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Theorem ballotlemfcc 28100
Description:  F takes value 0 between positive and negative values. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotlemfcc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
ballotlemfcc.j  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
ballotlemfcc.3  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 1 ... J ) 0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) )
ballotlemfcc.4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  <  0 )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfcc  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F    k, F    C, i    i, J    ph, i, k    k, J    C, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, c)    C( x, c)    P( x, i, k, c)    F( x)    J( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemfcc
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  k ) )
21breq2d 4459 . . . . . 6  |-  ( i  =  k  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )
32elrab 3261 . . . . 5  |-  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) }  <->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )
43anbi1i 695 . . . 4  |-  ( ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k )  <->  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )
5 simprl 755 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
65adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  k  e.  ( 1 ... J ) )
7 fzssuz 11724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... J )  C_  ( ZZ>= `  1 )
8 uzssz 11101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
97, 8sstri 3513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... J )  C_  ZZ
10 zssre 10871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  C_  RR
119, 10sstri 3513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... J )  C_  RR
1211sseli 3500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  RR )
1312ltp1d 10476 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
14 1re 9595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  1  e.  RR )
1612, 15readdcld 9623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
1712, 16ltnled 9731 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  <  ( k  +  1 )  <->  -.  (
k  +  1 )  <_  k ) )
1813, 17mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_  k )
196, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_ 
k )
20 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k )
21 ballotlemfcc.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  <  0 )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( F `  C
) `  J )  <  0 )
23 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  k  =  J )
2423fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  ( ( F `
 C ) `  J ) )
2524breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <  0  <->  ( ( F `  C ) `  J )  <  0
) )
26 ballotlemfcc.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
27 elnnuz 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( J  e.  NN  <->  J  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2826, 27sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  J  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
29 eluzfz2 11694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  J  e.  ( 1 ... J
) )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 1 ... J ) )
31 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  J  ->  (
k  e.  ( 1 ... J )  <->  J  e.  ( 1 ... J
) ) )
3230, 31syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  k  e.  ( 1 ... J ) ) )
3332anc2li 557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... J ) ) ) )
34 1z 10894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  ZZ
35 0le1 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  1
36 0z 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  ZZ
3736eluz1i 11089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  0  <_ 
1 ) )
3834, 35, 37mpbir2an 918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
39 fzss1 11722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... J )  C_  ( 0 ... J
) )
4039sseld 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  ->  k  e.  ( 0 ... J
) ) )
4138, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  ( 0 ... J
) )
42 ballotth.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  M  e.  NN
43 ballotth.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  N  e.  NN
44 ballotth.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
45 ballotth.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
46 ballotth.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
47 ballotlemfcc.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  C  e.  O )
49 elfzelz 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( 0 ... J )  ->  k  e.  ZZ )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  k  e.  ZZ )
5142, 43, 44, 45, 46, 48, 50ballotlemfelz 28097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  ZZ )
5251zred 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  RR )
53 0re 9596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  0  e.  RR )
5552, 54ltnled 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) ) )
5641, 55sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) ) )
5733, 56syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) ) )
5857imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) ) )
5925, 58bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( ( F `  C ) `  J
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) ) )
6022, 59mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  -.  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )
6160ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  -.  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )
6261con2d 115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( F `  C
) `  k )  ->  -.  k  =  J ) )
63 nn1m1nn 10556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( J  e.  NN  ->  ( J  =  1  \/  ( J  -  1
)  e.  NN ) )
6426, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( J  =  1  \/  ( J  - 
1 )  e.  NN ) )
65 ballotlemfcc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 1 ... J ) 0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  E. i  e.  ( 1 ... J
) 0  <_  (
( F `  C
) `  i )
)
67 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( J  =  1  ->  ( J ... J )  =  ( 1 ... J
) )
6867adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( J ... J )  =  ( 1 ... J
) )
6926nnzd 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
70 fzsn 11725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( J  e.  ZZ  ->  ( J ... J )  =  { J } )
7169, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( J ... J
)  =  { J } )
7271adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( J ... J )  =  { J } )
7368, 72eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
1 ... J )  =  { J } )
7473rexeqdv 3065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( E. i  e.  (
1 ... J ) 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i )  <->  E. i  e.  { J } 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )
7566, 74mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  E. i  e.  { J } 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) )
76 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  J  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  J ) )
7776breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  J  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  J )
) )
7877rexsng 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( J  e.  NN  ->  ( E. i  e.  { J } 0  <_  (
( F `  C
) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `
 C ) `  J ) ) )
7926, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( E. i  e. 
{ J } 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  J )
) )
8079adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( E. i  e.  { J } 0  <_  (
( F `  C
) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `
 C ) `  J ) ) )
8175, 80mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  0  <_  ( ( F `  C ) `  J
) )
8221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
( F `  C
) `  J )  <  0 )
8342, 43, 44, 45, 46, 47, 69ballotlemfelz 28097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  e.  ZZ )
8483zred 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  e.  RR )
8553a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
8684, 85ltnled 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 C ) `  J )  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  J ) ) )
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
( ( F `  C ) `  J
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  J
) ) )
8882, 87mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  -.  0  <_  ( ( F `
 C ) `  J ) )
8981, 88pm2.65da 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  -.  J  =  1 )
90 biortn 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  J  =  1  -> 
( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
9189, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
92 notnot 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( J  =  1  <->  -.  -.  J  =  1 )
9392orbi1i 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN )  <-> 
( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) )
9491, 93syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
9564, 94mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  NN )
96 elnnuz 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  -  1 )  e.  NN  <->  ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9795, 96sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
98 elfzp1 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( k  e.  ( 1 ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
9997, 98syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
10026nncnd 10552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
101 ax-1cn 9550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
103100, 102npcand 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  +  1 )  =  J )
104103oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 1 ... J ) )
105104eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
k  e.  ( 1 ... J ) ) )
106103eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  =  ( ( J  -  1 )  +  1 )  <-> 
k  =  J ) )
107106orbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  J ) ) )
10899, 105, 1073bitr3d 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  <-> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  J ) ) )
109 orcom 387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \/  k  =  J )  <-> 
( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) )
110108, 109syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  <-> 
( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
111110biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  ( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
112 pm5.6 910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  ( 1 ... J )  /\  -.  k  =  J )  ->  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  ->  ( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
113111, 112sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  -.  k  =  J )  ->  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) )
11495nnzd 10965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ZZ )
115114, 34jctil 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ ) )
116 elfzelz 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
117116, 34jctir 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  (
k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
)
118 fzaddel 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  <-> 
( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
119115, 117, 118syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  <->  ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... (
( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
120119biimp3a 1328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) )
1211203anidm23 1287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) )
122 1p1e2 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  +  1 )  =  2
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
124123, 103oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 ) ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 2 ... J ) )
125124eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( k  +  1 )  e.  ( 2 ... J ) ) )
126 1le2 10749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  <_  2
127 2z 10896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ZZ
128 eluz 11095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 2  e.  (
ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  2 ) )
12934, 127, 128mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  1  <_  2
)
130126, 129mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
131 fzss1 11722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... J )  C_  ( 1 ... J
) )
132130, 131ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2 ... J )  C_  ( 1 ... J
)
133132sseli 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 2 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
134125, 133syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
135134adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
136121, 135mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
137136ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
138113, 137syld 44 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  -.  k  =  J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
13962, 138sylan2d 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) ) )
140139imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
141140adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
142 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) )
143142breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) ) )
144143elrab 3261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  1 )  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) }  <->  ( (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
145 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  <_  k  <->  ( k  +  1 )  <_ 
k ) )
146145rspccva 3213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k  /\  (
k  +  1 )  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) } )  -> 
( k  +  1 )  <_  k )
147144, 146sylan2br 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k  /\  (
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  k
)
148147expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  -> 
( 0  <_  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  k
) )
149148con3d 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  -> 
( -.  ( k  +  1 )  <_ 
k  ->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
15020, 141, 149syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( -.  (
k  +  1 )  <_  k  ->  -.  0  <_  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
15119, 150mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  -.  0  <_  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) )
152 simplrr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  ->  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k )
153141adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
15453a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  0  e.  RR )
155 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ph )
156140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )
15739sseld 3503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 0 ... J ) ) )
15838, 156, 157mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )
15947adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  C  e.  O )
160 elfzelz 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
161160adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
16242, 43, 44, 45, 46, 159, 161ballotlemfelz 28097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
163162zred 10966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
164155, 158, 163syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
165 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
)
1665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
167166, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  k  e.  ( 0 ... J
) )
168139imdistani 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
16947adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  C  e.  O )
170 elfznn 11714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
171170adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
17242, 43, 44, 45, 46, 169, 171ballotlemfp1 28098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( -.  ( k  +  1 )  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  C  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  +  1 ) ) ) )
173172simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( k  +  1 )  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 ) ) )
174173imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 ) )
175168, 174sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 ) )
176 elfzelz 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  ZZ )
177176zcnd 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  CC )
178101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  1  e.  CC )
179177, 178pncand 9931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
180179fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( F `
 C ) `  k ) )
181180oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )
182181eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
183166, 182syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  +  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
184175, 183mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) )
185 zleltp1 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_ 
( ( F `  C ) `  k
)  <->  0  <  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
18636, 51, 185sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  k )  <->  0  <  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
187186adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )  -> 
( 0  <_  (
( F `  C
) `  k )  <->  0  <  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) ) )
188 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
189188adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )  -> 
( 0  <  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  C
) `  k )  +  1 ) ) )
190187, 189bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )  -> 
( 0  <_  (
( F `  C
) `  k )  <->  0  <  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
191155, 167, 184, 190syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( 0  <_  ( ( F `
 C ) `  k )  <->  0  <  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) ) )
192165, 191mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  0  <  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) )
193154, 164, 192ltled 9732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  0  <_  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) )
194193adantlrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
0  <_  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) ) )
195152, 153, 194, 147syl12anc 1226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( k  +  1 )  <_  k )
19619, 195mtand 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  -.  ( k  +  1 )  e.  C )
197172simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  ( -.  ( k  +  1 )  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) ) )
198197imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) )
199168, 198sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  - 
1 ) )
2005adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
201180oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )
202201eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
203200, 202syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
204199, 203mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )
205204adantlrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) )
206196, 205mpdan 668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) )
207 breq2 4451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 )  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  <->  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
208207notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 )  ->  ( -.  0  <_  ( ( F `  C ) `
 ( k  +  1 ) )  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `
 C ) `  k )  -  1 ) ) )
209206, 208syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
210151, 209mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  -.  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) )
2115, 41syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  k  e.  ( 0 ... J
) )
212211, 51syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  ZZ )
213212adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  k )  e.  ZZ )
214 zlem1lt 10914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  C ) `  k
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  <->  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0 ) )
21536, 214mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( F `  C
) `  k )  <_  0  <->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 )  <  0
) )
216 zre 10868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( ( F `  C ) `  k )  e.  RR )
21714a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
218216, 217resubcld 9987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( F `  C
) `  k )  -  1 )  e.  RR )
21953a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
220218, 219ltnled 9731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `
 C ) `  k )  -  1 ) ) )
221215, 220bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( F `  C
) `  k )  <_  0  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
222213, 221syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  <_ 
0  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
223210, 222mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)
224 simprlr 762 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)
225213zred 10966 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  k )  e.  RR )
22653a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  0  e.  RR )
227225, 226letri3d 9726 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  =  0  <->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) ) )
228223, 224, 227mpbir2and 920 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
2294, 228sylan2b 475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  0 )
230 ssrab2 3585 . . . . . 6  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  C_  ( 1 ... J
)
231230, 11sstri 3513 . . . . 5  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  C_  RR
232231a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  C_  RR )
233 fzfi 12050 . . . . . 6  |-  ( 1 ... J )  e. 
Fin
234 ssfi 7740 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... J
)  e.  Fin  /\  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) }  C_  ( 1 ... J
) )  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  e.  Fin )
235233, 230, 234mp2an 672 . . . . 5  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  e.  Fin
236235a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  e.  Fin )
237 rabn0 3805 . . . . 5  |-  ( { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) }  =/=  (/)  <->  E. i  e.  ( 1 ... J ) 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) )
23865, 237sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  =/=  (/) )
239 fimaxre 10490 . . . 4  |-  ( ( { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  C_  RR  /\  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) }  e.  Fin  /\  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) }  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) } j  <_ 
k )
240232, 236, 238, 239syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) } j  <_ 
k )
241229, 240reximddv 2939 . 2  |-  ( ph  ->  E. k  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) }  (
( F `  C
) `  k )  =  0 )
242 elrabi 3258 . . . 4  |-  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) }  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
243242anim1i 568 . . 3  |-  ( ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )  ->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  =  0 ) )
244243reximi2 2931 . 2  |-  ( E. k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  (
( F `  C
) `  k )  =  0  ->  E. k  e.  ( 1 ... J
) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
245241, 244syl 16 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    \ cdif 3473    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672   #chash 12373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374
This theorem is referenced by:  ballotlem1c  28114
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