Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlem1ri Structured version   Unicode version

Theorem ballotlem1ri 28339
Description: When the vote on the first tie is for A, the first vote is also for A on the reverse counting. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
ballotth.s  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
ballotth.r  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
Assertion
Ref Expression
ballotlem1ri  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
1  e.  ( R `
 C )  <->  ( I `  C )  e.  C
) )
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I, c    E, c    i, I, c    S, k, i, c    R, i, k    x, c   
x, C    x, F    x, M    x, N
Allowed substitution hints:    C( c)    P( x, i, k, c)    R( x, c)    S( x)    E( x)    I( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlem1ri
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . 6  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . . . . 6  |-  N  e.  NN
3 nnaddcl 10559 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
41, 2, 3mp2an 672 . . . . 5  |-  ( M  +  N )  e.  NN
5 nnuz 11120 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
64, 5eleqtri 2527 . . . 4  |-  ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1 )
7 eluzfz1 11697 . . . 4  |-  ( ( M  +  N )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
86, 7mp1i 12 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
9 ballotth.o . . . . . 6  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
10 ballotth.p . . . . . 6  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
11 ballotth.f . . . . . 6  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
12 ballotth.e . . . . . 6  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
13 ballotth.mgtn . . . . . 6  |-  N  < 
M
14 ballotth.i . . . . . 6  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
151, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14ballotlemiex 28306 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
1615simpld 459 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
17 elfzle1 11693 . . . 4  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  1  <_  ( I `  C
) )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  <_  ( I `  C
) )
19 ballotth.s . . . 4  |-  S  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 
|->  if ( i  <_ 
( I `  c
) ,  ( ( ( I `  c
)  +  1 )  -  i ) ,  i ) ) )
20 ballotth.r . . . 4  |-  R  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  ( ( S `  c ) " c
) )
211, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 19, 20ballotlemrv1 28325 . . 3  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  1  <_  ( I `  C ) )  -> 
( 1  e.  ( R `  C )  <-> 
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  1 )  e.  C ) )
228, 18, 21mpd3an23 1325 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
1  e.  ( R `
 C )  <->  ( (
( I `  C
)  +  1 )  -  1 )  e.  C ) )
23 elfzelz 11692 . . . . . 6  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
2416, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
2524zcnd 10970 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  CC )
26 1cnd 9610 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  CC )
2725, 26pncand 9932 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( ( I `  C )  +  1 )  -  1 )  =  ( I `  C ) )
2827eleq1d 2510 . 2  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( ( ( I `
 C )  +  1 )  -  1 )  e.  C  <->  ( I `  C )  e.  C
) )
2922, 28bitrd 253 1  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
1  e.  ( R `
 C )  <->  ( I `  C )  e.  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   {crab 2795    \ cdif 3455    i^i cin 3457   ifcif 3922   ~Pcpw 3993   class class class wbr 4433    |-> cmpt 4491   `'ccnv 4984   "cima 4988   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   supcsup 7898   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9805    / cdiv 10207   NNcn 10537   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11085   ...cfz 11676   #chash 12379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-fz 11677  df-hash 12380
This theorem is referenced by:  ballotlem7  28340
  Copyright terms: Public domain W3C validator