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Theorem ballotlemfp1 28627
Description: If the  J th ballot is for A,  ( F `  C ) goes up 1. If the  J th ballot is for B,  ( F `  C ) goes down 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotlemfp1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
ballotlemfp1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfp1  |-  ( ph  ->  ( ( -.  J  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `
 J )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( J  -  1
) )  -  1 ) )  /\  ( J  e.  C  ->  ( ( F `  C
) `  J )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( J  - 
1 ) )  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O, c    F, c, i    C, i    i, J    ph, i
Allowed substitution hints:    ph( x, c)    C( x, c)    P( x, i, c)    F( x)    J( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemfp1
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . 6  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . . . . 6  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . . . . 6  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . . . . 6  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . . . . 6  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 ballotlemfp1.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
7 ballotlemfp1.j . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
87nnzd 10989 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 8ballotlemfval 28625 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  =  ( (
# `  ( (
1 ... J )  i^i 
C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... J ) 
\  C ) ) ) )
109adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  J )  =  ( ( # `  ( ( 1 ... J )  i^i  C
) )  -  ( # `
 ( ( 1 ... J )  \  C ) ) ) )
11 elnnuz 11142 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  NN  <->  J  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
127, 11sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  J  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
13 fzspl 27758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 1 ... J )  =  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  u.  { J } ) )
1413ineq1d 3695 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
1 ... J )  i^i 
C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  u.  { J } )  i^i  C
) )
15 indir 3753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  u.  { J } )  i^i  C
)  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u.  ( { J }  i^i  C ) )
1614, 15syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
1 ... J )  i^i 
C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  ( { J }  i^i  C
) ) )
1712, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... J )  i^i  C
)  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u.  ( { J }  i^i  C ) ) )
1817adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( 1 ... J
)  i^i  C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u.  ( { J }  i^i  C ) ) )
19 disjsn 4092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  i^i  { J } )  =  (/)  <->  -.  J  e.  C )
20 incom 3687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  i^i  { J }
)  =  ( { J }  i^i  C
)
2120eqeq1i 2464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  i^i  { J } )  =  (/)  <->  ( { J }  i^i  C
)  =  (/) )
2219, 21bitr3i 251 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  J  e.  C  <->  ( { J }  i^i  C )  =  (/) )
2322biimpi 194 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  J  e.  C  -> 
( { J }  i^i  C )  =  (/) )
2423adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( { J }  i^i  C
)  =  (/) )
2524uneq2d 3654 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  ( { J }  i^i  C
) )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  (/) ) )
26 un0 3819 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u.  (/) )  =  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  (/) )  =  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
) )
2818, 25, 273eqtrd 2502 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( 1 ... J
)  i^i  C )  =  ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )
2928fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  i^i 
C ) )  =  ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) ) )
3013difeq1d 3617 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
1 ... J )  \  C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  u.  { J } )  \  C
) )
31 difundir 3758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  u.  { J } )  \  C
)  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C )  u.  ( { J }  \  C ) )
3230, 31syl6eq 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( (
1 ... J )  \  C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  ( { J }  \  C
) ) )
3312, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... J )  \  C
)  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C )  u.  ( { J }  \  C ) ) )
34 disj3 3874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { J }  i^i  C )  =  (/)  <->  { J }  =  ( { J }  \  C ) )
3523, 34sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  J  e.  C  ->  { J }  =  ( { J }  \  C ) )
3635eqcomd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  J  e.  C  -> 
( { J }  \  C )  =  { J } )
3736uneq2d 3654 . . . . . . . 8  |-  ( -.  J  e.  C  -> 
( ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C )  u.  ( { J }  \  C
) )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  { J } ) )
3833, 37sylan9eq 2518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( 1 ... J
)  \  C )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  u. 
{ J } ) )
3938fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  \  C ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  { J } ) ) )
408adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  J  e.  ZZ )
41 uzid 11120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ZZ  ->  J  e.  ( ZZ>= `  J )
)
42 uznfz 11787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  J
)  ->  -.  J  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )
438, 41, 423syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  J  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )
4443adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  -.  J  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) ) )
45 difss 3627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  C_  ( 1 ... ( J  -  1 ) )
4645sseli 3495 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C )  ->  J  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )
4744, 46nsyl 121 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  -.  J  e.  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )
48 fzfi 12085 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  e. 
Fin
49 ssfi 7759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  C_  ( 1 ... ( J  - 
1 ) ) )  ->  ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C )  e.  Fin )
5048, 45, 49mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  e. 
Fin
5147, 50jctil 537 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  e.  Fin  /\  -.  J  e.  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) ) )
52 hashunsng 12463 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  ZZ  ->  (
( ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C )  e.  Fin  /\ 
-.  J  e.  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) )  ->  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  { J } ) )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) )  +  1 ) ) )
5340, 51, 52sylc 60 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  u. 
{ J } ) )  =  ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )  +  1 ) )
5439, 53eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  \  C ) )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) )  +  1 ) )
5529, 54oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( # `  ( ( 1 ... J )  i^i  C ) )  -  ( # `  (
( 1 ... J
)  \  C )
) )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  -  ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )  +  1 ) ) )
56 1zzd 10916 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
578, 56zsubcld 10995 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ZZ )
581, 2, 3, 4, 5, 6, 57ballotlemfval 28625 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  ( J  -  1 ) )  =  ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C ) ) ) )
5958adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( J  -  1 ) )  =  ( ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
) )  -  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) ) ) )
6059oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( ( F `  C ) `  ( J  -  1 ) )  -  1 )  =  ( ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C ) ) )  -  1 ) )
61 inss1 3714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  C_  ( 1 ... ( J  -  1 ) )
62 ssfi 7759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  C_  ( 1 ... ( J  - 
1 ) ) )  ->  ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C )  e.  Fin )
6348, 61, 62mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  e. 
Fin
64 hashcl 12431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  e. 
NN0 )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
) )  e.  NN0
6665nn0cni 10828 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
) )  e.  CC
6766a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  e.  CC )
68 diffi 7770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  e.  Fin  ->  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C )  e.  Fin )
6948, 68ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  e. 
Fin
70 hashcl 12431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )  e. 
NN0 )
7169, 70ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) )  e.  NN0
7271nn0cni 10828 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) )  e.  CC
7372a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )  e.  CC )
74 1cnd 9629 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  1  e.  CC )
7567, 73, 74subsub4d 9981 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) ) )  - 
1 )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  -  ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )  +  1 ) ) )
7660, 75eqtr2d 2499 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  -  ( ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) )  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  ( J  -  1 ) )  -  1 ) )
7710, 55, 763eqtrd 2502 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  J  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  J )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( J  - 
1 ) )  - 
1 ) )
7877ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  J  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  J )  =  ( ( ( F `  C ) `  ( J  -  1 ) )  -  1 ) ) )
799adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  J )  =  ( ( # `  ( ( 1 ... J )  i^i  C
) )  -  ( # `
 ( ( 1 ... J )  \  C ) ) ) )
8017fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( 1 ... J
)  i^i  C )
)  =  ( # `  ( ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C )  u.  ( { J }  i^i  C
) ) ) )
8180adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  i^i 
C ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  ( { J }  i^i  C
) ) ) )
82 snssi 4176 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  C  ->  { J }  C_  C )
83 df-ss 3485 . . . . . . . . . 10  |-  ( { J }  C_  C  <->  ( { J }  i^i  C )  =  { J } )
8482, 83sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  C  ->  ( { J }  i^i  C
)  =  { J } )
8584uneq2d 3654 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  C  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  ( { J }  i^i  C
) )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  { J } ) )
8685fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  C  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u.  ( { J }  i^i  C ) ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  { J } ) ) )
8786adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u.  ( { J }  i^i  C ) ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  { J } ) ) )
88 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  J  e.  C )
898adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  J  e.  ZZ )
9089, 41, 423syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  -.  J  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) ) )
9161sseli 3495 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C )  ->  J  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )
9290, 91nsyl 121 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  -.  J  e.  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )
9392, 63jctil 537 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  e.  Fin  /\  -.  J  e.  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) ) )
94 hashunsng 12463 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  C  ->  (
( ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C )  e.  Fin  /\ 
-.  J  e.  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  ->  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
)  u.  { J } ) )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  +  1 ) ) )
9588, 93, 94sylc 60 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C )  u. 
{ J } ) )  =  ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  +  1 ) )
9681, 87, 953eqtrd 2502 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  i^i 
C ) )  =  ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  +  1 ) )
9733fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  (
( 1 ... J
)  \  C )
)  =  ( # `  ( ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C )  u.  ( { J }  \  C
) ) ) )
9897adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  \  C ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  ( { J }  \  C
) ) ) )
99 difin2 3767 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { J }  C_  C  ->  ( { J }  \  C )  =  ( ( C  \  C
)  i^i  { J } ) )
100 difid 3899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C 
\  C )  =  (/)
101100ineq1i 3692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  \  C )  i^i  { J }
)  =  ( (/)  i^i 
{ J } )
102 incom 3687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  i^i 
{ J } )  =  ( { J }  i^i  (/) )
103 in0 3820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { J }  i^i  (/) )  =  (/)
104101, 102, 1033eqtri 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  \  C )  i^i  { J }
)  =  (/)
10599, 104syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( { J }  C_  C  ->  ( { J }  \  C )  =  (/) )
10682, 105syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( J  e.  C  ->  ( { J }  \  C
)  =  (/) )
107106uneq2d 3654 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  C  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  ( { J }  \  C
) )  =  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  (/) ) )
108107fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  C  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  u.  ( { J }  \  C ) ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  (/) ) ) )
109108adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  u.  ( { J }  \  C ) ) )  =  ( # `  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  (/) ) ) )
110 un0 3819 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C )  u.  (/) )  =  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C )
111110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
)  u.  (/) )  =  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) )
112111fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C )  u.  (/) ) )  =  (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) ) )
11398, 109, 1123eqtrd 2502 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... J )  \  C ) )  =  ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) ) )
11496, 113oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( # `  ( ( 1 ... J )  i^i  C ) )  -  ( # `  (
( 1 ... J
)  \  C )
) )  =  ( ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  +  1 )  -  ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) ) ) )
11566a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  e.  CC )
116 1cnd 9629 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  1  e.  CC )
11772a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) )  e.  CC )
118115, 116, 117addsubd 9971 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  +  1 )  -  ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) ) )  =  ( ( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C
) ) )  +  1 ) )
11958adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( J  -  1 ) )  =  ( ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C
) )  -  ( # `
 ( ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \  C ) ) ) )
120119oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( ( F `  C ) `  ( J  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( (
# `  ( (
1 ... ( J  - 
1 ) )  i^i 
C ) )  -  ( # `  ( ( 1 ... ( J  -  1 ) ) 
\  C ) ) )  +  1 ) )
121118, 120eqtr4d 2501 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  i^i  C ) )  +  1 )  -  ( # `  (
( 1 ... ( J  -  1 ) )  \  C ) ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  ( J  -  1 ) )  +  1 ) )
12279, 114, 1213eqtrd 2502 . . 3  |-  ( (
ph  /\  J  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  J )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( J  - 
1 ) )  +  1 ) )
123122ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( J  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( J  -  1 ) )  +  1 ) ) )
12478, 123jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( -.  J  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `
 J )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( J  -  1
) )  -  1 ) )  /\  ( J  e.  C  ->  ( ( F `  C
) `  J )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( J  - 
1 ) )  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   1c1 9510    + caddc 9512    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697   #chash 12408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12409
This theorem is referenced by:  ballotlemfc0  28628  ballotlemfcc  28629  ballotlem4  28634  ballotlemi1  28638  ballotlemii  28639  ballotlemic  28642  ballotlem1c  28643
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