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Theorem ballotlem2 26876
Description: The probability that the first vote picked in a count is a B (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlem2  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( N  /  ( M  +  N )
)
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c, x
Allowed substitution hints:    P( x, c)    M( x)    N( x)

Proof of Theorem ballotlem2
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3442 . . . . 5  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  O
2 ballotth.m . . . . . . 7  |-  M  e.  NN
3 ballotth.n . . . . . . 7  |-  N  e.  NN
4 ballotth.o . . . . . . 7  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
52, 3, 4ballotlemoex 26873 . . . . . 6  |-  O  e. 
_V
65elpw2 4461 . . . . 5  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O  <->  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  C_  O )
71, 6mpbir 209 . . . 4  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O
8 fveq2 5696 . . . . . 6  |-  ( x  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  ( # `
 x )  =  ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } ) )
98oveq1d 6111 . . . . 5  |-  ( x  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  ->  (
( # `  x )  /  ( # `  O
) )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) ) )
10 ballotth.p . . . . 5  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
11 ovex 6121 . . . . 5  |-  ( (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) )  e. 
_V
129, 10, 11fvmpt 5779 . . . 4  |-  ( { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  e.  ~P O  ->  ( P `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) ) )
137, 12ax-mp 5 . . 3  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( # `  {
c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  /  ( # `
 O ) )
14 1le2 10540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  <_  2
15 1z 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  ZZ
16 2z 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  ZZ
17 eluz 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 2  e.  (
ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  2 ) )
1815, 16, 17mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  1  <_  2
)
1914, 18mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
20 fzss1 11502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 2 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 ... ( M  +  N ) )  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
)
22 sspwb 4546 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2 ... ( M  +  N ) ) 
C_  ( 1 ... ( M  +  N
) )  <->  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
) )
2321, 22mpbi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  C_  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)
2423sseli 3357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  -> 
c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) ) )
25 1lt2 10493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <  2
26 1re 9390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
27 2re 10396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
2826, 27ltnlei 9500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  <  2  <->  -.  2  <_  1 )
2925, 28mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  2  <_  1
30 elfzle1 11459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  ( 2 ... ( M  +  N
) )  ->  2  <_  1 )
3129, 30mto 176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  1  e.  ( 2 ... ( M  +  N )
)
32 elelpwi 3876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  c  /\  c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) ) )  ->  1  e.  ( 2 ... ( M  +  N ) ) )
3331, 32mto 176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  (
1  e.  c  /\  c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) ) )
34 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1  e.  c  /\  c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) ) )  <-> 
( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
)  /\  1  e.  c ) )
3533, 34mtbi 298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  (
c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  1  e.  c )
3635imnani 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  ->  -.  1  e.  c
)
3724, 36jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  -> 
( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  1  e.  c ) )
38 ssin 3577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } )  <->  c  C_  ( ( 1 ... ( M  +  N
) )  i^i  {
i  |  -.  i  =  1 } ) )
39 1p1e2 10440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  +  1 )  =  2
40 nnge1 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( M  e.  NN  ->  1  <_  M )
412, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  <_  M
42 nnge1 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN  ->  1  <_  N )
433, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  <_  N
442nnrei 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  M  e.  RR
453nnrei 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  N  e.  RR
4626, 26, 44, 45le2addi 9908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 1  <_  M  /\  1  <_  N )  -> 
( 1  +  1 )  <_  ( M  +  N ) )
4741, 43, 46mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  +  1 )  <_ 
( M  +  N
)
4839, 47eqbrtrri 4318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  2  <_  ( M  +  N
)
4944, 45readdcli 9404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  +  N )  e.  RR
5026, 27, 49letri 9508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  <_  2  /\  2  <_  ( M  +  N ) )  -> 
1  <_  ( M  +  N ) )
5114, 48, 50mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  <_  ( M  +  N
)
52 nnaddcl 10349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
532, 3, 52mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( M  +  N )  e.  NN
5453nnzi 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  +  N )  e.  ZZ
55 eluz 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1 )  <->  1  <_  ( M  +  N ) ) )
5615, 54, 55mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  <->  1  <_  ( M  +  N )
)
5751, 56mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1 )
58 elfzp12 11544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  <->  ( i  =  1  \/  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N )
) ) ) )
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  <->  ( i  =  1  \/  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N )
) ) )
6059biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
i  =  1  \/  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N ) ) ) )
6160orcanai 904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  i  =  1
)  ->  i  e.  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N )
) )
6239oveq1i 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  +  1 ) ... ( M  +  N ) )  =  ( 2 ... ( M  +  N )
)
6361, 62syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  i  =  1
)  ->  i  e.  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
6463ss2abi 3429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { i  |  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  i  =  1 ) } 
C_  { i  |  i  e.  ( 2 ... ( M  +  N ) ) }
65 inab 3623 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { i  |  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) }  i^i  {
i  |  -.  i  =  1 } )  =  { i  |  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  i  =  1 ) }
66 abid2 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { i  |  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) }  =  ( 1 ... ( M  +  N ) )
6766ineq1i 3553 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { i  |  i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) }  i^i  {
i  |  -.  i  =  1 } )  =  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)
6865, 67eqtr3i 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { i  |  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  i  =  1 ) }  =  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)
69 abid2 2565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { i  |  i  e.  ( 2 ... ( M  +  N ) ) }  =  ( 2 ... ( M  +  N ) )
7064, 68, 693sstr3i 3399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i  { i  |  -.  i  =  1 } )  C_  (
2 ... ( M  +  N ) )
71 sstr 3369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( c  C_  ( (
1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)  /\  ( (
1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)  C_  ( 2 ... ( M  +  N ) ) )  ->  c  C_  (
2 ... ( M  +  N ) ) )
7270, 71mpan2 671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c 
C_  ( ( 1 ... ( M  +  N ) )  i^i 
{ i  |  -.  i  =  1 }
)  ->  c  C_  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
7338, 72sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  C_  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } )  ->  c  C_  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
74 selpw 3872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N ) )  <->  c  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
75 ssab 3427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c 
C_  { i  |  -.  i  =  1 }  <->  A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 ) )
76 df-ex 1587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( E. i ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  -.  A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
7776bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
A. i  -.  (
i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  E. i ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
7877con1bii 331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -. 
E. i ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
79 df-clel 2439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  c  <->  E. i
( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
8079notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  1  e.  c  <->  -.  E. i
( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
81 imnan 422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1
)  <->  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
8281albii 1610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 )  <->  A. i  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
83 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <-> 
( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
8483notbii 296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
8584albii 1610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c )  <->  A. i  -.  ( i  e.  c  /\  i  =  1 ) )
8682, 85bitr4i 252 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 )  <->  A. i  -.  ( i  =  1  /\  i  e.  c ) )
8778, 80, 863bitr4ri 278 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. i ( i  e.  c  ->  -.  i  =  1 )  <->  -.  1  e.  c )
8875, 87bitr2i 250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  1  e.  c  <->  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } )
8974, 88anbi12i 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  <->  ( c  C_  ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  c  C_  { i  |  -.  i  =  1 } ) )
90 selpw 3872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  <->  c  C_  ( 2 ... ( M  +  N )
) )
9173, 89, 903imtr4i 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  ->  c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
) )
9237, 91impbii 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  <->  ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  /\  -.  1  e.  c )
)
9392anbi1i 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  <->  ( (
c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  /\  ( # `  c
)  =  M ) )
944rabeq2i 2974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  O  <->  ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N
) )  /\  ( # `
 c )  =  M ) )
9594anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
)  <->  ( ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  /\  -.  1  e.  c
) )
96 an32 796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  /\  -.  1  e.  c )  /\  ( # `
 c )  =  M )  <->  ( (
c  e.  ~P (
1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  /\  -.  1  e.  c
) )
9795, 96bitr4i 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
)  <->  ( ( c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  -.  1  e.  c
)  /\  ( # `  c
)  =  M ) )
9893, 97bitr4i 252 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M )  <->  ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c ) )
9998abbii 2560 . . . . . . 7  |-  { c  |  ( c  e. 
~P ( 2 ... ( M  +  N
) )  /\  ( # `
 c )  =  M ) }  =  { c  |  ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
) }
100 df-rab 2729 . . . . . . 7  |-  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }  =  { c  |  ( c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  /\  ( # `  c )  =  M ) }
101 df-rab 2729 . . . . . . 7  |-  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }  =  { c  |  ( c  e.  O  /\  -.  1  e.  c
) }
10299, 100, 1013eqtr4i 2473 . . . . . 6  |-  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }  =  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
103102fveq2i 5699 . . . . 5  |-  ( # `  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M } )  =  (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)
104 fzfi 11799 . . . . . . 7  |-  ( 2 ... ( M  +  N ) )  e. 
Fin
1052nnzi 10675 . . . . . . 7  |-  M  e.  ZZ
106 hashbc 12211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2 ... ( M  +  N )
)  e.  Fin  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( ( # `  (
2 ... ( M  +  N ) ) )  _C  M )  =  ( # `  {
c  e.  ~P (
2 ... ( M  +  N ) )  |  ( # `  c
)  =  M }
) )
107104, 105, 106mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( 2 ... ( M  +  N
) ) )  _C  M )  =  (
# `  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N
) )  |  (
# `  c )  =  M } )
10816eluz1i 10873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( M  +  N )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( M  +  N
) ) )
10954, 48, 108mpbir2an 911 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2 )
110 hashfz 12193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( # `  (
2 ... ( M  +  N ) ) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  2 )  +  1 ) )
111109, 110ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( # `  ( 2 ... ( M  +  N )
) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  2 )  +  1 )
1122nncni 10337 . . . . . . . . . . 11  |-  M  e.  CC
1133nncni 10337 . . . . . . . . . . 11  |-  N  e.  CC
114112, 113addcli 9395 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +  N )  e.  CC
115 2cn 10397 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
116 ax-1cn 9345 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
117 subadd23 9627 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  +  N
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( ( M  +  N )  -  2 )  +  1 )  =  ( ( M  +  N )  +  ( 1  -  2 ) ) )
118114, 115, 116, 117mp3an 1314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  2 )  +  1 )  =  ( ( M  +  N )  +  ( 1  -  2 ) )
119115, 116negsubdi2i 9699 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
2  -  1 )  =  ( 1  -  2 )
120 2m1e1 10441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  -  1 )  =  1
121120negeqi 9608 . . . . . . . . . . 11  |-  -u (
2  -  1 )  =  -u 1
122119, 121eqtr3i 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  2 )  = 
-u 1
123122oveq2i 6107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  +  N )  +  ( 1  -  2 ) )  =  ( ( M  +  N )  +  -u
1 )
124111, 118, 1233eqtri 2467 . . . . . . . 8  |-  ( # `  ( 2 ... ( M  +  N )
) )  =  ( ( M  +  N
)  +  -u 1
)
125114, 116negsubi 9691 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  +  N )  +  -u 1 )  =  ( ( M  +  N )  -  1 )
126124, 125eqtri 2463 . . . . . . 7  |-  ( # `  ( 2 ... ( M  +  N )
) )  =  ( ( M  +  N
)  -  1 )
127126oveq1i 6106 . . . . . 6  |-  ( (
# `  ( 2 ... ( M  +  N
) ) )  _C  M )  =  ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )
128107, 127eqtr3i 2465 . . . . 5  |-  ( # `  { c  e.  ~P ( 2 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M } )  =  ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )
129103, 128eqtr3i 2465 . . . 4  |-  ( # `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )
1302, 3, 4ballotlem1 26874 . . . 4  |-  ( # `  O )  =  ( ( M  +  N
)  _C  M )
131129, 130oveq12i 6108 . . 3  |-  ( (
# `  { c  e.  O  |  -.  1  e.  c }
)  /  ( # `  O ) )  =  ( ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )  /  (
( M  +  N
)  _C  M ) )
13213, 131eqtri 2463 . 2  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )  /  (
( M  +  N
)  _C  M ) )
133 0le1 9868 . . . . . 6  |-  0  <_  1
134 0re 9391 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
135134, 26, 44letri 9508 . . . . . 6  |-  ( ( 0  <_  1  /\  1  <_  M )  -> 
0  <_  M )
136133, 41, 135mp2an 672 . . . . 5  |-  0  <_  M
1373nngt0i 10360 . . . . . . 7  |-  0  <  N
13845, 137elrpii 10999 . . . . . 6  |-  N  e.  RR+
139 ltaddrp 11028 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  ->  M  <  ( M  +  N ) )
14044, 138, 139mp2an 672 . . . . 5  |-  M  < 
( M  +  N
)
141105, 136, 1403pm3.2i 1166 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M  /\  M  < 
( M  +  N
) )
142 0z 10662 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
143 elfzm11 11533 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  1 ) )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M  /\  M  <  ( M  +  N )
) ) )
144142, 54, 143mp2an 672 . . . 4  |-  ( M  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  -  1 ) )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  0  <_  M  /\  M  <  ( M  +  N )
) )
145141, 144mpbir 209 . . 3  |-  M  e.  ( 0 ... (
( M  +  N
)  -  1 ) )
146 bcm1n 26084 . . 3  |-  ( ( M  e.  ( 0 ... ( ( M  +  N )  - 
1 ) )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN )  ->  ( ( ( ( M  +  N
)  -  1 )  _C  M )  / 
( ( M  +  N )  _C  M
) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  M
)  /  ( M  +  N ) ) )
147145, 53, 146mp2an 672 . 2  |-  ( ( ( ( M  +  N )  -  1 )  _C  M )  /  ( ( M  +  N )  _C  M ) )  =  ( ( ( M  +  N )  -  M )  /  ( M  +  N )
)
148 pncan2 9622 . . . 4  |-  ( ( M  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( M  +  N )  -  M
)  =  N )
149112, 113, 148mp2an 672 . . 3  |-  ( ( M  +  N )  -  M )  =  N
150149oveq1i 6106 . 2  |-  ( ( ( M  +  N
)  -  M )  /  ( M  +  N ) )  =  ( N  /  ( M  +  N )
)
151132, 147, 1503eqtri 2467 1  |-  ( P `
 { c  e.  O  |  -.  1  e.  c } )  =  ( N  /  ( M  +  N )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2429   {crab 2724    i^i cin 3332    C_ wss 3333   ~Pcpw 3865   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Fincfn 7315   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600   -ucneg 9601    / cdiv 9998   NNcn 10327   2c2 10376   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   ...cfz 11442    _C cbc 12083   #chash 12108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-seq 11812  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109
This theorem is referenced by:  ballotth  26925
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