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Theorem ballotlem1c 26738
Description: If the first vote is for A, the vote on the first tie is for B. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m  |-  M  e.  NN
ballotth.n  |-  N  e.  NN
ballotth.o  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
ballotth.p  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
ballotth.f  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
ballotth.e  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
ballotth.mgtn  |-  N  < 
M
ballotth.i  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
Assertion
Ref Expression
ballotlem1c  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  -.  ( I `  C )  e.  C
)
Distinct variable groups:    M, c    N, c    O, c    i, M   
i, N    i, O    k, M    k, N    k, O    i, c, F, k    C, i, k    i, E, k    C, k    k, I   
k, c, E    i, I
Allowed substitution hints:    C( x, c)    P( x, i, k, c)    E( x)    F( x)    I( x, c)    M( x)    N( x)    O( x)

Proof of Theorem ballotlem1c
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3  |-  M  e.  NN
2 ballotth.n . . 3  |-  N  e.  NN
3 ballotth.o . . 3  |-  O  =  { c  e.  ~P ( 1 ... ( M  +  N )
)  |  ( # `  c )  =  M }
4 ballotth.p . . 3  |-  P  =  ( x  e.  ~P O  |->  ( ( # `  x )  /  ( # `
 O ) ) )
5 ballotth.f . . 3  |-  F  =  ( c  e.  O  |->  ( i  e.  ZZ  |->  ( ( # `  (
( 1 ... i
)  i^i  c )
)  -  ( # `  ( ( 1 ... i )  \  c
) ) ) ) )
6 eldifi 3466 . . . 4  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  C  e.  O )
76ad2antrr 718 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  C  e.  O )
8 ballotth.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  { c  e.  O  |  A. i  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) ) 0  <  ( ( F `  c ) `
 i ) }
9 ballotth.mgtn . . . . . . . . . 10  |-  N  < 
M
10 ballotth.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( c  e.  ( O  \  E ) 
|->  sup ( { k  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  |  ( ( F `  c
) `  k )  =  0 } ,  RR ,  `'  <  ) )
111, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemiex 26732 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  ( 1 ... ( M  +  N ) )  /\  ( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  0 ) )
1211simpld 456 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N )
) )
13 elfznn 11465 . . . . . . . 8  |-  ( ( I `  C )  e.  ( 1 ... ( M  +  N
) )  ->  (
I `  C )  e.  NN )
1412, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  NN )
1514adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( I `  C
)  e.  NN )
161, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemii 26734 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( I `  C
)  =/=  1 )
17 eluz2b3 10916 . . . . . 6  |-  ( ( I `  C )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( I `
 C )  e.  NN  /\  ( I `
 C )  =/=  1 ) )
1815, 16, 17sylanbrc 657 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( I `  C
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
19 uz2m1nn 10917 . . . . 5  |-  ( ( I `  C )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  NN )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( ( I `  C )  -  1 )  e.  NN )
2120adantr 462 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  NN )
22 elnnuz 10885 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  NN  <->  ( (
I `  C )  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2322biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( I `  C
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
24 eluzfz1 11445 . . . . . 6  |-  ( ( ( I `  C
)  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
2520, 23, 243syl 20 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  1  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) )
2625adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  1  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) )
27 0le1 9851 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
28 1e0p1 10771 . . . . . . 7  |-  1  =  ( 0  +  1 )
2927, 28breqtri 4303 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 0  +  1 )
30 1nn 10321 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
3130a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  1  e.  NN )
321, 2, 3, 4, 5, 6, 31ballotlemfp1 26722 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( -.  1  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( 1  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  (
1  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  1
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
3332simprd 460 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
1  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  1
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 ) ) )
3433imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( ( F `  C ) `  1
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 ) )
35 1m1e0 10378 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3635fveq2i 5682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  C ) `
 ( 1  -  1 ) )  =  ( ( F `  C ) `  0
)
3736oveq1i 6090 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  C
) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( F `
 C ) ` 
0 )  +  1 )
3837a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( ( ( F `
 C ) `  ( 1  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( ( F `  C
) `  0 )  +  1 ) )
391, 2, 3, 4, 5ballotlemfval0 26726 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  O  ->  (
( F `  C
) `  0 )  =  0 )
406, 39syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( F `  C
) `  0 )  =  0 )
4140adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( ( F `  C ) `  0
)  =  0 )
4241oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( ( ( F `
 C ) ` 
0 )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
4334, 38, 423eqtrrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  ( 0  +  1 )  =  ( ( F `  C ) `
 1 ) )
4429, 43syl5breq 4315 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  0  <_  ( ( F `  C ) `  1 ) )
4544adantr 462 . . . 4  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  0  <_  ( ( F `  C
) `  1 )
)
46 fveq2 5679 . . . . . 6  |-  ( i  =  1  ->  (
( F `  C
) `  i )  =  ( ( F `
 C ) ` 
1 ) )
4746breq2d 4292 . . . . 5  |-  ( i  =  1  ->  (
0  <_  ( ( F `  C ) `  i )  <->  0  <_  ( ( F `  C
) `  1 )
) )
4847rspcev 3062 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  /\  0  <_  ( ( F `
 C ) ` 
1 ) )  ->  E. i  e.  (
1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) 0  <_  ( ( F `
 C ) `  i ) )
4926, 45, 48syl2anc 654 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  E. i  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) 0  <_  (
( F `  C
) `  i )
)
50 df-neg 9586 . . . . . 6  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
511, 2, 3, 4, 5, 6, 14ballotlemfp1 26722 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( -.  ( I `
 C )  e.  C  ->  ( ( F `  C ) `  ( I `  C
) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  -  1 ) )  /\  ( ( I `  C )  e.  C  ->  (
( F `  C
) `  ( I `  C ) )  =  ( ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  +  1 ) ) ) )
5251simprd 460 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( I `  C
)  e.  C  -> 
( ( F `  C ) `  (
I `  C )
)  =  ( ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) )  +  1 ) ) )
5352imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  ( ( ( F `  C ) `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  +  1 ) )
5411simprd 460 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
( F `  C
) `  ( I `  C ) )  =  0 )
5554adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( I `  C
) )  =  0 )
5653, 55eqtr3d 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  +  1 )  =  0 )
57 0cnd 9367 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  0  e.  CC )
58 ax-1cn 9328 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
5958a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  e.  CC )
606adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  C  e.  O
)
6114nnzd 10734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  (
I `  C )  e.  ZZ )
6261adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( I `  C )  e.  ZZ )
63 1z 10664 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
6463a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  1  e.  ZZ )
6562, 64zsubcld 10740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( I `
 C )  - 
1 )  e.  ZZ )
661, 2, 3, 4, 5, 60, 65ballotlemfelz 26721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  e.  ZZ )
6766zcnd 10736 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  e.  CC )
6857, 59, 67subadd2d 9726 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( 0  -  1 )  =  ( ( F `  C ) `  (
( I `  C
)  -  1 ) )  <->  ( ( ( F `  C ) `
 ( ( I `
 C )  - 
1 ) )  +  1 )  =  0 ) )
6956, 68mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( 0  -  1 )  =  ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
7050, 69syl5eq 2477 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  -u 1  =  ( ( F `  C
) `  ( (
I `  C )  -  1 ) ) )
71 neg1lt0 10416 . . . . 5  |-  -u 1  <  0
7270, 71syl6eqbrr 4318 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  ( I `  C
)  e.  C )  ->  ( ( F `
 C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  <  0
)
7372adantlr 707 . . 3  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  ( ( F `  C ) `  ( ( I `  C )  -  1 ) )  <  0
)
741, 2, 3, 4, 5, 7, 21, 49, 73ballotlemfcc 26724 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  E. k  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
751, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10ballotlemimin 26736 . . 3  |-  ( C  e.  ( O  \  E )  ->  -.  E. k  e.  ( 1 ... ( ( I `
 C )  - 
1 ) ) ( ( F `  C
) `  k )  =  0 )
7675ad2antrr 718 . 2  |-  ( ( ( C  e.  ( O  \  E )  /\  1  e.  C
)  /\  ( I `  C )  e.  C
)  ->  -.  E. k  e.  ( 1 ... (
( I `  C
)  -  1 ) ) ( ( F `
 C ) `  k )  =  0 )
7774, 76pm2.65da 571 1  |-  ( ( C  e.  ( O 
\  E )  /\  1  e.  C )  ->  -.  ( I `  C )  e.  C
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    \ cdif 3313    i^i cin 3315   ~Pcpw 3848   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   `'ccnv 4826   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   supcsup 7678   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583   -ucneg 9584    / cdiv 9981   NNcn 10310   2c2 10359   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849   ...cfz 11424   #chash 12087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-fz 11425  df-hash 12088
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