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Theorem ballotlemfc0 24703
Description:  F takes value 0 between negative and positive values. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotlemfp1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
ballotlemfp1.j  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
ballotlemfc0.3  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 )
ballotlemfc0.4  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  C ) `
 J ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlemfc0  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F    k, F    C, i    i, J    ph, i, k    k, J    C, k    ph, k
Allowed substitution hints:    ph( x, c)    C( x, c)    P( x, i, k, c)    F( x)    J( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlemfc0
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  k ) )
21breq1d 4182 . . . . . 6  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( F `  C ) `  i
)  <_  0  <->  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )
32elrab 3052 . . . . 5  |-  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  ( ( F `  C ) `
 i )  <_ 
0 }  <->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )
43anbi1i 677 . . . 4  |-  ( ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  ( ( F `  C ) `
 i )  <_ 
0 } j  <_ 
k )  <->  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )
5 simprlr 740 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  <_  0 )
6 simprl 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
76adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
8 fzssuz 11049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... J )  C_  ( ZZ>= `  1 )
9 uzssz 10461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= ` 
1 )  C_  ZZ
108, 9sstri 3317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... J )  C_  ZZ
11 zssre 10245 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  C_  RR
1210, 11sstri 3317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... J )  C_  RR
1312sseli 3304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  RR )
1413ltp1d 9897 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
15 1re 9046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  1  e.  RR )
1713, 16readdcld 9071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
1813, 17ltnled 9176 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  <  ( k  +  1 )  <->  -.  (
k  +  1 )  <_  k ) )
1914, 18mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_  k )
207, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_  k )
21 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
)
22 ballotlemfc0.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( F `  C ) `
 J ) )
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  0  <  ( ( F `  C ) `  J
) )
24 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  k  =  J )
2524fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  ( ( F `
 C ) `  J ) )
2625breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  k )  <->  0  <  ( ( F `  C
) `  J )
) )
27 ballotlemfp1.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  J  e.  NN )
28 elnnuz 10478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( J  e.  NN  <->  J  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2927, 28sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  J  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
30 eluzfz2 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( J  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  J  e.  ( 1 ... J
) )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  J  e.  ( 1 ... J ) )
32 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  J  ->  (
k  e.  ( 1 ... J )  <->  J  e.  ( 1 ... J
) ) )
3331, 32syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  k  e.  ( 1 ... J ) ) )
3433anc2li 541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  ( ph  /\  k  e.  ( 1 ... J ) ) ) )
35 1z 10267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  ZZ
36 0le1 9507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  <_  1
37 0z 10249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  ZZ
3837eluz1i 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  <->  ( 1  e.  ZZ  /\  0  <_ 
1 ) )
3935, 36, 38mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  ( ZZ>= `  0 )
40 fzss1 11047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( 1 ... J )  C_  ( 0 ... J
) )
4140sseld 3307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  ->  k  e.  ( 0 ... J
) ) )
4239, 41ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  ( 0 ... J
) )
43 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  0  e.  RR )
45 ballotth.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  M  e.  NN
46 ballotth.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  N  e.  NN
47 ballotth.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
48 ballotth.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
49 ballotth.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
50 ballotlemfp1.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  C  e.  O )
5150adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  C  e.  O )
52 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  ( 0 ... J )  ->  k  e.  ZZ )
5352adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  k  e.  ZZ )
5445, 46, 47, 48, 49, 51, 53ballotlemfelz 24701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  ZZ )
5554zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  RR )
5644, 55ltnled 9176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  k )  <->  -.  (
( F `  C
) `  k )  <_  0 ) )
5742, 56sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  k )  <->  -.  (
( F `  C
) `  k )  <_  0 ) )
5834, 57syl6 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  ( 0  < 
( ( F `  C ) `  k
)  <->  -.  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) ) )
5958imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  k )  <->  -.  (
( F `  C
) `  k )  <_  0 ) )
6026, 59bitr3d 247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  J )  <->  -.  (
( F `  C
) `  k )  <_  0 ) )
6123, 60mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  =  J )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )
6261ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  =  J  ->  -.  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )
6362con2d 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  ->  -.  k  =  J ) )
64 nn1m1nn 9976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( J  e.  NN  ->  ( J  =  1  \/  ( J  -  1
)  e.  NN ) )
6527, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( J  =  1  \/  ( J  - 
1 )  e.  NN ) )
66 ballotlemfc0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  E. i  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 )
6766adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  E. i  e.  ( 1 ... J
) ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0
)
68 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( J  =  1  ->  ( J ... J )  =  ( 1 ... J
) )
6968adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( J ... J )  =  ( 1 ... J
) )
7027nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  J  e.  ZZ )
71 fzsn 11050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( J  e.  ZZ  ->  ( J ... J )  =  { J } )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( J ... J
)  =  { J } )
7372adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( J ... J )  =  { J } )
7469, 73eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
1 ... J )  =  { J } )
7574rexeqdv 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( E. i  e.  (
1 ... J ) ( ( F `  C
) `  i )  <_  0  <->  E. i  e.  { J }  ( ( F `  C ) `  i )  <_  0
) )
7667, 75mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  E. i  e.  { J }  (
( F `  C
) `  i )  <_  0 )
77 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( i  =  J  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  J ) )
7877breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( i  =  J  ->  (
( ( F `  C ) `  i
)  <_  0  <->  ( ( F `  C ) `  J )  <_  0
) )
7978rexsng 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( J  e.  NN  ->  ( E. i  e.  { J }  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0  <->  ( ( F `  C
) `  J )  <_  0 ) )
8027, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( E. i  e. 
{ J }  (
( F `  C
) `  i )  <_  0  <->  ( ( F `
 C ) `  J )  <_  0
) )
8180adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  ( E. i  e.  { J }  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0  <->  ( ( F `  C
) `  J )  <_  0 ) )
8276, 81mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
( F `  C
) `  J )  <_  0 )
8322adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  0  <  ( ( F `  C ) `  J
) )
8443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
8545, 46, 47, 48, 49, 50, 70ballotlemfelz 24701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  e.  ZZ )
8685zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( F `  C ) `  J
)  e.  RR )
8784, 86ltnled 9176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( 0  <  (
( F `  C
) `  J )  <->  -.  ( ( F `  C ) `  J
)  <_  0 ) )
8887adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  (
0  <  ( ( F `  C ) `  J )  <->  -.  (
( F `  C
) `  J )  <_  0 ) )
8983, 88mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  J  = 
1 )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  J
)  <_  0 )
9082, 89pm2.65da 560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  -.  J  =  1 )
91 biortn 396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( -.  J  =  1  -> 
( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
9290, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
93 notnot 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( J  =  1  <->  -.  -.  J  =  1 )
9493orbi1i 507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN )  <-> 
( -.  -.  J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) )
9592, 94syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  e.  NN  <->  ( J  =  1  \/  ( J  -  1 )  e.  NN ) ) )
9665, 95mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  NN )
97 elnnuz 10478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  -  1 )  e.  NN  <->  ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
9896, 97sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
99 elfzp1 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( k  e.  ( 1 ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
10127nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  J  e.  CC )
102 ax-1cn 9004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
104101, 103npcand 9371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( J  - 
1 )  +  1 )  =  J )
105104oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1 ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 1 ... J ) )
106105eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
k  e.  ( 1 ... J ) ) )
107104eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( k  =  ( ( J  -  1 )  +  1 )  <-> 
k  =  J ) )
108107orbi2d 683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  ( ( J  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  J ) ) )
109100, 106, 1083bitr3d 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  <-> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  \/  k  =  J ) ) )
110 orcom 377 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  \/  k  =  J )  <-> 
( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) )
111109, 110syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  <-> 
( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
112111biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  ( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
113 pm5.6 879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  ( 1 ... J )  /\  -.  k  =  J )  ->  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  <->  ( k  e.  ( 1 ... J
)  ->  ( k  =  J  \/  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) ) )
114112, 113sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  -.  k  =  J )  ->  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) ) )
11596nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( J  -  1 )  e.  ZZ )
116115, 35jctil 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ ) )
117 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
118117, 35jctir 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  (
k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )
)
119 fzaddel 11043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( J  -  1 )  e.  ZZ )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  <-> 
( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
120116, 118, 119syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  e.  ( 1 ... ( J  - 
1 ) )  <->  ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... (
( J  -  1 )  +  1 ) ) ) )
121120biimp3a 1283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) )
1221213anidm23 1243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  - 
1 )  +  1 ) ) )
123 1p1e2 10050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  +  1 )  =  2
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  =  2 )
125124, 104oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 ) ... (
( J  -  1 )  +  1 ) )  =  ( 2 ... J ) )
126125eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( k  +  1 )  e.  ( 2 ... J ) ) )
127 1nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  NN0
12815, 127nn0addge1i 10224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  <_  ( 1  +  1 )
129128, 123breqtri 4195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  <_  2
130 2z 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ZZ
131 eluz 10455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 2  e.  (
ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  2 ) )
13235, 130, 131mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  1  <_  2
)
133129, 132mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
134 fzss1 11047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... J )  C_  ( 1 ... J
) )
135133, 134ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2 ... J )  C_  ( 1 ... J
)
136135sseli 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 2 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
137126, 136syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
138137adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
( k  +  1 )  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( ( J  -  1 )  +  1 ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
139122, 138mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) ) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
140139ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( 1 ... ( J  -  1 ) )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
141114, 140syld 42 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  -.  k  =  J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
14263, 141sylan2d 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
)  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) ) )
143142imp 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
144143adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
145 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) ) )
146145breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( F `  C ) `  i
)  <_  0  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  <_  0
) )
147146elrab 3052 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  +  1 )  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  ( ( F `  C ) `
 i )  <_ 
0 }  <->  ( (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  <_  0 ) )
148 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  <_  k  <->  ( k  +  1 )  <_ 
k ) )
149148rspccva 3011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }
j  <_  k  /\  ( k  +  1 )  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 } )  -> 
( k  +  1 )  <_  k )
150147, 149sylan2br 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }
j  <_  k  /\  ( ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  <_  0
) )  ->  (
k  +  1 )  <_  k )
151150expr 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }
j  <_  k  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( k  +  1 ) )  <_ 
0  ->  ( k  +  1 )  <_ 
k ) )
152151con3d 127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }
j  <_  k  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  ->  ( -.  (
k  +  1 )  <_  k  ->  -.  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0 ) )
15321, 144, 152syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  ( -.  ( k  +  1 )  <_  k  ->  -.  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0 ) )
15420, 153mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  -.  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0 )
155 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  A. j  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }
j  <_  k )
156144adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
157 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  ->  ph )
158143adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )
15940sseld 3307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  ( (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ( 0 ... J ) ) )
16039, 158, 159mpsyl 61 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J ) )
16150adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  C  e.  O )
162 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
163162adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  ZZ )
16445, 46, 47, 48, 49, 161, 163ballotlemfelz 24701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
165164zred 10331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
166157, 160, 165syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )
16743a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
0  e.  RR )
168 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )
1696adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
k  e.  ( 1 ... J ) )
170169, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
k  e.  ( 0 ... J ) )
171142imdistani 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )  ->  ( ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) ) )
17250adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  C  e.  O )
173 elfznn 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
174173adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
17545, 46, 47, 48, 49, 172, 174ballotlemfp1 24702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( -.  ( k  +  1 )  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  C  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  +  1 ) ) ) )
176175simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  ( -.  ( k  +  1 )  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) ) )
177176imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) )
178171, 177sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 ) )
179 elfzelz 11015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  ZZ )
180179zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  k  e.  CC )
181102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  1  e.  CC )
182180, 181pncand 9368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( k  +  1 )  -  1 )  =  k )
183182fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( F `
 C ) `  k ) )
184183oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )
185184eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 ) ) )
186169, 185syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  -  1 )  <-> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  k )  -  1 ) ) )
187178, 186mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  k )  -  1 ) )
188 zlem1lt 10283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F `  C ) `  k
)  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  <->  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0 ) )
18954, 37, 188sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <_  0  <->  ( (
( F `  C
) `  k )  -  1 )  <  0 ) )
190189adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )  -> 
( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  <->  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0 ) )
191 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <  0  <->  (
( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0 ) )
192191adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )  -> 
( ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  <  0  <->  ( ( ( F `  C ) `  k
)  -  1 )  <  0 ) )
193190, 192bitr4d 248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... J
) )  /\  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  - 
1 ) )  -> 
( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  <->  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  <  0 ) )
194157, 170, 187, 193syl21anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0  <->  ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  <  0 ) )
195168, 194mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <  0 )
196166, 167, 195ltled 9177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0 )
197196adantlrr 702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  <_  0
)
198155, 156, 197, 150syl12anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( k  +  1 )  <_  k
)
19920adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  /\  -.  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_ 
k )
200198, 199condan 770 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
k  +  1 )  e.  C )
201175simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  ( 1 ... J
) )  ->  (
( k  +  1 )  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 ) ) )
202201imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  +  1 )  e.  ( 1 ... J ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 ) )
203171, 202sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( k  +  1 )  - 
1 ) )  +  1 ) )
2046adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
205183oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
( k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )
206205eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 1 ... J )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
207204, 206syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
k  +  1 )  -  1 ) )  +  1 )  <->  ( ( F `  C ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
208203, 207mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 ) )  /\  ( k  +  1 )  e.  C )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )
209208adantlrr 702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  <_  0
)  /\  A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  /\  (
k  +  1 )  e.  C )  -> 
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C
) `  k )  +  1 ) )
210200, 209mpdan 650 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 ) )
211 breq1 4175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 )  ->  (
( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0  <->  ( (
( F `  C
) `  k )  +  1 )  <_ 
0 ) )
212211notbid 286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 )  ->  ( -.  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0  <->  -.  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 )  <_  0 ) )
213210, 212syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  ( -.  ( ( F `  C ) `  (
k  +  1 ) )  <_  0  <->  -.  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 )  <_  0 ) )
214154, 213mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  -.  ( ( ( F `
 C ) `  k )  +  1 )  <_  0 )
2156, 42syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )  ->  k  e.  ( 0 ... J
) )
216215, 54syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( 1 ... J
)  /\  ( ( F `  C ) `  k )  <_  0
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  ZZ )
217216adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  ZZ )
218 zleltp1 10282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_ 
( ( F `  C ) `  k
)  <->  0  <  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
21937, 218mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( 0  <_  ( ( F `
 C ) `  k )  <->  0  <  ( ( ( F `  C ) `  k
)  +  1 ) ) )
22043a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
221 zre 10242 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( ( F `  C ) `  k )  e.  RR )
22215a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
223221, 222readdcld 9071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( (
( F `  C
) `  k )  +  1 )  e.  RR )
224220, 223ltnled 9176 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( 0  <  ( ( ( F `  C ) `
 k )  +  1 )  <->  -.  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 )  <_  0 ) )
225219, 224bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  C
) `  k )  e.  ZZ  ->  ( 0  <_  ( ( F `
 C ) `  k )  <->  -.  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 )  <_  0 ) )
226217, 225syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  k )  <->  -.  (
( ( F `  C ) `  k
)  +  1 )  <_  0 ) )
227214, 226mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  0  <_  ( ( F `  C ) `  k
) )
228217zred 10331 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  e.  RR )
22943a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  0  e.  RR )
230228, 229letri3d 9171 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( ( F `  C ) `  k
)  =  0  <->  (
( ( F `  C ) `  k
)  <_  0  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) `  k ) ) ) )
2315, 227, 230mpbir2and 889 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `  C ) `  k
)  <_  0 )  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  0 )
2324, 231sylan2b 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 }  /\  A. j  e. 
{ i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
) )  ->  (
( F `  C
) `  k )  =  0 )
233 ssrab2 3388 . . . . . 6  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  C_  (
1 ... J )
234233, 12sstri 3317 . . . . 5  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  C_  RR
235234a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 }  C_  RR )
236 fzfi 11266 . . . . . 6  |-  ( 1 ... J )  e. 
Fin
237 ssfi 7288 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... J
)  e.  Fin  /\  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }  C_  ( 1 ... J
) )  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  e.  Fin )
238236, 233, 237mp2an 654 . . . . 5  |-  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  e.  Fin
239238a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 }  e.  Fin )
240 rabn0 3607 . . . . 5  |-  ( { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }  =/=  (/)  <->  E. i  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 )
24166, 240sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 }  =/=  (/) )
242 fimaxre 9911 . . . 4  |-  ( ( { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 }  C_  RR  /\  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 }  e.  Fin  /\  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  =/=  (/) )  ->  E. k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 } A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `
 C ) `  i )  <_  0 } j  <_  k
)
243235, 239, 241, 242syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  E. k  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 } A. j  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 } j  <_ 
k )
244232, 243reximddv 23915 . 2  |-  ( ph  ->  E. k  e.  {
i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C ) `  i
)  <_  0 } 
( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
245 elrabi 3050 . . . 4  |-  ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J
)  |  ( ( F `  C ) `
 i )  <_ 
0 }  ->  k  e.  ( 1 ... J
) )
246245anim1i 552 . . 3  |-  ( ( k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  /\  (
( F `  C
) `  k )  =  0 )  -> 
( k  e.  ( 1 ... J )  /\  ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 ) )
247246reximi2 2772 . 2  |-  ( E. k  e.  { i  e.  ( 1 ... J )  |  ( ( F `  C
) `  i )  <_  0 }  ( ( F `  C ) `
 k )  =  0  ->  E. k  e.  ( 1 ... J
) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
248244, 247syl 16 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ( 1 ... J ) ( ( F `  C ) `  k
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670    \ cdif 3277    i^i cin 3279    C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   #chash 11573
This theorem is referenced by:  ballotlem5  24710  ballotlemic  24717
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-hash 11574
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