Theorem baerlem5blem2 37855

Description: Lemma for baerlem5b 37858. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	|- V = ( Base ` W )
baerlem3.m	|- .- = ( -g ` W )
baerlem3.o	|- .0. = ( 0g ` W )
baerlem3.s	|- .(+) = ( LSSum ` W )
baerlem3.n	|- N = ( LSpan ` W )
baerlem3.w	|- ( ph -> W e. LVec )
baerlem3.x	|- ( ph -> X e. V )
baerlem3.c	|- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
baerlem3.d	|- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
baerlem3.y	|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
baerlem3.z	|- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
baerlem3.p	|- .+ = ( +g ` W )
baerlem3.t	|- .x. = ( .s ` W )
baerlem3.r	|- R = (Scalar ` W )
baerlem3.b	|- B = ( Base ` R )
baerlem3.a	|- .+^ = ( +g ` R )
baerlem3.l	|- L = ( -g ` R )
baerlem3.q	|- Q = ( 0g ` R )
baerlem3.i	|- I = ( invg ` R )

Assertion

Ref	Expression
baerlem5blem2	|- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) = ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5blem2

Dummy variables a b d e j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. LVec )
2		lveclmod 17950	. . . . 5 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
3	1, 2	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
4		baerlem3.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
5	4	eldifad 3473	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
6		baerlem3.z	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
7	6	eldifad 3473	. . . 4 |- ( ph -> Z e. V )
8		baerlem3.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
9		baerlem3.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` W )
10		baerlem3.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
11		baerlem3.s	. . . . 5 |- .(+) = ( LSSum ` W )
12	8, 9, 10, 11	lspsntri 17941	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V /\ Z e. V ) -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) )
13	3, 5, 7, 12	syl3anc 1226	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) )
14		baerlem3.m	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` W )
15		baerlem3.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. V )
16	8, 9	lmodvacl 17724	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V /\ Z e. V ) -> ( Y .+ Z ) e. V )
17	3, 5, 7, 16	syl3anc 1226	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) e. V )
18	8, 14	lmodvsubcl 17753	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ ( Y .+ Z ) e. V ) -> ( X .- ( Y .+ Z ) ) e. V )
19	3, 15, 17, 18	syl3anc 1226	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X .- ( Y .+ Z ) ) e. V )
20	8, 14, 10, 3, 19, 15	lspsnsub 17851	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { ( ( X .- ( Y .+ Z ) ) .- X ) } ) = ( N ` { ( X .- ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) } ) )
21		lmodabl 17755	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
22	3, 21	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. Abel )
23	8, 14, 22, 15, 17	ablnncan 17033	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X .- ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) = ( Y .+ Z ) )
24	23	sneqd 4028	. . . . . 6 |- ( ph -> { ( X .- ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) } = { ( Y .+ Z ) } )
25	24	fveq2d 5852	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { ( X .- ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) } ) = ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
26	20, 25	eqtrd 2495	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { ( ( X .- ( Y .+ Z ) ) .- X ) } ) = ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
27	8, 14, 11, 10	lspsntrim 17942	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .- ( Y .+ Z ) ) e. V /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( X .- ( Y .+ Z ) ) .- X ) } ) C_ ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) )
28	3, 19, 15, 27	syl3anc 1226	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { ( ( X .- ( Y .+ Z ) ) .- X ) } ) C_ ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) )
29	26, 28	eqsstr3d 3524	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) )
30	13, 29	ssind 3708	. 2 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) )
31		elin 3673	. . . . 5 |- ( j e. ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) <-> ( j e. ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) /\ j e. ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) )
32		baerlem3.r	. . . . . . 7 |- R = (Scalar ` W )
33		baerlem3.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
34		baerlem3.t	. . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` W )
35	8, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 5, 7	lsmspsn 17928	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) <-> E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) )
36	8, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 19, 15	lsmspsn 17928	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) <-> E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) )
37	35, 36	anbi12d 708	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( j e. ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) /\ j e. ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) <-> ( E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) /\ E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) ) )
38	31, 37	syl5bb 257	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) <-> ( E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) /\ E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) ) )
39		baerlem3.o	. . . . . . . . . . 11 |- .0. = ( 0g ` W )
40		simp11 1024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> ph )
41	40, 1	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> W e. LVec )
42	40, 15	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> X e. V )
43		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
44	40, 43	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
45		baerlem3.d	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
46	40, 45	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
47	40, 4	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
48	40, 6	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
49		baerlem3.a	. . . . . . . . . . 11 |- .+^ = ( +g ` R )
50		baerlem3.l	. . . . . . . . . . 11 |- L = ( -g ` R )
51		baerlem3.q	. . . . . . . . . . 11 |- Q = ( 0g ` R )
52		baerlem3.i	. . . . . . . . . . 11 |- I = ( invg ` R )
53		simp12l 1107	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> a e. B )
54		simp12r 1108	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> b e. B )
55		simp2l 1020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> d e. B )
56		simp2r 1021	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> e e. B )
57		simp13 1026	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) )
58		simp3 996	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) )
59	8, 14, 39, 11, 10, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 9, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58	baerlem5blem1 37852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> j = ( ( I ` d ) .x. ( Y .+ Z ) ) )
60	40, 3	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> W e. LMod )
61	32	lmodring 17718	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. LMod -> R e. Ring )
62		ringgrp 17401	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
63	40, 3, 61, 62	4syl 21	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> R e. Grp )
64	33, 52	grpinvcl 16297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Grp /\ d e. B ) -> ( I ` d ) e. B )
65	63, 55, 64	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> ( I ` d ) e. B )
66	40, 17	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> ( Y .+ Z ) e. V )
67	8, 34, 32, 33, 10, 60, 65, 66	lspsneli 17845	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> ( ( I ` d ) .x. ( Y .+ Z ) ) e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
68	59, 67	eqeltrd 2542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
69	68	3exp 1193	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) -> ( ( d e. B /\ e e. B ) -> ( j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) ) )
70	69	rexlimdvv 2952	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) -> ( E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) )
71	70	3exp 1193	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( a e. B /\ b e. B ) -> ( j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) -> ( E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) ) ) )
72	71	rexlimdvv 2952	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) -> ( E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) ) )
73	72	impd 429	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) /\ E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) )
74	38, 73	sylbid 215	. . 3 |- ( ph -> ( j e. ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) )
75	74	ssrdv 3495	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) C_ ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
76	30, 75	eqssd 3506	1 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) = ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   E.wrex 2805   \ cdif 3458   i^i cin 3460   C_ wss 3461   {csn 4016   {cpr 4018   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14719   +g cplusg 14787  Scalarcsca 14790   .scvsca 14791   0gc0g 14932   Grpcgrp 16255   invgcminusg 16256   -gcsg 16257   LSSumclsm 16856   Abelcabl 17001   Ringcrg 17396   LModclmod 17710   LSpanclspn 17815   LVecclvec 17946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-0g 14934  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-subg 16400  df-cntz 16557  df-lsm 16858  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-oppr 17470  df-dvdsr 17488  df-unit 17489  df-invr 17519  df-drng 17596  df-lmod 17712  df-lss 17777  df-lsp 17816  df-lvec 17947

This theorem is referenced by:  baerlem5b  37858