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Theorem ballotlem7 27055
Description:  R is a bijection between two subsets of  ( O  \  E ): one where a vote for A is picked first, and one where a vote for B is picked first (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
ballotth.r  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
Assertion
Ref Expression
ballotlem7  |-  ( R  |`  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } ) : {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } -1-1-onto-> { c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c }
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k   
i, E, k    k, I, c    E, c    i, I, c    S, k, i, c    R, i, k    x, c, F    x, M    x, N, k, i
Allowed substitution hints:    P( x, i, k, c)    R( x, c)    S( x)    E( x)    I( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlem7
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ballotth.r . . 3  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
21funmpt2 5556 . 2  |-  Fun  R
3 ballotth.m . . 3  |-  M  e.  NN
4 ballotth.n . . 3  |-  N  e.  NN
5 ballotth.o . . 3  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
6 ballotth.p . . 3  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
7 ballotth.f . . 3  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
8 ballotth.e . . 3  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
9 ballotth.mgtn . . 3  |-  N  < 
M
10 ballotth.i . . 3  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
11 ballotth.s . . 3  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
123, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1ballotlemrinv 27053 . 2  |-  `' R  =  R
13 rabid 2996 . . . . . 6  |-  ( c  e.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c }  <->  ( c  e.  ( O  \  E
)  /\  1  e.  c ) )
143, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1ballotlemrc 27050 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( O  \  E )  ->  ( R `  c )  e.  ( O  \  E
) )
1514adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  c )  ->  ( R `  c
)  e.  ( O 
\  E ) )
163, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlem1c 27027 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  c )  ->  -.  ( I `  c )  e.  c )
1716ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( O  \  E )  ->  (
1  e.  c  ->  -.  ( I `  c
)  e.  c ) )
183, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1ballotlem1ri 27054 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ( O  \  E )  ->  (
1  e.  ( R `
 c )  <->  ( I `  c )  e.  c ) )
1918notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( O  \  E )  ->  ( -.  1  e.  ( R `  c )  <->  -.  ( I `  c
)  e.  c ) )
2017, 19sylibrd 234 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( O  \  E )  ->  (
1  e.  c  ->  -.  1  e.  ( R `  c )
) )
2120imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  c )  ->  -.  1  e.  ( R `  c ) )
2215, 21jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  c )  ->  ( ( R `  c )  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  ( R `  c
) ) )
2313, 22sylbi 195 . . . . 5  |-  ( c  e.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c }  ->  (
( R `  c
)  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  ( R `  c )
) )
2423rgen 2892 . . . 4  |-  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  ( ( R `
 c )  e.  ( O  \  E
)  /\  -.  1  e.  ( R `  c
) )
25 eleq2 2524 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( R `  c )  ->  (
1  e.  b  <->  1  e.  ( R `  c ) ) )
2625notbid 294 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( R `  c )  ->  ( -.  1  e.  b  <->  -.  1  e.  ( R `
 c ) ) )
2726elrab 3217 . . . . . 6  |-  ( ( R `  c )  e.  { b  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  b }  <->  ( ( R `  c )  e.  ( O  \  E
)  /\  -.  1  e.  ( R `  c
) ) )
28 eleq2 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  c  ->  (
1  e.  b  <->  1  e.  c ) )
2928notbid 294 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  c  ->  ( -.  1  e.  b  <->  -.  1  e.  c ) )
3029cbvrabv 3070 . . . . . . 7  |-  { b  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  b }  =  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
3130eleq2i 2529 . . . . . 6  |-  ( ( R `  c )  e.  { b  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  b }  <->  ( R `  c )  e.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )
3227, 31bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( ( ( R `  c
)  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  ( R `  c )
)  <->  ( R `  c )  e.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )
3332ralbii 2834 . . . 4  |-  ( A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c }  ( ( R `  c )  e.  ( O  \  E )  /\  -.  1  e.  ( R `  c ) )  <->  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  ( R `  c )  e.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )
3424, 33mpbi 208 . . 3  |-  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  ( R `  c )  e.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c }
35 ssrab2 3538 . . . . 5  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  C_  ( O  \  E )
36 fvex 5802 . . . . . . 7  |-  ( S `
 c )  e. 
_V
37 imaexg 6618 . . . . . . 7  |-  ( ( S `  c )  e.  _V  ->  (
( S `  c
) " c )  e.  _V )
3836, 37ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( ( S `  c )
" c )  e. 
_V
3938, 1dmmpti 5641 . . . . 5  |-  dom  R  =  ( O  \  E )
4035, 39sseqtr4i 3490 . . . 4  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  C_  dom  R
41 nfrab1 3000 . . . . 5  |-  F/_ c { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }
42 nfrab1 3000 . . . . 5  |-  F/_ c { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
43 nfmpt1 4482 . . . . . 6  |-  F/_ c
( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
441, 43nfcxfr 2611 . . . . 5  |-  F/_ c R
4541, 42, 44funimass4f 26095 . . . 4  |-  ( ( Fun  R  /\  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } 
C_  dom  R )  ->  ( ( R " { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } )  C_  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  <->  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  ( R `  c )  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } ) )
462, 40, 45mp2an 672 . . 3  |-  ( ( R " { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } ) 
C_  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c }  <->  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }  ( R `  c )  e.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c } )
4734, 46mpbir 209 . 2  |-  ( R
" { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c } )  C_  { c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c }
48 rabid 2996 . . . . . 6  |-  ( c  e.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c }  <->  ( c  e.  ( O  \  E
)  /\  -.  1  e.  c ) )
4914adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  c
)  ->  ( R `  c )  e.  ( O  \  E ) )
503, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ballotlemic 27026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  c
)  ->  ( I `  c )  e.  c )
5150ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  ( O  \  E )  ->  ( -.  1  e.  c  ->  ( I `  c
)  e.  c ) )
5251, 18sylibrd 234 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  ( O  \  E )  ->  ( -.  1  e.  c  ->  1  e.  ( R `
 c ) ) )
5352imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  c
)  ->  1  e.  ( R `  c ) )
5449, 53jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( c  e.  ( O 
\  E )  /\  -.  1  e.  c
)  ->  ( ( R `  c )  e.  ( O  \  E
)  /\  1  e.  ( R `  c ) ) )
5548, 54sylbi 195 . . . . 5  |-  ( c  e.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c }  ->  (
( R `  c
)  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  ( R `  c ) ) )
5655rgen 2892 . . . 4  |-  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  ( ( R `  c )  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  ( R `  c
) )
5725elrab 3217 . . . . . 6  |-  ( ( R `  c )  e.  { b  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  b }  <->  ( ( R `  c )  e.  ( O  \  E
)  /\  1  e.  ( R `  c ) ) )
5828cbvrabv 3070 . . . . . . 7  |-  { b  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  b }  =  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }
5958eleq2i 2529 . . . . . 6  |-  ( ( R `  c )  e.  { b  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  b }  <->  ( R `  c )  e.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } )
6057, 59bitr3i 251 . . . . 5  |-  ( ( ( R `  c
)  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  ( R `  c ) )  <->  ( R `  c )  e.  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } )
6160ralbii 2834 . . . 4  |-  ( A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c }  ( ( R `  c )  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  ( R `  c
) )  <->  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  ( R `
 c )  e. 
{ c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } )
6256, 61mpbi 208 . . 3  |-  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  ( R `
 c )  e. 
{ c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c }
63 ssrab2 3538 . . . . 5  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_  ( O  \  E
)
6463, 39sseqtr4i 3490 . . . 4  |-  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  C_ 
dom  R
6542, 41, 44funimass4f 26095 . . . 4  |-  ( ( Fun  R  /\  {
c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c }  C_  dom  R )  ->  ( ( R
" { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )  C_  { c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c }  <->  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c } 
( R `  c
)  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } ) )
662, 64, 65mp2an 672 . . 3  |-  ( ( R " { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }
)  C_  { c  e.  ( O  \  E
)  |  1  e.  c }  <->  A. c  e.  { c  e.  ( O  \  E )  |  -.  1  e.  c }  ( R `
 c )  e. 
{ c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } )
6762, 66mpbir 209 . 2  |-  ( R
" { c  e.  ( O  \  E
)  |  -.  1  e.  c } )  C_  { c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c }
682, 12, 47, 67, 40, 64rinvf1o 26093 1  |-  ( R  |`  { c  e.  ( O  \  E )  |  1  e.  c } ) : {
c  e.  ( O 
\  E )  |  1  e.  c } -1-1-onto-> { c  e.  ( O 
\  E )  |  -.  1  e.  c }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   {crab 2799   _Vcvv 3071    \ cdif 3426    i^i cin 3428    C_ wss 3429   ifcif 3892   ~Pcpw 3961   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451   `'ccnv 4940   dom cdm 4941    |` cres 4943   "cima 4944   Fun wfun 5513   -1-1-onto->wf1o 5518   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   supcsup 7794   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389    < clt 9522    <_ cle 9523    - cmin 9699    / cdiv 10097   NNcn 10426   ZZcz 10750   ...cfz 11547   #chash 12213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-fz 11548  df-hash 12214
This theorem is referenced by:  ballotlem8  27056
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