Theorem ballotlemfp1 28181

Description: If the J th ballot is for A, ( F ` C ) goes up 1. If the J th ballot is for B, ( F ` C ) goes down 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotlemfp1.c	|- ( ph -> C e. O )
ballotlemfp1.j	|- ( ph -> J e. NN )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfp1	|- ( ph -> ( ( -. J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) ) ) )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O, c   F, c, i   C, i   i, J   ph, i

Allowed substitution hints:   ph( x, c)   C( x, c)   P( x, i, c)   F( x)   J( x, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotlemfp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . . . . 6 |- M e. NN
2		ballotth.n	. . . . . 6 |- N e. NN
3		ballotth.o	. . . . . 6 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4		ballotth.p	. . . . . 6 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5		ballotth.f	. . . . . 6 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6		ballotlemfp1.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. O )
7		ballotlemfp1.j	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. NN )
8	7	nnzd 10966	. . . . . 6 |- ( ph -> J e. ZZ )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8	ballotlemfval 28179	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) )
10	9	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) )
11		elnnuz 11119	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. NN <-> J e. ( ZZ>= ` 1 ) )
12	7, 11	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J e. ( ZZ>= ` 1 ) )
13		fzspl 27363	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 1 ... J ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) )
14	13	ineq1d 3699	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) i^i C ) )
15		indir 3746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) )
16	14, 15	syl6eq 2524	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) )
17	12, 16	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) )
18	17	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) )
19		disjsn 4088	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C i^i { J } ) = (/) <-> -. J e. C )
20		incom 3691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C i^i { J } ) = ( { J } i^i C )
21	20	eqeq1i 2474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C i^i { J } ) = (/) <-> ( { J } i^i C ) = (/) )
22	19, 21	bitr3i 251	. . . . . . . . . 10 |- ( -. J e. C <-> ( { J } i^i C ) = (/) )
23	22	biimpi 194	. . . . . . . . 9 |- ( -. J e. C -> ( { J } i^i C ) = (/) )
24	23	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( { J } i^i C ) = (/) )
25	24	uneq2d 3658	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. (/) ) )
26		un0 3810	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. (/) ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C )
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. (/) ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) )
28	18, 25, 27	3eqtrd 2512	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( 1 ... J ) i^i C ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) )
29	28	fveq2d 5870	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) = ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) )
30	13	difeq1d 3621	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... J ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) \ C ) )
31		difundir 3751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) u. { J } ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) )
32	30, 31	syl6eq 2524	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( 1 ... J ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) )
33	12, 32	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 ... J ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) )
34		disj3 3871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { J } i^i C ) = (/) <-> { J } = ( { J } \ C ) )
35	23, 34	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( -. J e. C -> { J } = ( { J } \ C ) )
36	35	eqcomd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( -. J e. C -> ( { J } \ C ) = { J } )
37	36	uneq2d 3658	. . . . . . . 8 |- ( -. J e. C -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) )
38	33, 37	sylan9eq 2528	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( 1 ... J ) \ C ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) )
39	38	fveq2d 5870	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) ) )
40	8	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> J e. ZZ )
41		uzid 11097	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ZZ -> J e. ( ZZ>= ` J ) )
42		uznfz 11762	. . . . . . . . . . 11 |- ( J e. ( ZZ>= ` J ) -> -. J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
43	8, 41, 42	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
44	43	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> -. J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
45		difss 3631	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) C_ ( 1 ... ( J - 1 ) )
46	45	sseli 3500	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) -> J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
47	44, 46	nsyl 121	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) )
48		fzfi 12051	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... ( J - 1 ) ) e. Fin
49		ssfi 7741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) e. Fin /\ ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) C_ ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin )
50	48, 45, 49	mp2an 672	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin
51	47, 50	jctil 537	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin /\ -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) )
52		hashunsng 12428	. . . . . . 7 |- ( J e. ZZ -> ( ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin /\ -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) ) )
53	40, 51, 52	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. { J } ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) )
54	39, 53	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) )
55	29, 54	oveq12d 6303	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) ) )
56		1z 10895	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
57	56	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
58	8, 57	zsubcld 10972	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. ZZ )
59	1, 2, 3, 4, 5, 6, 58	ballotlemfval 28179	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) )
60	59	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) )
61	60	oveq1d 6300	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) - 1 ) )
62		inss1 3718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) C_ ( 1 ... ( J - 1 ) )
63		ssfi 7741	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) e. Fin /\ ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) C_ ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin )
64	48, 62, 63	mp2an 672	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin
65		hashcl 12397	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. NN0 )
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. NN0
67	66	nn0cni 10808	. . . . . . 7 |- ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. CC
68	67	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. CC )
69		diffi 7752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) e. Fin -> ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin )
70	48, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin
71		hashcl 12397	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) e. Fin -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. NN0 )
72	70, 71	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. NN0
73	72	nn0cni 10808	. . . . . . 7 |- ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. CC
74	73	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. CC )
75		ax-1cn 9551	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
76	75	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> 1 e. CC )
77	68, 74, 76	subsub4d 9962	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) - 1 ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) ) )
78	61, 77	eqtr2d 2509	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) )
79	10, 55, 78	3eqtrd 2512	. . 3 |- ( ( ph /\ -. J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) )
80	79	ex 434	. 2 |- ( ph -> ( -. J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) ) )
81	9	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) )
82	17	fveq2d 5870	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) ) )
83	82	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) ) )
84		snssi 4171	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. C -> { J } C_ C )
85		df-ss 3490	. . . . . . . . . 10 |- ( { J } C_ C <-> ( { J } i^i C ) = { J } )
86	84, 85	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( J e. C -> ( { J } i^i C ) = { J } )
87	86	uneq2d 3658	. . . . . . . 8 |- ( J e. C -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) )
88	87	fveq2d 5870	. . . . . . 7 |- ( J e. C -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) ) )
89	88	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. ( { J } i^i C ) ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) ) )
90		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> J e. C )
91	8	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> J e. ZZ )
92	91, 41, 42	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> -. J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
93	62	sseli 3500	. . . . . . . . 9 |- ( J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) -> J e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) )
94	92, 93	nsyl 121	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) )
95	94, 64	jctil 537	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin /\ -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) )
96		hashunsng 12428	. . . . . . 7 |- ( J e. C -> ( ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) e. Fin /\ -. J e. ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) ) )
97	90, 95, 96	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) u. { J } ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) )
98	83, 89, 97	3eqtrd 2512	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) )
99	33	fveq2d 5870	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) ) )
100	99	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) ) )
101		difin2 3760	. . . . . . . . . . 11 |- ( { J } C_ C -> ( { J } \ C ) = ( ( C \ C ) i^i { J } ) )
102		difid 3895	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C \ C ) = (/)
103	102	ineq1i 3696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C \ C ) i^i { J } ) = ( (/) i^i { J } )
104		incom 3691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) i^i { J } ) = ( { J } i^i (/) )
105		in0 3811	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { J } i^i (/) ) = (/)
106	103, 104, 105	3eqtri 2500	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C \ C ) i^i { J } ) = (/)
107	101, 106	syl6eq 2524	. . . . . . . . . 10 |- ( { J } C_ C -> ( { J } \ C ) = (/) )
108	84, 107	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( J e. C -> ( { J } \ C ) = (/) )
109	108	uneq2d 3658	. . . . . . . 8 |- ( J e. C -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) = ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) )
110	109	fveq2d 5870	. . . . . . 7 |- ( J e. C -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) ) )
111	110	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. ( { J } \ C ) ) ) = ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) ) )
112		un0 3810	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C )
113	112	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) = ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) )
114	113	fveq2d 5870	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) u. (/) ) ) = ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) )
115	100, 111, 114	3eqtrd 2512	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) = ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) )
116	98, 115	oveq12d 6303	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( # ` ( ( 1 ... J ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... J ) \ C ) ) ) = ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) )
117	67	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) e. CC )
118	75	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> 1 e. CC )
119	73	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) e. CC )
120	117, 118, 119	addsubd 9952	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) = ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) + 1 ) )
121	59	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) = ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) )
122	121	oveq1d 6300	. . . . 5 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) = ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) + 1 ) )
123	120, 122	eqtr4d 2511	. . . 4 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) i^i C ) ) + 1 ) - ( # ` ( ( 1 ... ( J - 1 ) ) \ C ) ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) )
124	81, 116, 123	3eqtrd 2512	. . 3 |- ( ( ph /\ J e. C ) -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) )
125	124	ex 434	. 2 |- ( ph -> ( J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) ) )
126	80, 125	jca 532	1 |- ( ph -> ( ( -. J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( J e. C -> ( ( F ` C ) ` J ) = ( ( ( F ` C ) ` ( J - 1 ) ) + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   {crab 2818   \ cdif 3473   u. cun 3474   i^i cin 3475   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Fincfn 7517   CCcc 9491   1c1 9494   + caddc 9496   - cmin 9806   / cdiv 10207   NNcn 10537   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11083   ...cfz 11673   #chash 12374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-hash 12375

This theorem is referenced by:  ballotlemfc0  28182  ballotlemfcc  28183  ballotlem4  28188  ballotlemi1  28192  ballotlemii  28193  ballotlemic  28196  ballotlem1c  28197