Theorem baerlem5blem2 35660

Description: Lemma for baerlem5b 35663. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	|- V = ( Base ` W )
baerlem3.m	|- .- = ( -g ` W )
baerlem3.o	|- .0. = ( 0g ` W )
baerlem3.s	|- .(+) = ( LSSum ` W )
baerlem3.n	|- N = ( LSpan ` W )
baerlem3.w	|- ( ph -> W e. LVec )
baerlem3.x	|- ( ph -> X e. V )
baerlem3.c	|- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
baerlem3.d	|- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
baerlem3.y	|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
baerlem3.z	|- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
baerlem3.p	|- .+ = ( +g ` W )
baerlem3.t	|- .x. = ( .s ` W )
baerlem3.r	|- R = (Scalar ` W )
baerlem3.b	|- B = ( Base ` R )
baerlem3.a	|- .+^ = ( +g ` R )
baerlem3.l	|- L = ( -g ` R )
baerlem3.q	|- Q = ( 0g ` R )
baerlem3.i	|- I = ( invg ` R )

Assertion

Ref	Expression
baerlem5blem2	|- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) = ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5blem2

Dummy variables a b d e j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. LVec )
2		lveclmod 17290	. . . . 5 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
3	1, 2	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
4		baerlem3.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
5	4	eldifad 3435	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
6		baerlem3.z	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
7	6	eldifad 3435	. . . 4 |- ( ph -> Z e. V )
8		baerlem3.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
9		baerlem3.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` W )
10		baerlem3.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
11		baerlem3.s	. . . . 5 |- .(+) = ( LSSum ` W )
12	8, 9, 10, 11	lspsntri 17281	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V /\ Z e. V ) -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) )
13	3, 5, 7, 12	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) )
14		baerlem3.m	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` W )
15		baerlem3.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. V )
16	8, 9	lmodvacl 17065	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V /\ Z e. V ) -> ( Y .+ Z ) e. V )
17	3, 5, 7, 16	syl3anc 1219	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) e. V )
18	8, 14	lmodvsubcl 17093	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ ( Y .+ Z ) e. V ) -> ( X .- ( Y .+ Z ) ) e. V )
19	3, 15, 17, 18	syl3anc 1219	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X .- ( Y .+ Z ) ) e. V )
20	8, 14, 10, 3, 19, 15	lspsnsub 17191	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { ( ( X .- ( Y .+ Z ) ) .- X ) } ) = ( N ` { ( X .- ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) } ) )
21		lmodabl 17095	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
22	3, 21	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. Abel )
23	8, 14, 22, 15, 17	ablnncan 16411	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X .- ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) = ( Y .+ Z ) )
24	23	sneqd 3984	. . . . . 6 |- ( ph -> { ( X .- ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) } = { ( Y .+ Z ) } )
25	24	fveq2d 5790	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { ( X .- ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) } ) = ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
26	20, 25	eqtrd 2491	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { ( ( X .- ( Y .+ Z ) ) .- X ) } ) = ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
27	8, 14, 11, 10	lspsntrim 17282	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .- ( Y .+ Z ) ) e. V /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( X .- ( Y .+ Z ) ) .- X ) } ) C_ ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) )
28	3, 19, 15, 27	syl3anc 1219	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { ( ( X .- ( Y .+ Z ) ) .- X ) } ) C_ ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) )
29	26, 28	eqsstr3d 3486	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) )
30	13, 29	ssind 3669	. 2 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) )
31		elin 3634	. . . . 5 |- ( j e. ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) <-> ( j e. ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) /\ j e. ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) )
32		baerlem3.r	. . . . . . 7 |- R = (Scalar ` W )
33		baerlem3.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
34		baerlem3.t	. . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` W )
35	8, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 5, 7	lsmspsn 17268	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) <-> E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) )
36	8, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 19, 15	lsmspsn 17268	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) <-> E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) )
37	35, 36	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( j e. ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) /\ j e. ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) <-> ( E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) /\ E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) ) )
38	31, 37	syl5bb 257	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) <-> ( E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) /\ E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) ) )
39		baerlem3.o	. . . . . . . . . . 11 |- .0. = ( 0g ` W )
40		simp11 1018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> ph )
41	40, 1	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> W e. LVec )
42	40, 15	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> X e. V )
43		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
44	40, 43	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
45		baerlem3.d	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
46	40, 45	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
47	40, 4	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
48	40, 6	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
49		baerlem3.a	. . . . . . . . . . 11 |- .+^ = ( +g ` R )
50		baerlem3.l	. . . . . . . . . . 11 |- L = ( -g ` R )
51		baerlem3.q	. . . . . . . . . . 11 |- Q = ( 0g ` R )
52		baerlem3.i	. . . . . . . . . . 11 |- I = ( invg ` R )
53		simp12l 1101	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> a e. B )
54		simp12r 1102	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> b e. B )
55		simp2l 1014	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> d e. B )
56		simp2r 1015	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> e e. B )
57		simp13 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) )
58		simp3 990	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) )
59	8, 14, 39, 11, 10, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 9, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58	baerlem5blem1 35657	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> j = ( ( I ` d ) .x. ( Y .+ Z ) ) )
60	40, 3	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> W e. LMod )
61	32	lmodrng 17059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. LMod -> R e. Ring )
62		rnggrp 16753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
63	40, 3, 61, 62	4syl 21	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> R e. Grp )
64	33, 52	grpinvcl 15682	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Grp /\ d e. B ) -> ( I ` d ) e. B )
65	63, 55, 64	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> ( I ` d ) e. B )
66	40, 17	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> ( Y .+ Z ) e. V )
67	8, 34, 32, 33, 10, 60, 65, 66	lspsneli 17185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> ( ( I ` d ) .x. ( Y .+ Z ) ) e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
68	59, 67	eqeltrd 2537	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
69	68	3exp 1187	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) -> ( ( d e. B /\ e e. B ) -> ( j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) ) )
70	69	rexlimdvv 2940	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) -> ( E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) )
71	70	3exp 1187	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( a e. B /\ b e. B ) -> ( j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) -> ( E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) ) ) )
72	71	rexlimdvv 2940	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) -> ( E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) ) )
73	72	impd 431	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) /\ E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) )
74	38, 73	sylbid 215	. . 3 |- ( ph -> ( j e. ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) )
75	74	ssrdv 3457	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) C_ ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
76	30, 75	eqssd 3468	1 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) = ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2642   E.wrex 2794   \ cdif 3420   i^i cin 3422   C_ wss 3423   {csn 3972   {cpr 3974   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   Basecbs 14273   +g cplusg 14337  Scalarcsca 14340   .scvsca 14341   0gc0g 14477   Grpcgrp 15509   invgcminusg 15510   -gcsg 15512   LSSumclsm 16234   Abelcabel 16379   Ringcrg 16748   LModclmod 17051   LSpanclspn 17155   LVecclvec 17286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-tpos 6842  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-er 7198  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-ress 14280  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-0g 14479  df-mnd 15514  df-submnd 15564  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-sbg 15646  df-subg 15777  df-cntz 15934  df-lsm 16236  df-cmn 16380  df-abl 16381  df-mgp 16694  df-ur 16706  df-rng 16750  df-oppr 16818  df-dvdsr 16836  df-unit 16837  df-invr 16867  df-drng 16937  df-lmod 17053  df-lss 17117  df-lsp 17156  df-lvec 17287

This theorem is referenced by:  baerlem5b  35663