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Theorem ballotlemfcc 28410
Description:  F takes value 0 between positive and negative values. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotlemfcc.c  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
ballotlemfcc.j  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
ballotlemfcc.3  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 1 ... J ) 0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) )
ballotlemfcc.4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  <  0 )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfcc  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F    k, F    C, i    i, J    ph, i, k    k, J    C, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, c)    C( x, c)    P( x, i, k, c)    F( x)    J( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemfcc
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5856 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  k ) )
21breq2d 4449 . . . . . 6  |-  ( i  =  k  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )
32elrab 3243 . . . . 5  |-  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) }  <->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )
43anbi1i 695 . . . 4  |-  ( ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k )  <->  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )
5 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
65adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  k  e.  ( 1 ... J ) )
7 fzssuz 11735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... J )  C_  ( ZZ>= `  1 )
8 uzssz 11111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
97, 8sstri 3498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... J )  C_  ZZ
10 zssre 10878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  C_  RR
119, 10sstri 3498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... J )  C_  RR
1211sseli 3485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  RR )
1312ltp1d 10483 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
14 1red 9614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  1  e.  RR )
1512, 14readdcld 9626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
1612, 15ltnled 9735 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  <  ( k  +  1 )  <->  -.  (
k  +  1 )  <_  k ) )
1713, 16mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_  k )
186, 17syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_ 
k )
19 simprr 757 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k )
20 ballotlemfcc.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  <  0 )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( F `  C
) `  J )  <  0 )
22 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  k  =  J )
2322fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  ( ( F `
 C ) `  J ) )
2423breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <  0  <->  ( ( F `  C ) `  J )  <  0
) )
25 ballotlemfcc.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
26 elnnuz 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( J  e.  NN  <->  J  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2725, 26sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  J  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
28 eluzfz2 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  J  e.  ( 1 ... J
) )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 1 ... J ) )
30 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  J  ->  (
k  e.  ( 1 ... J )  <->  J  e.  ( 1 ... J
) ) )
3129, 30syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  k  e.  ( 1 ... J ) ) )
3231anc2li 557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... J ) ) ) )
33 1eluzge0 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
34 fzss1 11733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... J )  C_  ( 0 ... J
) )
3534sseld 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  ->  k  e.  ( 0 ... J
) ) )
3633, 35ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  ( 0 ... J
) )
37 ballotth.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  M  e.  NN
38 ballotth.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  N  e.  NN
39 ballotth.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
40 ballotth.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
41 ballotth.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
42 ballotlemfcc.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
4342adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  C  e.  O )
44 elfzelz 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( 0 ... J )  ->  k  e.  ZZ )
4544adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  k  e.  ZZ )
4637, 38, 39, 40, 41, 43, 45ballotlemfelz 28407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  ZZ )
4746zred 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  RR )
48 0red 9600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  0  e.  RR )
4947, 48ltnled 9735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) ) )
5036, 49sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) ) )
5132, 50syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) ) )
5251imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) ) )
5324, 52bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( ( F `  C ) `  J
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) ) )
5421, 53mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  -.  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )
5554ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  -.  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )
5655con2d 115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( F `  C
) `  k )  ->  -.  k  =  J ) )
57 nn1m1nn 10563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( J  e.  NN  ->  ( J  =  1  \/  ( J  -  1
)  e.  NN ) )
5825, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( J  =  1  \/  ( J  - 
1 )  e.  NN ) )
59 ballotlemfcc.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 1 ... J ) 0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) )
6059adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  E. i  e.  ( 1 ... J
) 0  <_  (
( F `  C
) `  i )
)
61 oveq1 6288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( J  =  1  ->  ( J ... J )  =  ( 1 ... J
) )
6261adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( J ... J )  =  ( 1 ... J
) )
6325nnzd 10975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
64 fzsn 11736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( J  e.  ZZ  ->  ( J ... J )  =  { J } )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( J ... J
)  =  { J } )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( J ... J )  =  { J } )
6762, 66eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
1 ... J )  =  { J } )
6867rexeqdv 3047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( E. i  e.  (
1 ... J ) 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i )  <->  E. i  e.  { J } 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) ) )
6960, 68mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  E. i  e.  { J } 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) )
70 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  J  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  J ) )
7170breq2d 4449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  J  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  J )
) )
7271rexsng 4050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( J  e.  NN  ->  ( E. i  e.  { J } 0  <_  (
( F `  C
) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `
 C ) `  J ) ) )
7325, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( E. i  e. 
{ J } 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  J )
) )
7473adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( E. i  e.  { J } 0  <_  (
( F `  C
) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `
 C ) `  J ) ) )
7569, 74mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  0  <_  ( ( F `  C ) `  J
) )
7620adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
( F `  C
) `  J )  <  0 )
7737, 38, 39, 40, 41, 42, 63ballotlemfelz 28407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  e.  ZZ )
7877zred 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  e.  RR )
79 0red 9600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
8078, 79ltnled 9735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 C ) `  J )  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  J ) ) )
8180adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
( ( F `  C ) `  J
)  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  J
) ) )
8276, 81mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  -.  0  <_  ( ( F `
 C ) `  J ) )
8375, 82pm2.65da 576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  -.  J  =  1 )
84 biortn 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  J  =  1  -> 
( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
86 notnot 291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( J  =  1  <->  -.  -.  J  =  1 )
8786orbi1i 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN )  <-> 
( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) )
8885, 87syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
8958, 88mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  NN )
90 elnnuz 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  -  1 )  e.  NN  <->  ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9189, 90sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
92 elfzp1 11741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( k  e.  ( 1 ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
9425nncnd 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
95 1cnd 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
9694, 95npcand 9940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  +  1 )  =  J )
9796oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 1 ... J ) )
9897eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
k  e.  ( 1 ... J ) ) )
9996eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  =  ( ( J  -  1 )  +  1 )  <-> 
k  =  J ) )
10099orbi2d 701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  J ) ) )
10193, 98, 1003bitr3d 283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  <-> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  J ) ) )
102 orcom 387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \/  k  =  J )  <-> 
( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) )
103101, 102syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  <-> 
( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
104103biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  ( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
105 pm5.6 912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  ( 1 ... J )  /\  -.  k  =  J )  ->  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  ->  ( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
106104, 105sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  -.  k  =  J )  ->  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) )
10789nnzd 10975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ZZ )
108 1z 10901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  ZZ
109107, 108jctil 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ ) )
110 elfzelz 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
111110, 108jctir 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  (
k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
)
112 fzaddel 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  <-> 
( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
113109, 111, 112syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  <->  ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... (
( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
114113biimp3a 1329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) )
1151143anidm23 1288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) )
116 1p1e2 10656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  +  1 )  =  2
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
118117, 96oveq12d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 ) ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 2 ... J ) )
119118eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( k  +  1 )  e.  ( 2 ... J ) ) )
120 2eluzge1 11138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
121 fzss1 11733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... J )  C_  ( 1 ... J
) )
122120, 121ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2 ... J )  C_  ( 1 ... J
)
123122sseli 3485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 2 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
124119, 123syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
125124adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
126115, 125mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
127126ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
128106, 127syld 44 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  -.  k  =  J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
12956, 128sylan2d 482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) ) )
130129imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
131130adantrr 716 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
132 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) )
133132breq2d 4449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) ) )
134133elrab 3243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  1 )  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) }  <->  ( (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
135 breq1 4440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  <_  k  <->  ( k  +  1 )  <_ 
k ) )
136135rspccva 3195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k  /\  (
k  +  1 )  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) } )  -> 
( k  +  1 )  <_  k )
137134, 136sylan2br 476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k  /\  (
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  k
)
138137expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  -> 
( 0  <_  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  <_  k
) )
139138con3d 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } j  <_  k  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  -> 
( -.  ( k  +  1 )  <_ 
k  ->  -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) ) ) )
14019, 131, 139syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( -.  (
k  +  1 )  <_  k  ->  -.  0  <_  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
14118, 140mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  -.  0  <_  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) )
142 simplrr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  ->  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k )
143131adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
144 0red 9600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  0  e.  RR )
145 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ph )
146130adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )
14734sseld 3488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 0 ... J ) ) )
14833, 146, 147mpsyl 63 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )
14942adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  C  e.  O )
150 elfzelz 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
151150adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
15237, 38, 39, 40, 41, 149, 151ballotlemfelz 28407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
153152zred 10976 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
154145, 148, 153syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
155 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
)
1565adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
157156, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  k  e.  ( 0 ... J
) )
158129imdistani 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
15942adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  C  e.  O )
160 elfznn 11725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
161160adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
16237, 38, 39, 40, 41, 159, 161ballotlemfp1 28408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( -.  ( k  +  1 )  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  C  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  +  1 ) ) ) )
163162simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( k  +  1 )  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 ) ) )
164163imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 ) )
165158, 164sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 ) )
166 elfzelz 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  ZZ )
167166zcnd 10977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  CC )
168 1cnd 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  1  e.  CC )
169167, 168pncand 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
170169fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( F `
 C ) `  k ) )
171170oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )
172171eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
173156, 172syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  +  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
174165, 173mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) )
175 0z 10882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ZZ
176 zleltp1 10921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_ 
( ( F `  C ) `  k
)  <->  0  <  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
177175, 46, 176sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  k )  <->  0  <  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
178177adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )  -> 
( 0  <_  (
( F `  C
) `  k )  <->  0  <  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) ) )
179 breq2 4441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
180179adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )  -> 
( 0  <  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  <->  0  <  ( ( ( F `  C
) `  k )  +  1 ) ) )
181178, 180bitr4d 256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )  -> 
( 0  <_  (
( F `  C
) `  k )  <->  0  <  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) ) )
182145, 157, 174, 181syl21anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  ( 0  <_  ( ( F `
 C ) `  k )  <->  0  <  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) ) )
183155, 182mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  0  <  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) )
184144, 154, 183ltled 9736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C
)  ->  0  <_  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) ) )
185184adantlrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
0  <_  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) ) )
186142, 143, 185, 137syl12anc 1227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( k  +  1 )  <_  k )
18718, 186mtand 659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  -.  ( k  +  1 )  e.  C )
188162simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  ( -.  ( k  +  1 )  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) ) )
189188imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) )
190158, 189sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  - 
1 ) )
1915adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
192170oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )
193192eqeq2d 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
194191, 193syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
195190, 194mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )
196195adantlrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) )
197187, 196mpdan 668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) )
198 breq2 4441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 )  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  <->  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
199198notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 )  ->  ( -.  0  <_  ( ( F `  C ) `
 ( k  +  1 ) )  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `
 C ) `  k )  -  1 ) ) )
200197, 199syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( -.  0  <_  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
201141, 200mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  -.  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) )
2025, 36syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  k  e.  ( 0 ... J
) )
203202, 46syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  ZZ )
204203adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  k )  e.  ZZ )
205 zlem1lt 10922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  C ) `  k
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  <->  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0 ) )
206175, 205mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( F `  C
) `  k )  <_  0  <->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 )  <  0
) )
207 zre 10875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( ( F `  C ) `  k )  e.  RR )
208 1red 9614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
209207, 208resubcld 9994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( F `  C
) `  k )  -  1 )  e.  RR )
210 0red 9600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
211209, 210ltnled 9735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `
 C ) `  k )  -  1 ) ) )
212206, 211bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( F `  C
) `  k )  <_  0  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
213204, 212syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  <_ 
0  <->  -.  0  <_  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
214201, 213mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)
215 simprlr 764 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  0  <_  (
( F `  C
) `  k )
)
216204zred 10976 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  k )  e.  RR )
217 0red 9600 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  0  e.  RR )
218216, 217letri3d 9730 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  =  0  <->  ( ( ( F `  C ) `
 k )  <_ 
0  /\  0  <_  ( ( F `  C
) `  k )
) ) )
219214, 215, 218mpbir2and 922 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) )  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } j  <_  k ) )  ->  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
2204, 219sylan2b 475 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  0 )
221 ssrab2 3570 . . . . . 6  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  C_  ( 1 ... J
)
222221, 11sstri 3498 . . . . 5  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  C_  RR
223222a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  C_  RR )
224 fzfi 12064 . . . . . 6  |-  ( 1 ... J )  e. 
Fin
225 ssfi 7742 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... J
)  e.  Fin  /\  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) }  C_  ( 1 ... J
) )  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  e.  Fin )
226224, 221, 225mp2an 672 . . . . 5  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  e.  Fin
227226a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  e.  Fin )
228 rabn0 3791 . . . . 5  |-  ( { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) }  =/=  (/)  <->  E. i  e.  ( 1 ... J ) 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) )
22959, 228sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  =/=  (/) )
230 fimaxre 10497 . . . 4  |-  ( ( { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  (
( F `  C
) `  i ) }  C_  RR  /\  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) }  e.  Fin  /\  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) }  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) } A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) } j  <_ 
k )
231223, 227, 229, 230syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) } A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) } j  <_ 
k )
232220, 231reximddv 2919 . 2  |-  ( ph  ->  E. k  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `  C ) `  i ) }  (
( F `  C
) `  k )  =  0 )
233 elrabi 3240 . . . 4  |-  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  0  <_ 
( ( F `  C ) `  i
) }  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
234233anim1i 568 . . 3  |-  ( ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )  ->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  =  0 ) )
235234reximi2 2910 . 2  |-  ( E. k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) }  (
( F `  C
) `  k )  =  0  ->  E. k  e.  ( 1 ... J
) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
236232, 235syl 16 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ~Pcpw 3997   {csn 4014   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810    / cdiv 10213   NNcn 10543   2c2 10592   ZZcz 10871   ZZ>=cuz 11092   ...cfz 11683   #chash 12387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-fz 11684  df-hash 12388
This theorem is referenced by:  ballotlem1c  28424
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