Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlem1ri Structured version   Unicode version

Theorem ballotlem1ri 27053
Description: When the vote on the first tie is for A, the first vote is also for A on the reverse counting. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
ballotth.r  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
Assertion
Ref Expression
ballotlem1ri  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
1  e.  ( R `
 C )  <->  ( I `  C )  e.  C
) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c    S, k, i, c    R, i, k    x, c   
x, C    x, F    x, M    x, N
Allowed substitution hints:    C( c)    P( x, i, k, c)    R( x, c)    S( x)    E( x)    I( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlem1ri
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . 6  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . . . . 6  |-  N  e.  NN
3 nnaddcl 10447 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
41, 2, 3mp2an 672 . . . . 5  |-  ( M  +  N )  e.  NN
5 nnuz 10999 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5eleqtri 2537 . . . 4  |-  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1 )
7 eluzfz1 11561 . . . 4  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
86, 7mp1i 12 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
9 ballotth.o . . . . . 6  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
10 ballotth.p . . . . . 6  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
11 ballotth.f . . . . . 6  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
12 ballotth.e . . . . . 6  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
13 ballotth.mgtn . . . . . 6  |-  N  < 
M
14 ballotth.i . . . . . 6  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
151, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14ballotlemiex 27020 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
1615simpld 459 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
17 elfzle1 11557 . . . 4  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  1  <_  ( I `  C
) )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  <_  ( I `  C
) )
19 ballotth.s . . . 4  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
20 ballotth.r . . . 4  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
211, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 19, 20ballotlemrv1 27039 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  1  <_  ( I `  C ) )  -> 
( 1  e.  ( R `  C )  <-> 
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  1 )  e.  C ) )
228, 18, 21mpd3an23 1317 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
1  e.  ( R `
 C )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  1 )  e.  C ) )
23 elfzelz 11556 . . . . . 6  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
2416, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
2524zcnd 10851 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  CC )
26 ax-1cn 9443 . . . . 5  |-  1  e.  CC
2726a1i 11 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  CC )
2825, 27pncand 9823 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  1 )  =  ( I `  C ) )
2928eleq1d 2520 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  1 )  e.  C  <->  ( I `  C )  e.  C
) )
3022, 29bitrd 253 1  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
1  e.  ( R `
 C )  <->  ( I `  C )  e.  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   {crab 2799    \ cdif 3425    i^i cin 3427   ifcif 3891   ~Pcpw 3960   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   `'ccnv 4939   "cima 4943   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   supcsup 7793   CCcc 9383   RRcr 9384   0cc0 9385   1c1 9386    + caddc 9388    < clt 9521    <_ cle 9522    - cmin 9698    / cdiv 10096   NNcn 10425   ZZcz 10749   ZZ>=cuz 10964   ...cfz 11540   #chash 12206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-sup 7794  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-rp 11095  df-fz 11541  df-hash 12207
This theorem is referenced by:  ballotlem7  27054
  Copyright terms: Public domain W3C validator