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Theorem ballotlemfp1 29324
Description: If the J th ballot is for A, ( F ` C ) goes up 1. If the J th ballot is for B, ( F ` C ) goes down 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m |- M e. NN
ballotth.n |- N e. NN
ballotth.o |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotlemfp1.c |- ( ph -> C e. O )
ballotlemfp1.j |- ( ph -> J e. NN )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfp1 |- ( ph -> ( ( -. J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O, c   F, c, i   C, i   i, J   ph, i
Allowed substitution hints:   ph( x, c)   C( x, c)   P( x, i, c)   F( x)   J( x, c)   M( x)   N( x)   O( x)
Proof of Theorem ballotlemfp1
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . 6 |- M e. NN
2 ballotth.n . . . . . 6 |- N e. NN
3 ballotth.o . . . . . 6 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4 ballotth.p . . . . . 6 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5 ballotth.f . . . . . 6 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6 ballotlemfp1.c . . . . . 6 |- ( ph -> C e. O )
7 ballotlemfp1.j . . . . . . 7 |- ( ph -> J e. NN )
87nnzd 11039 . . . . . 6 |- ( ph -> J e. ZZ )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ballotlemfval 29322 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) )
109adantr 467 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) )
11 elnnuz 11195 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. NN <-> J e. ( ZZ>= ` 1 ) )
127, 11sylib 200 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. ( ZZ>= ` 1 ) )
13 fzspl 28368 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... J ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) )
1413ineq1d 3633 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) i^i C ) )
15 indir 3691 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) )
1614, 15syl6eq 2501 . . . . . . . . 9 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) )
1712, 16syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) )
1817adantr 467 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) )
19 disjsn 4032 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C i^i { J } ) = (/) <-> -. J e. C )
20 incom 3625 . . . . . . . . . . . 12 |- ( C i^i { J } ) = ( { J } i^i C )
2120eqeq1i 2456 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C i^i { J } ) = (/) <-> ( { J } i^i C ) = (/) )
2219, 21bitr3i 255 . . . . . . . . . 10 |- ( -. J e. C <-> ( { J } i^i C ) = (/) )
2322biimpi 198 . . . . . . . . 9 |- ( -. J e. C -> ( { J } i^i C ) = (/) )
2423adantl 468 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( { J } i^i C ) = (/) )
2524uneq2d 3588 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. (/) ) )
26 un0 3759 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. (/) ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C )
2726a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. (/) ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) )
2818, 25, 273eqtrd 2489 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) )
2928fveq2d 5869 . . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) = ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) )
3013difeq1d 3550 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... J ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) \ C ) )
31 difundir 3696 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) )
3230, 31syl6eq 2501 . . . . . . . . 9 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... J ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) )
3312, 32syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 ... J ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) )
34 disj3 3809 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( { J } i^i C ) = (/) <-> { J } = ( { J } \ C ) )
3523, 34sylib 200 . . . . . . . . . 10 |- ( -. J e. C -> { J } = ( { J } \ C ) )
3635eqcomd 2457 . . . . . . . . 9 |- ( -. J e. C -> ( { J } \ C ) = { J } )
3736uneq2d 3588 . . . . . . . 8 |- ( -. J e. C -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) )
3833, 37sylan9eq 2505 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( 1 ... J ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) )
3938fveq2d 5869 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) ) )
408adantr 467 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> J e. ZZ )
41 uzid 11173 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ZZ -> J e. ( ZZ>= ` J ) )
42 uznfz 11877 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( ZZ>= ` J ) -> -. J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
438, 41, 423syl 18 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
4443adantr 467 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> -. J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
45 difss 3560 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) C_ ( 1 ... ( J - 1 ) )
4645sseli 3428 . . . . . . . . 9 |- ( J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) -> J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
4744, 46nsyl 125 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) )
48 fzfi 12185 . . . . . . . . 9 |- ( 1 ... ( J - 1 ) ) e. Fin
49 ssfi 7792 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) e. Fin /\ ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) C_ ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin )
5048, 45, 49mp2an 678 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin
5147, 50jctil 540 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin /\ -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) )
52 hashunsng 12571 . . . . . . 7 |- ( J e. ZZ -> ( ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin /\ -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) ) )
5340, 51, 52sylc 62 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) )
5439, 53eqtrd 2485 . . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) )
5529, 54oveq12d 6308 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) ) )
56 1zzd 10968 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
578, 56zsubcld 11045 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. ZZ )
581, 2, 3, 4, 5, 6, 57ballotlemfval 29322 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) )
5958adantr 467 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) )
6059oveq1d 6305 . . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) - 1 ) )
61 inss1 3652 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) C_ ( 1 ... ( J - 1 ) )
62 ssfi 7792 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) e. Fin /\ ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) C_ ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin )
6348, 61, 62mp2an 678 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin
64 hashcl 12538 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. NN0 )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. NN0
6665nn0cni 10881 . . . . . . 7 |- ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. CC
6766a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. CC )
68 diffi 7803 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) e. Fin -> ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin )
6948, 68ax-mp 5 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin
70 hashcl 12538 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. NN0 )
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . 8 |- ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. NN0
7271nn0cni 10881 . . . . . . 7 |- ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. CC
7372a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. CC )
74 1cnd 9659 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> 1 e. CC )
7567, 73, 74subsub4d 10017 . . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) - 1 ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) ) )
7660, 75eqtr2d 2486 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) )
7710, 55, 763eqtrd 2489 . . 3 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) )
7877ex 436 . 2 |- ( ph -> ( -. J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) ) )
799adantr 467 . . . 4 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) )
8017fveq2d 5869 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) ) )
8180adantr 467 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) ) )
82 snssi 4116 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. C -> { J } C_ C )
83 df-ss 3418 . . . . . . . . . 10 |- ( { J } C_ C <-> ( { J } i^i C ) = { J } )
8482, 83sylib 200 . . . . . . . . 9 |- ( J e. C -> ( { J } i^i C ) = { J } )
8584uneq2d 3588 . . . . . . . 8 |- ( J e. C -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) )
8685fveq2d 5869 . . . . . . 7 |- ( J e. C -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) ) )
8786adantl 468 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) ) )
88 simpr 463 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> J e. C )
898adantr 467 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> J e. ZZ )
9089, 41, 423syl 18 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> -. J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
9161sseli 3428 . . . . . . . . 9 |- ( J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) -> J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
9290, 91nsyl 125 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) )
9392, 63jctil 540 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin /\ -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) )
94 hashunsng 12571 . . . . . . 7 |- ( J e. C -> ( ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin /\ -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) ) )
9588, 93, 94sylc 62 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) )
9681, 87, 953eqtrd 2489 . . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) )
9733fveq2d 5869 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) ) )
9897adantr 467 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) ) )
99 difin2 3705 . . . . . . . . . . 11 |- ( { J } C_ C -> ( { J } \ C ) = ( ( C \ C ) i^i { J } ) )
100 difid 3835 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( C \ C ) = (/)
101100ineq1i 3630 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C \ C ) i^i { J } ) = ( (/) i^i { J } )
102 incom 3625 . . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) i^i { J } ) = ( { J } i^i (/) )
103 in0 3760 . . . . . . . . . . . 12 |- ( { J } i^i (/) ) = (/)
104101, 102, 1033eqtri 2477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( C \ C ) i^i { J } ) = (/)
10599, 104syl6eq 2501 . . . . . . . . . 10 |- ( { J } C_ C -> ( { J } \ C ) = (/) )
10682, 105syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( J e. C -> ( { J } \ C ) = (/) )
107106uneq2d 3588 . . . . . . . 8 |- ( J e. C -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) )
108107fveq2d 5869 . . . . . . 7 |- ( J e. C -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) ) )
109108adantl 468 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) ) )
110 un0 3759 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C )
111110a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) )
112111fveq2d 5869 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) ) = ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) )
11398, 109, 1123eqtrd 2489 . . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) )
11496, 113oveq12d 6308 . . . 4 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) = ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) )
11566a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. CC )
116 1cnd 9659 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> 1 e. CC )
11772a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. CC )
118115, 116, 117addsubd 10007 . . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) = ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) + 1 ) )
11958adantr 467 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) )
120119oveq1d 6305 . . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) = ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) + 1 ) )
121118, 120eqtr4d 2488 . . . 4 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) )
12279, 114, 1213eqtrd 2489 . . 3 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) )
123122ex 436 . 2 |- ( ph -> ( J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) ) )
12478, 123jca 535 1 |- ( ph -> ( ( -. J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   {crab 2741   \ cdif 3401   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   ~Pcpw 3951   {csn 3968   |-> cmpt 4461   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   1c1 9540   + caddc 9542   - cmin 9860   / cdiv 10269   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784   #chash 12515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12516
This theorem is referenced by:  ballotlemfc0  29325  ballotlemfcc  29326  ballotlem4  29331  ballotlemi1  29335  ballotlemii  29336  ballotlemic  29339  ballotlem1c  29340  ballotlemi1OLD  29373  ballotlemiiOLD  29374  ballotlemicOLD  29377  ballotlem1cOLD  29378
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