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Theorem baerlem5blem2 35660
Description: Lemma for baerlem5b 35663. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( invg `  R )
Assertion
Ref Expression
baerlem5blem2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5blem2
Dummy variables  a 
b  d  e  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 17290 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 baerlem3.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
54eldifad 3435 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
6 baerlem3.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
76eldifad 3435 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
8 baerlem3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 baerlem3.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  W )
10 baerlem3.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
11 baerlem3.s . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
128, 9, 10, 11lspsntri 17281 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } )  C_  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) ) )
133, 5, 7, 12syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
14 baerlem3.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  W )
15 baerlem3.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
168, 9lmodvacl 17065 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
173, 5, 7, 16syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
188, 14lmodvsubcl 17093 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  ( Y  .+  Z )  e.  V )  ->  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
193, 15, 17, 18syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
208, 14, 10, 3, 19, 15lspsnsub 17191 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  .-  X ) } )  =  ( N `  { ( X  .-  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) ) } ) )
21 lmodabl 17095 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
223, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
238, 14, 22, 15, 17ablnncan 16411 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( Y  .+  Z ) )
2423sneqd 3984 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) ) }  =  {
( Y  .+  Z
) } )
2524fveq2d 5790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) } )  =  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )
2620, 25eqtrd 2491 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  .-  X ) } )  =  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )
278, 14, 11, 10lspsntrim 17282 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { (
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) 
.-  X ) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
283, 19, 15, 27syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  .-  X ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )
2926, 28eqsstr3d 3486 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
3013, 29ssind 3669 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  C_  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
31 elin 3634 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) )  <->  ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
32 baerlem3.r . . . . . . 7  |-  R  =  (Scalar `  W )
33 baerlem3.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
34 baerlem3.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  W )
358, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 5, 7lsmspsn 17268 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  <->  E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
368, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 19, 15lsmspsn 17268 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) )  <->  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) )  .+  ( e 
.x.  X ) ) ) )
3735, 36anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  <->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) ) ) )
3831, 37syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  <-> 
( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) ) ) )
39 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
40 simp11 1018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  ph )
4140, 1syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  W  e.  LVec )
4240, 15syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  X  e.  V )
43 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
4440, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
45 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4640, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4740, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4840, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
49 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
50 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( -g `  R
)
51 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
52 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( invg `  R )
53 simp12l 1101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  a  e.  B )
54 simp12r 1102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  b  e.  B )
55 simp2l 1014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  d  e.  B )
56 simp2r 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  e  e.  B )
57 simp13 1020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
58 simp3 990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )
598, 14, 39, 11, 10, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 9, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58baerlem5blem1 35657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  j  =  ( ( I `
 d )  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )
6040, 3syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  W  e.  LMod )
6132lmodrng 17059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
62 rnggrp 16753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
6340, 3, 61, 624syl 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  R  e.  Grp )
6433, 52grpinvcl 15682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  d  e.  B )  ->  ( I `  d
)  e.  B )
6563, 55, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  (
I `  d )  e.  B )
6640, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
678, 34, 32, 33, 10, 60, 65, 66lspsneli 17185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  (
( I `  d
)  .x.  ( Y  .+  Z ) )  e.  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } ) )
6859, 67eqeltrd 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  .+  (
e  .x.  X )
) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } ) )
69683exp 1187 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( Y 
.+  Z ) } ) ) ) )
7069rexlimdvv 2940 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( Y 
.+  Z ) } ) ) )
71703exp 1187 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( Y 
.+  Z ) } ) ) ) ) )
7271rexlimdvv 2940 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( Y 
.+  Z ) } ) ) ) )
7372impd 431 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) )  .+  ( e 
.x.  X ) ) )  ->  j  e.  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) ) )
7438, 73sylbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  ->  j  e.  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) ) )
7574ssrdv 3457 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  C_  ( N `  { ( Y  .+  Z ) } ) )
7630, 75eqssd 3468 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2642   E.wrex 2794    \ cdif 3420    i^i cin 3422    C_ wss 3423   {csn 3972   {cpr 3974   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   Basecbs 14273   +g cplusg 14337  Scalarcsca 14340   .scvsca 14341   0gc0g 14477   Grpcgrp 15509   invgcminusg 15510   -gcsg 15512   LSSumclsm 16234   Abelcabel 16379   Ringcrg 16748   LModclmod 17051   LSpanclspn 17155   LVecclvec 17286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-tpos 6842  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-er 7198  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-base 14278  df-sets 14279  df-ress 14280  df-plusg 14350  df-mulr 14351  df-0g 14479  df-mnd 15514  df-submnd 15564  df-grp 15644  df-minusg 15645  df-sbg 15646  df-subg 15777  df-cntz 15934  df-lsm 16236  df-cmn 16380  df-abl 16381  df-mgp 16694  df-ur 16706  df-rng 16750  df-oppr 16818  df-dvdsr 16836  df-unit 16837  df-invr 16867  df-drng 16937  df-lmod 17053  df-lss 17117  df-lsp 17156  df-lvec 17287
This theorem is referenced by:  baerlem5b  35663
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