C ) ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  (/) ) ) )
111110adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  u.  ( { J }  \  C ) ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  (/) ) ) )
112 un0 3665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C )  u.  (/) )  =  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C )
113112a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  (/) )  =  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) )
114113fveq2d 5698 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  u.  (/) ) )  =  (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) ) )
115100, 111, 1143eqtrd 2479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  \  C ) )  =  ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) ) )
11698, 115oveq12d 6112 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( # `  ( ( 1 ... J )  i^i  C ) )  -  ( # `  (
( 1 ... J
)  \  C )
) )  =  ( ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  +  1 )  -  ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) ) ) )
11767a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  e.  CC )
11875a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  1  e.  CC )
11973a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )  e.  CC )
120117, 118, 119addsubd 9743 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  +  1 )  -  ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) ) )  =  ( ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) ) )  +  1 ) )
12159adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( J  -  1 ) )  =  ( ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
) )  -  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) ) ) )
122121oveq1d 6109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( ( F `  C ) `  ( J  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C ) ) )  +  1 ) )
123120, 122eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  +  1 )  -  ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  ( J  -  1 ) )  +  1 ) )
12481, 116, 1233eqtrd 2479 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  J )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( J  - 
1 ) )  +  1 ) )
125124ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( J  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( J  -  1 ) )  +  1 ) ) )
12680, 125jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( -.  J  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `
 J )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( J  -  1
) )  -  1 ) )  /\  ( J  e.  C  ->  ( ( F `  C
) `  J )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( J  - 
1 ) )  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2722    \ cdif 3328    u. cun 3329    i^i cin 3330    C_ wss 3331   (/)c0 3640   ~Pcpw 3863   {csn 3880    e. cmpt 4353   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   Fincfn 7313   CCcc 9283   1c1 9286    + caddc 9288    - cmin 9598    / cdiv 9996   NNcn 10325   NN0cn0 10582   ZZcz 10649   ZZ>=cuz 10864   ...cfz 11440   #chash 12106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-card 8112  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-nn 10326  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-fz 11441  df-hash 12107
This theorem is referenced by:  ballotlemfc0  26878  ballotlemfcc  26879  ballotlem4  26884  ballotlemi1  26888  ballotlemii  26889  ballotlemic  26892  ballotlem1c  26893
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