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Theorem ballotlem2 29147
Description: The probability that the first vote picked in a count is a B (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlem2  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( N  /  ( M  +  N )
)
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c, x
Allowed substitution hints:    P( x, c)    M( x)    N( x)

Proof of Theorem ballotlem2
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3552 . . . . 5  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  O
2 ballotth.m . . . . . . 7  |-  M  e.  NN
3 ballotth.n . . . . . . 7  |-  N  e.  NN
4 ballotth.o . . . . . . 7  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
52, 3, 4ballotlemoex 29144 . . . . . 6  |-  O  e. 
_V
65elpw2 4589 . . . . 5  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O  <->  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  O )
71, 6mpbir 212 . . . 4  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O
8 fveq2 5881 . . . . . 6  |-  ( x  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } ) )
98oveq1d 6320 . . . . 5  |-  ( x  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  (
( # `  x )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) ) )
10 ballotth.p . . . . 5  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
11 ovex 6333 . . . . 5  |-  ( (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) )  e. 
_V
129, 10, 11fvmpt 5964 . . . 4  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O  ->  ( P `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) ) )
137, 12ax-mp 5 . . 3  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) )
14 an32 805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  1  e.  c )  /\  ( # `
 c )  =  M )  <->  ( (
c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  /\  -.  1  e.  c
) )
15 2eluzge1 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
16 fzss1 11835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
)
18 sspwb 4671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2 ... ( M  +  N ) ) 
C_  ( 1 ... ( M  +  N
) )  <->  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
) )
1917, 18mpbi 211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)
2019sseli 3466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  -> 
c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) ) )
21 1lt2 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <  2
22 1re 9641 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
23 2re 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
2422, 23ltnlei 9754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  <  2  <->  -.  2  <_  1 )
2521, 24mpbi 211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  2  <_  1
26 elfzle1 11800 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ( 2 ... ( M  +  N
) )  ->  2  <_  1 )
2725, 26mto 179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  1  e.  ( 2 ... ( M  +  N )
)
28 elelpwi 3996 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  c  /\  c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) ) )  ->  1  e.  ( 2 ... ( M  +  N ) ) )
2927, 28mto 179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
1  e.  c  /\  c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) ) )
30 ancom 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  c  /\  c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) ) )  <-> 
( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
)  /\  1  e.  c ) )
3129, 30mtbi 299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  (
c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  1  e.  c )
3231imnani 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  ->  -.  1  e.  c
)
3320, 32jca 534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  -> 
( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  1  e.  c ) )
34 ssin 3690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } )  <->  c  C_  ( ( 1 ... ( M  +  N
) )  i^i  {
i  |  -.  i  =  1 } ) )
35 1le2 10823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  <_  2
36 1p1e2 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  +  1 )  =  2
37 nnge1 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
382, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  <_  M
39 nnge1 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
403, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  <_  N
412nnrei 10618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  M  e.  RR
423nnrei 10618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  N  e.  RR
4322, 22, 41, 42le2addi 10176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1  <_  M  /\  1  <_  N )  -> 
( 1  +  1 )  <_  ( M  +  N ) )
4438, 40, 43mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  +  1 )  <_ 
( M  +  N
)
4536, 44eqbrtrri 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  <_  ( M  +  N
)
4641, 42readdcli 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  +  N )  e.  RR
4722, 23, 46letri 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  <_  2  /\  2  <_  ( M  +  N ) )  -> 
1  <_  ( M  +  N ) )
4835, 45, 47mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  <_  ( M  +  N
)
49 1z 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  1  e.  ZZ
50 nnaddcl 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
512, 3, 50mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  +  N )  e.  NN
5251nnzi 10961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  +  N )  e.  ZZ
53 eluz 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  ( M  +  N ) ) )
5449, 52, 53mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  1  <_  ( M  +  N )
)
5548, 54mpbir 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1 )
56 elfzp12 11871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  <->  ( i  =  1  \/  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N )
) ) ) )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  <->  ( i  =  1  \/  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N )
) ) )
5857biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
i  =  1  \/  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N ) ) ) )
5958orcanai 921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  i  =  1
)  ->  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N )
) )
6036oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N ) )  =  ( 2 ... ( M  +  N )
)
6159, 60syl6eleq 2527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  i  =  1
)  ->  i  e.  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
6261ss2abi 3539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { i  |  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  i  =  1 ) } 
C_  { i  |  i  e.  ( 2 ... ( M  +  N ) ) }
63 inab 3747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { i  |  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) }  i^i  {
i  |  -.  i  =  1 } )  =  { i  |  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  i  =  1 ) }
64 abid2 2569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { i  |  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) }  =  ( 1 ... ( M  +  N ) )
6564ineq1i 3666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { i  |  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) }  i^i  {
i  |  -.  i  =  1 } )  =  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)
6663, 65eqtr3i 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { i  |  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  i  =  1 ) }  =  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)
67 abid2 2569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { i  |  i  e.  ( 2 ... ( M  +  N ) ) }  =  ( 2 ... ( M  +  N ) )
6862, 66, 673sstr3i 3508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i  { i  |  -.  i  =  1 } )  C_  (
2 ... ( M  +  N ) )
69 sstr 3478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  C_  ( (
1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)  /\  ( (
1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)  C_  ( 2 ... ( M  +  N ) ) )  ->  c  C_  (
2 ... ( M  +  N ) ) )
7068, 69mpan2 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c 
C_  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)  ->  c  C_  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
7134, 70sylbi 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } )  ->  c  C_  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
72 selpw 3992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N ) )  <->  c  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
73 ssab 3537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c 
C_  { i  |  -.  i  =  1 }  <->  A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 ) )
74 df-ex 1660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. i ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  -.  A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
7574bicomi 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
A. i  -.  (
i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  E. i ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
7675con1bii 332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
E. i ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
77 df-clel 2424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  c  <->  E. i
( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
7877notbii 297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  1  e.  c  <->  -.  E. i
( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
79 imnan 423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1
)  <->  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
8079albii 1687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 )  <->  A. i  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
81 ancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <-> 
( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
8281notbii 297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
8382albii 1687 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  A. i  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
8480, 83bitr4i 255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 )  <->  A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
8576, 78, 843bitr4ri 281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 )  <->  -.  1  e.  c )
8673, 85bitr2i 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  1  e.  c  <->  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } )
8772, 86anbi12i 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  <->  ( c  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } ) )
88 selpw 3992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  <->  c  C_  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
8971, 87, 883imtr4i 269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  ->  c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
) )
9033, 89impbii 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  <->  ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  /\  -.  1  e.  c )
)
9190anbi1i 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  <->  ( (
c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  /\  ( # `  c
)  =  M ) )
924rabeq2i 3084 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  O  <->  ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  /\  ( # `
 c )  =  M ) )
9392anbi1i 699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
)  <->  ( ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  /\  -.  1  e.  c
) )
9414, 91, 933bitr4i 280 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  <->  ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c ) )
9594abbii 2563 . . . . . . 7  |-  { c  |  ( c  e. 
~P ( 2 ... ( M  +  N
) )  /\  ( # `
 c )  =  M ) }  =  { c  |  ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
) }
96 df-rab 2791 . . . . . . 7  |-  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }  =  { c  |  ( c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M ) }
97 df-rab 2791 . . . . . . 7  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  =  { c  |  ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
) }
9895, 96, 973eqtr4i 2468 . . . . . 6  |-  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
9998fveq2i 5884 . . . . 5  |-  ( # `  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M } )  =  (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)
100 fzfi 12182 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin
1012nnzi 10961 . . . . . . 7  |-  M  e.  ZZ
102 hashbc 12611 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2 ... ( M  +  N )
)  e.  Fin  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( # `  (
2 ... ( M  +  N ) ) )  _C  M )  =  ( # `  {
c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }
) )
103100, 101, 102mp2an 676 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( 2 ... ( M  +  N
) ) )  _C  M )  =  (
# `  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N
) )  |  (
# `  c )  =  M } )
104 2z 10969 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  ZZ
105104eluz1i 11166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( M  +  N )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( M  +  N
) ) )
10652, 45, 105mpbir2an 928 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2 )
107 hashfz 12594 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( # `  (
2 ... ( M  +  N ) ) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  2 )  +  1 ) )
108106, 107ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  ( 2 ... ( M  +  N )
) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  2 )  +  1 )
1092nncni 10619 . . . . . . . . . . 11  |-  M  e.  CC
1103nncni 10619 . . . . . . . . . . 11  |-  N  e.  CC
111109, 110addcli 9646 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +  N )  e.  CC
112 2cn 10680 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
113 ax-1cn 9596 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
114 subadd23 9886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( M  +  N )  -  2 )  +  1 )  =  ( ( M  +  N )  +  ( 1  -  2 ) ) )
115111, 112, 113, 114mp3an 1360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  2 )  +  1 )  =  ( ( M  +  N )  +  ( 1  -  2 ) )
116112, 113negsubdi2i 9960 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
2  -  1 )  =  ( 1  -  2 )
117 2m1e1 10724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  -  1 )  =  1
118117negeqi 9867 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
2  -  1 )  =  -u 1
119116, 118eqtr3i 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  2 )  = 
-u 1
120119oveq2i 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  N )  +  ( 1  -  2 ) )  =  ( ( M  +  N )  +  -u
1 )
121108, 115, 1203eqtri 2462 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( 2 ... ( M  +  N )
) )  =  ( ( M  +  N
)  +  -u 1
)
122111, 113negsubi 9951 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  +  N )  +  -u 1 )  =  ( ( M  +  N )  -  1 )
123121, 122eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( 2 ... ( M  +  N )
) )  =  ( ( M  +  N
)  -  1 )
124123oveq1i 6315 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( 2 ... ( M  +  N
) ) )  _C  M )  =  ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )
125103, 124eqtr3i 2460 . . . . 5  |-  ( # `  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M } )  =  ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )
12699, 125eqtr3i 2460 . . . 4  |-  ( # `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )
1272, 3, 4ballotlem1 29145 . . . 4  |-  ( # `  O )  =  ( ( M  +  N
)  _C  M )
128126, 127oveq12i 6317 . . 3  |-  ( (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) )  =  ( ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )  /  (
( M  +  N
)  _C  M ) )
12913, 128eqtri 2458 . 2  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )  /  (
( M  +  N
)  _C  M ) )
130 0le1 10136 . . . . 5  |-  0  <_  1
131 0re 9642 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
132131, 22, 41letri 9762 . . . . 5  |-  ( ( 0  <_  1  /\  1  <_  M )  -> 
0  <_  M )
133130, 38, 132mp2an 676 . . . 4  |-  0  <_  M
1343nngt0i 10643 . . . . . 6  |-  0  <  N
13542, 134elrpii 11305 . . . . 5  |-  N  e.  RR+
136 ltaddrp 11336 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  M  <  ( M  +  N ) )
13741, 135, 136mp2an 676 . . . 4  |-  M  < 
( M  +  N
)
138 0z 10948 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
139 elfzm11 11863 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  1 ) )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M  /\  M  <  ( M  +  N )
) ) )
140138, 52, 139mp2an 676 . . . 4  |-  ( M  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  1 ) )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M  /\  M  <  ( M  +  N )
) )
141101, 133, 137, 140mpbir3an 1187 . . 3  |-  M  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  1 ) )
142 bcm1n 28207 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  - 
1 ) )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  N
)  -  1 )  _C  M )  / 
( ( M  +  N )  _C  M
) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  M
)  /  ( M  +  N ) ) )
143141, 51, 142mp2an 676 . 2  |-  ( ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )  /  ( ( M  +  N )  _C  M ) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  M )  /  ( M  +  N )
)
144 pncan2 9881 . . . 4  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( M  +  N )  -  M
)  =  N )
145109, 110, 144mp2an 676 . . 3  |-  ( ( M  +  N )  -  M )  =  N
146145oveq1i 6315 . 2  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  M )  /  ( M  +  N ) )  =  ( N  /  ( M  +  N )
)
147129, 143, 1463eqtri 2462 1  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( N  /  ( M  +  N )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870   {cab 2414   {crab 2786    i^i cin 3441    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Fincfn 7577   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   -ucneg 9860    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   ...cfz 11782    _C cbc 12484   #chash 12512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-seq 12211  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513
This theorem is referenced by:  ballotth  29196
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