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Theorem ballotlem2 26801
Description: The probability that the first vote picked in a count is a B (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlem2  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( N  /  ( M  +  N )
)
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c, x
Allowed substitution hints:    P( x, c)    M( x)    N( x)

Proof of Theorem ballotlem2
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3434 . . . . 5  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  O
2 ballotth.m . . . . . . 7  |-  M  e.  NN
3 ballotth.n . . . . . . 7  |-  N  e.  NN
4 ballotth.o . . . . . . 7  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
52, 3, 4ballotlemoex 26798 . . . . . 6  |-  O  e. 
_V
65elpw2 4453 . . . . 5  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O  <->  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  O )
71, 6mpbir 209 . . . 4  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O
8 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( x  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } ) )
98oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( x  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  (
( # `  x )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) ) )
10 ballotth.p . . . . 5  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
11 ovex 6115 . . . . 5  |-  ( (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) )  e. 
_V
129, 10, 11fvmpt 5771 . . . 4  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O  ->  ( P `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) ) )
137, 12ax-mp 5 . . 3  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) )
14 1le2 10531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <_  2
15 1z 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
16 2z 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
17 eluz 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 2  e.  (
ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  2 ) )
1815, 16, 17mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  1  <_  2
)
1914, 18mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
20 fzss1 11493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
)
22 sspwb 4538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2 ... ( M  +  N ) ) 
C_  ( 1 ... ( M  +  N
) )  <->  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
) )
2321, 22mpbi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)
2423sseli 3349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  -> 
c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) ) )
25 1lt2 10484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <  2
26 1re 9381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
27 2re 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
2826, 27ltnlei 9491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  <  2  <->  -.  2  <_  1 )
2925, 28mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  2  <_  1
30 elfzle1 11450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ( 2 ... ( M  +  N
) )  ->  2  <_  1 )
3129, 30mto 176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  1  e.  ( 2 ... ( M  +  N )
)
32 elelpwi 3868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  c  /\  c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) ) )  ->  1  e.  ( 2 ... ( M  +  N ) ) )
3331, 32mto 176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
1  e.  c  /\  c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) ) )
34 ancom 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  c  /\  c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) ) )  <-> 
( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
)  /\  1  e.  c ) )
3533, 34mtbi 298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  (
c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  1  e.  c )
3635imnani 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  ->  -.  1  e.  c
)
3724, 36jca 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  -> 
( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  1  e.  c ) )
38 ssin 3569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } )  <->  c  C_  ( ( 1 ... ( M  +  N
) )  i^i  {
i  |  -.  i  =  1 } ) )
39 1p1e2 10431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  +  1 )  =  2
40 nnge1 10344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
412, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  <_  M
42 nnge1 10344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
433, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  <_  N
442nnrei 10327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  M  e.  RR
453nnrei 10327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  N  e.  RR
4626, 26, 44, 45le2addi 9899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1  <_  M  /\  1  <_  N )  -> 
( 1  +  1 )  <_  ( M  +  N ) )
4741, 43, 46mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  +  1 )  <_ 
( M  +  N
)
4839, 47eqbrtrri 4310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  <_  ( M  +  N
)
4944, 45readdcli 9395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  +  N )  e.  RR
5026, 27, 49letri 9499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  <_  2  /\  2  <_  ( M  +  N ) )  -> 
1  <_  ( M  +  N ) )
5114, 48, 50mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  <_  ( M  +  N
)
52 nnaddcl 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
532, 3, 52mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  +  N )  e.  NN
5453nnzi 10666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  +  N )  e.  ZZ
55 eluz 10870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  ( M  +  N ) ) )
5615, 54, 55mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  1  <_  ( M  +  N )
)
5751, 56mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1 )
58 elfzp12 11535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  <->  ( i  =  1  \/  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N )
) ) ) )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  <->  ( i  =  1  \/  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N )
) ) )
6059biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
i  =  1  \/  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N ) ) ) )
6160orcanai 899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  i  =  1
)  ->  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N )
) )
6239oveq1i 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N ) )  =  ( 2 ... ( M  +  N )
)
6361, 62syl6eleq 2531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  i  =  1
)  ->  i  e.  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
6463ss2abi 3421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { i  |  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  i  =  1 ) } 
C_  { i  |  i  e.  ( 2 ... ( M  +  N ) ) }
65 inab 3615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { i  |  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) }  i^i  {
i  |  -.  i  =  1 } )  =  { i  |  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  i  =  1 ) }
66 abid2 2558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { i  |  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) }  =  ( 1 ... ( M  +  N ) )
6766ineq1i 3545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { i  |  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) }  i^i  {
i  |  -.  i  =  1 } )  =  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)
6865, 67eqtr3i 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { i  |  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  i  =  1 ) }  =  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)
69 abid2 2558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { i  |  i  e.  ( 2 ... ( M  +  N ) ) }  =  ( 2 ... ( M  +  N ) )
7064, 68, 693sstr3i 3391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i  { i  |  -.  i  =  1 } )  C_  (
2 ... ( M  +  N ) )
71 sstr 3361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  C_  ( (
1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)  /\  ( (
1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)  C_  ( 2 ... ( M  +  N ) ) )  ->  c  C_  (
2 ... ( M  +  N ) ) )
7270, 71mpan2 666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c 
C_  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)  ->  c  C_  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
7338, 72sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } )  ->  c  C_  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
74 selpw 3864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N ) )  <->  c  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
75 ssab 3419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c 
C_  { i  |  -.  i  =  1 }  <->  A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 ) )
76 df-ex 1592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. i ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  -.  A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
7776bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
A. i  -.  (
i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  E. i ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
7877con1bii 331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
E. i ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
79 df-clel 2437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  c  <->  E. i
( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
8079notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  1  e.  c  <->  -.  E. i
( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
81 imnan 422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1
)  <->  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
8281albii 1615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 )  <->  A. i  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
83 ancom 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <-> 
( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
8483notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
8584albii 1615 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  A. i  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
8682, 85bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 )  <->  A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
8778, 80, 863bitr4ri 278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 )  <->  -.  1  e.  c )
8875, 87bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  1  e.  c  <->  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } )
8974, 88anbi12i 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  <->  ( c  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } ) )
90 selpw 3864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  <->  c  C_  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
9173, 89, 903imtr4i 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  ->  c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
) )
9237, 91impbii 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  <->  ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  /\  -.  1  e.  c )
)
9392anbi1i 690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  <->  ( (
c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  /\  ( # `  c
)  =  M ) )
944rabeq2i 2967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  O  <->  ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  /\  ( # `
 c )  =  M ) )
9594anbi1i 690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
)  <->  ( ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  /\  -.  1  e.  c
) )
96 an32 791 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  1  e.  c )  /\  ( # `
 c )  =  M )  <->  ( (
c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  /\  -.  1  e.  c
) )
9795, 96bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
)  <->  ( ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  /\  ( # `  c
)  =  M ) )
9893, 97bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  <->  ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c ) )
9998abbii 2553 . . . . . . 7  |-  { c  |  ( c  e. 
~P ( 2 ... ( M  +  N
) )  /\  ( # `
 c )  =  M ) }  =  { c  |  ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
) }
100 df-rab 2722 . . . . . . 7  |-  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }  =  { c  |  ( c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M ) }
101 df-rab 2722 . . . . . . 7  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  =  { c  |  ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
) }
10299, 100, 1013eqtr4i 2471 . . . . . 6  |-  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
103102fveq2i 5691 . . . . 5  |-  ( # `  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M } )  =  (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)
104 fzfi 11790 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin
1052nnzi 10666 . . . . . . 7  |-  M  e.  ZZ
106 hashbc 12202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2 ... ( M  +  N )
)  e.  Fin  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( # `  (
2 ... ( M  +  N ) ) )  _C  M )  =  ( # `  {
c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }
) )
107104, 105, 106mp2an 667 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( 2 ... ( M  +  N
) ) )  _C  M )  =  (
# `  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N
) )  |  (
# `  c )  =  M } )
10816eluz1i 10864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( M  +  N )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( M  +  N
) ) )
10954, 48, 108mpbir2an 906 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2 )
110 hashfz 12184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( # `  (
2 ... ( M  +  N ) ) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  2 )  +  1 ) )
111109, 110ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  ( 2 ... ( M  +  N )
) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  2 )  +  1 )
1122nncni 10328 . . . . . . . . . . 11  |-  M  e.  CC
1133nncni 10328 . . . . . . . . . . 11  |-  N  e.  CC
114112, 113addcli 9386 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +  N )  e.  CC
115 2cn 10388 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
116 ax-1cn 9336 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
117 subadd23 9618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( M  +  N )  -  2 )  +  1 )  =  ( ( M  +  N )  +  ( 1  -  2 ) ) )
118114, 115, 116, 117mp3an 1309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  2 )  +  1 )  =  ( ( M  +  N )  +  ( 1  -  2 ) )
119115, 116negsubdi2i 9690 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
2  -  1 )  =  ( 1  -  2 )
120 2m1e1 10432 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  -  1 )  =  1
121120negeqi 9599 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
2  -  1 )  =  -u 1
122119, 121eqtr3i 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  2 )  = 
-u 1
123122oveq2i 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  N )  +  ( 1  -  2 ) )  =  ( ( M  +  N )  +  -u
1 )
124111, 118, 1233eqtri 2465 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( 2 ... ( M  +  N )
) )  =  ( ( M  +  N
)  +  -u 1
)
125114, 116negsubi 9682 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  +  N )  +  -u 1 )  =  ( ( M  +  N )  -  1 )
126124, 125eqtri 2461 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( 2 ... ( M  +  N )
) )  =  ( ( M  +  N
)  -  1 )
127126oveq1i 6100 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( 2 ... ( M  +  N
) ) )  _C  M )  =  ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )
128107, 127eqtr3i 2463 . . . . 5  |-  ( # `  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M } )  =  ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )
129103, 128eqtr3i 2463 . . . 4  |-  ( # `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )
1302, 3, 4ballotlem1 26799 . . . 4  |-  ( # `  O )  =  ( ( M  +  N
)  _C  M )
131129, 130oveq12i 6102 . . 3  |-  ( (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) )  =  ( ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )  /  (
( M  +  N
)  _C  M ) )
13213, 131eqtri 2461 . 2  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )  /  (
( M  +  N
)  _C  M ) )
133 0le1 9859 . . . . . 6  |-  0  <_  1
134 0re 9382 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
135134, 26, 44letri 9499 . . . . . 6  |-  ( ( 0  <_  1  /\  1  <_  M )  -> 
0  <_  M )
136133, 41, 135mp2an 667 . . . . 5  |-  0  <_  M
1373nngt0i 10351 . . . . . . 7  |-  0  <  N
13845, 137elrpii 10990 . . . . . 6  |-  N  e.  RR+
139 ltaddrp 11019 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  M  <  ( M  +  N ) )
14044, 138, 139mp2an 667 . . . . 5  |-  M  < 
( M  +  N
)
141105, 136, 1403pm3.2i 1161 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M  /\  M  < 
( M  +  N
) )
142 0z 10653 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
143 elfzm11 11524 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  1 ) )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M  /\  M  <  ( M  +  N )
) ) )
144142, 54, 143mp2an 667 . . . 4  |-  ( M  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  1 ) )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M  /\  M  <  ( M  +  N )
) )
145141, 144mpbir 209 . . 3  |-  M  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  1 ) )
146 bcm1n 26012 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  - 
1 ) )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  N
)  -  1 )  _C  M )  / 
( ( M  +  N )  _C  M
) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  M
)  /  ( M  +  N ) ) )
147145, 53, 146mp2an 667 . 2  |-  ( ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )  /  ( ( M  +  N )  _C  M ) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  M )  /  ( M  +  N )
)
148 pncan2 9613 . . . 4  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( M  +  N )  -  M
)  =  N )
149112, 113, 148mp2an 667 . . 3  |-  ( ( M  +  N )  -  M )  =  N
150149oveq1i 6100 . 2  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  M )  /  ( M  +  N ) )  =  ( N  /  ( M  +  N )
)
151132, 147, 1503eqtri 2465 1  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( N  /  ( M  +  N )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 960   A.wal 1362    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761   {cab 2427   {crab 2717    i^i cin 3324    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   -ucneg 9592    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   RR+crp 10987   ...cfz 11433    _C cbc 12074   #chash 12099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-seq 11803  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100
This theorem is referenced by:  ballotth  26850
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