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Theorem ballotlemfcc 29152
Description:  F takes value 0 between positive and negative values. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotlemfcc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
ballotlemfcc.j  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
ballotlemfcc.3  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 1 ... J ) 0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) )
ballotlemfcc.4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  <  0 )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfcc  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F    k, F    C, i    i, J    ph, i, k    k, J    C, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, c)    C( x, c)    P( x, i, k, c)    F( x)    J( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemfcc
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5881 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  k ) )
21breq2d 4438 . . . . . 6  |-  ( i  =  k  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )
32elrab 3235 . . . . 5  |-  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) }  <->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )
43anbi1i 699 . . . 4  |-  ( ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k )  <->  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )
5 simprl 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
65adantrr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  k  e.  ( 1 ... J ) )
7 fzssuz 11837 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... J )  C_  ( ZZ>= `  1 )
8 uzssz 11178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
97, 8sstri 3479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... J )  C_  ZZ
10 zssre 10944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  C_  RR
119, 10sstri 3479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... J )  C_  RR
1211sseli 3466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  RR )
1312ltp1d 10537 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
14 1red 9657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  1  e.  RR )
1512, 14readdcld 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
1612, 15ltnled 9781 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  <  ( k  +  1 )  <->  -.  (
k  +  1 )  <_  k ) )
1713, 16mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_  k )
186, 17syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_ 
k )
19 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k )
20 ballotlemfcc.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  <  0 )
2120adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( F `  C
) `  J )  <  0 )
22 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  k  =  J )
2322fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  ( ( F `
 C ) `  J ) )
2423breq1d 4436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <  0  <->  ( ( F `  C ) `  J )  <  0
) )
25 ballotlemfcc.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
26 elnnuz 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( J  e.  NN  <->  J  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2725, 26sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  J  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
28 eluzfz2 11805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  J  e.  ( 1 ... J
) )
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 1 ... J ) )
30 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  J  ->  (
k  e.  ( 1 ... J )  <->  J  e.  ( 1 ... J
) ) )
3129, 30syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  k  e.  ( 1 ... J ) ) )
3231anc2li 559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... J ) ) ) )
33 1eluzge0 11202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
34 fzss1 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... J )  C_  ( 0 ... J
) )
3534sseld 3469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  ->  k  e.  ( 0 ... J
) ) )
3633, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  ( 0 ... J
) )
37 ballotth.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  M  e.  NN
38 ballotth.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  N  e.  NN
39 ballotth.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
40 ballotth.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
41 ballotth.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
42 ballotlemfcc.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
4342adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  C  e.  O )
44 elfzelz 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( 0 ... J )  ->  k  e.  ZZ )
4544adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  k  e.  ZZ )
4637, 38, 39, 40, 41, 43, 45ballotlemfelz 29149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  ZZ )
4746zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  RR )
48 0red 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  0  e.  RR )
4947, 48ltnled 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) ) )
5036, 49sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) ) )
5132, 50syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) ) )
5251imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) ) )
5324, 52bitr3d 258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( ( F `  C ) `  J
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) ) )
5421, 53mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  -.  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )
5554ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  -.  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )
5655con2d 118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( F `  C
) `  k )  ->  -.  k  =  J ) )
57 nn1m1nn 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( J  e.  NN  ->  ( J  =  1  \/  ( J  -  1
)  e.  NN ) )
5825, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( J  =  1  \/  ( J  - 
1 )  e.  NN ) )
59 ballotlemfcc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 1 ... J ) 0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) )
6059adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  E. i  e.  ( 1 ... J
) 0  <_  (
( F `  C
) `  i )
)
61 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( J  =  1  ->  ( J ... J )  =  ( 1 ... J
) )
6261adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( J ... J )  =  ( 1 ... J
) )
6325nnzd 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
64 fzsn 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( J  e.  ZZ  ->  ( J ... J )  =  { J } )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( J ... J
)  =  { J } )
6665adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( J ... J )  =  { J } )
6762, 66eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
1 ... J )  =  { J } )
6867rexeqdv 3039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( E. i  e.  (
1 ... J ) 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i )  <->  E. i  e.  { J } 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )
6960, 68mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  E. i  e.  { J } 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) )
70 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  J  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  J ) )
7170breq2d 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  J  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  J )
) )
7271rexsng 4038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( J  e.  NN  ->  ( E. i  e.  { J } 0  <_  (
( F `  C
) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `
 C ) `  J ) ) )
7325, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( E. i  e. 
{ J } 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  J )
) )
7473adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( E. i  e.  { J } 0  <_  (
( F `  C
) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `
 C ) `  J ) ) )
7569, 74mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  0  <_  ( ( F `  C ) `  J
) )
7620adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
( F `  C
) `  J )  <  0 )
7737, 38, 39, 40, 41, 42, 63ballotlemfelz 29149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  e.  ZZ )
7877zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  e.  RR )
79 0red 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
8078, 79ltnled 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 C ) `  J )  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  J ) ) )
8180adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
( ( F `  C ) `  J
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  J
) ) )
8276, 81mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  -.  0  <_  ( ( F `
 C ) `  J ) )
8375, 82pm2.65da 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  -.  J  =  1 )
84 biortn 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  J  =  1  -> 
( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
8583, 84syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
86 notnot 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( J  =  1  <->  -.  -.  J  =  1 )
8786orbi1i 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN )  <-> 
( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) )
8885, 87syl6bbr 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
8958, 88mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  NN )
90 elnnuz 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  -  1 )  e.  NN  <->  ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9189, 90sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
92 elfzp1 11844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( k  e.  ( 1 ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
9425nncnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
95 1cnd 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
9694, 95npcand 9989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  +  1 )  =  J )
9796oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 1 ... J ) )
9897eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
k  e.  ( 1 ... J ) ) )
9996eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  =  ( ( J  -  1 )  +  1 )  <-> 
k  =  J ) )
10099orbi2d 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  J ) ) )
10193, 98, 1003bitr3d 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  <-> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  J ) ) )
102 orcom 388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \/  k  =  J )  <-> 
( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) )
103101, 102syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  <-> 
( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
104103biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  ( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
105 pm5.6 920 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  ( 1 ... J )  /\  -.  k  =  J )  ->  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  ->  ( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
106104, 105sylibr 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  -.  k  =  J )  ->  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) )
10789nnzd 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ZZ )
108 1z 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  ZZ
109107, 108jctil 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ ) )
110 elfzelz 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
111110, 108jctir 540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  (
k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
)
112 fzaddel 11831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  <-> 
( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
113109, 111, 112syl2an 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  <->  ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... (
( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
114113biimp3a 1364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) )
1151143anidm23 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) )
116 1p1e2 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  +  1 )  =  2
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
118117, 96oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 ) ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 2 ... J ) )
119118eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( k  +  1 )  e.  ( 2 ... J ) ) )
120 2eluzge1 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
121 fzss1 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... J )  C_  ( 1 ... J
) )
122120, 121ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2 ... J )  C_  ( 1 ... J
)
123122sseli 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 2 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
124119, 123syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
125124adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
126115, 125mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
127126ex 435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
128106, 127syld 45 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  -.  k  =  J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
12956, 128sylan2d 484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) ) )
130129imp 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
131130adantrr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
132 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) )
133132breq2d 4438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) ) )
134133elrab 3235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  1 )  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) }  <->  ( (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
135 breq1 4429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  <_  k  <->  ( k  +  1 )  <_ 
k ) )
136135rspccva 3187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k  /\  (
k  +  1 )  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) } )  -> 
( k  +  1 )  <_  k )
137134, 136sylan2br 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k  /\  (
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  k
)
138137expr 618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  -> 
( 0  <_  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  k
) )
139138con3d 138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  -> 
( -.  ( k  +  1 )  <_ 
k  ->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
14019, 131, 139syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( -.  (
k  +  1 )  <_  k  ->  -.  0  <_  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
14118, 140mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  -.  0  <_  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) )
142 simplrr 769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  ->  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k )
143131adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
144 0red 9643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  0  e.  RR )
145 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ph )
146130adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )
14734sseld 3469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 0 ... J ) ) )
14833, 146, 147mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )
14942adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  C  e.  O )
150 elfzelz 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
151150adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
15237, 38, 39, 40, 41, 149, 151ballotlemfelz 29149 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
153152zred 11040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
154145, 148, 153syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
155 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
)
1565adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
157156, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  k  e.  ( 0 ... J
) )
158129imdistani 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
15942adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  C  e.  O )
160 elfznn 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
161160adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
16237, 38, 39, 40, 41, 159, 161ballotlemfp1 29150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( -.  ( k  +  1 )  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  C  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  +  1 ) ) ) )
163162simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( k  +  1 )  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 ) ) )
164163imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 ) )
165158, 164sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 ) )
166 elfzelz 11798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  ZZ )
167166zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  CC )
168 1cnd 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  1  e.  CC )
169167, 168pncand 9986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
170169fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( F `
 C ) `  k ) )
171170oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )
172171eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
173156, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  +  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
174165, 173mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) )
175 0z 10948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ZZ
176 zleltp1 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_ 
( ( F `  C ) `  k
)  <->  0  <  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
177175, 46, 176sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  k )  <->  0  <  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
178177adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )  -> 
( 0  <_  (
( F `  C
) `  k )  <->  0  <  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) ) )
179 breq2 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
180179adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )  -> 
( 0  <  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  C
) `  k )  +  1 ) ) )
181178, 180bitr4d 259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )  -> 
( 0  <_  (
( F `  C
) `  k )  <->  0  <  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
182145, 157, 174, 181syl21anc 1263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( 0  <_  ( ( F `
 C ) `  k )  <->  0  <  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) ) )
183155, 182mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  0  <  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) )
184144, 154, 183ltled 9782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  0  <_  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) )
185184adantlrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
0  <_  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) ) )
186142, 143, 185, 137syl12anc 1262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( k  +  1 )  <_  k )
18718, 186mtand 663 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  -.  ( k  +  1 )  e.  C )
188162simpld 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  ( -.  ( k  +  1 )  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) ) )
189188imp 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) )
190158, 189sylan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  - 
1 ) )
1915adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
192170oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )
193192eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
194191, 193syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
195190, 194mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )
196195adantlrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) )
197187, 196mpdan 672 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) )
198 breq2 4430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 )  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  <->  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
199198notbid 295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 )  ->  ( -.  0  <_  ( ( F `  C ) `
 ( k  +  1 ) )  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `
 C ) `  k )  -  1 ) ) )
200197, 199syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
201141, 200mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  -.  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) )
2025, 36syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  k  e.  ( 0 ... J
) )
203202, 46syldan 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  ZZ )
204203adantrr 721 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  k )  e.  ZZ )
205 zlem1lt 10988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  C ) `  k
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  <->  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0 ) )
206175, 205mpan2 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( F `  C
) `  k )  <_  0  <->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 )  <  0
) )
207 zre 10941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( ( F `  C ) `  k )  e.  RR )
208 1red 9657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
209207, 208resubcld 10046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( F `  C
) `  k )  -  1 )  e.  RR )
210 0red 9643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
211209, 210ltnled 9781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `
 C ) `  k )  -  1 ) ) )
212206, 211bitrd 256 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( F `  C
) `  k )  <_  0  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
213204, 212syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  <_ 
0  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
214201, 213mpbird 235 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)
215 simprlr 771 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)
216204zred 11040 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  k )  e.  RR )
217 0red 9643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  0  e.  RR )
218216, 217letri3d 9776 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  =  0  <->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) ) )
219214, 215, 218mpbir2and 930 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
2204, 219sylan2b 477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  0 )
221 ssrab2 3552 . . . . . 6  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  C_  ( 1 ... J
)
222221, 11sstri 3479 . . . . 5  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  C_  RR
223222a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  C_  RR )
224 fzfi 12182 . . . . . 6  |-  ( 1 ... J )  e. 
Fin
225 ssfi 7798 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... J
)  e.  Fin  /\  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) }  C_  ( 1 ... J
) )  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  e.  Fin )
226224, 221, 225mp2an 676 . . . . 5  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  e.  Fin
227226a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  e.  Fin )
228 rabn0 3788 . . . . 5  |-  ( { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) }  =/=  (/)  <->  E. i  e.  ( 1 ... J ) 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) )
22959, 228sylibr 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  =/=  (/) )
230 fimaxre 10551 . . . 4  |-  ( ( { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  C_  RR  /\  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) }  e.  Fin  /\  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) }  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) } j  <_ 
k )
231223, 227, 229, 230syl3anc 1264 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) } j  <_ 
k )
232220, 231reximddv 2908 . 2  |-  ( ph  ->  E. k  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) }  (
( F `  C
) `  k )  =  0 )
233 elrabi 3232 . . . 4  |-  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) }  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
234233anim1i 570 . . 3  |-  ( ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )  ->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  =  0 ) )
235234reximi2 2899 . 2  |-  ( E. k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  (
( F `  C
) `  k )  =  0  ->  E. k  e.  ( 1 ... J
) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
236232, 235syl 17 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786    \ cdif 3439    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   ~Pcpw 3985   {csn 4002   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782   #chash 12512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-hash 12513
This theorem is referenced by:  ballotlem1c  29166
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