Theorem baerlem5blem2 35351

Description: Lemma for baerlem5b 35354. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	|- V = ( Base ` W )
baerlem3.m	|- .- = ( -g ` W )
baerlem3.o	|- .0. = ( 0g ` W )
baerlem3.s	|- .(+) = ( LSSum ` W )
baerlem3.n	|- N = ( LSpan ` W )
baerlem3.w	|- ( ph -> W e. LVec )
baerlem3.x	|- ( ph -> X e. V )
baerlem3.c	|- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
baerlem3.d	|- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
baerlem3.y	|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
baerlem3.z	|- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
baerlem3.p	|- .+ = ( +g ` W )
baerlem3.t	|- .x. = ( .s ` W )
baerlem3.r	|- R = (Scalar ` W )
baerlem3.b	|- B = ( Base ` R )
baerlem3.a	|- .+^ = ( +g ` R )
baerlem3.l	|- L = ( -g ` R )
baerlem3.q	|- Q = ( 0g ` R )
baerlem3.i	|- I = ( invg ` R )

Assertion

Ref	Expression
baerlem5blem2	|- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) = ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5blem2

Dummy variables a b d e j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. LVec )
2		lveclmod 18407	. . . . 5 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
4		baerlem3.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
5	4	eldifad 3402	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
6		baerlem3.z	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
7	6	eldifad 3402	. . . 4 |- ( ph -> Z e. V )
8		baerlem3.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
9		baerlem3.p	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` W )
10		baerlem3.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
11		baerlem3.s	. . . . 5 |- .(+) = ( LSSum ` W )
12	8, 9, 10, 11	lspsntri 18398	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V /\ Z e. V ) -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) )
13	3, 5, 7, 12	syl3anc 1292	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) )
14		baerlem3.m	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` W )
15		baerlem3.x	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. V )
16	8, 9	lmodvacl 18183	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V /\ Z e. V ) -> ( Y .+ Z ) e. V )
17	3, 5, 7, 16	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Y .+ Z ) e. V )
18	8, 14	lmodvsubcl 18211	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V /\ ( Y .+ Z ) e. V ) -> ( X .- ( Y .+ Z ) ) e. V )
19	3, 15, 17, 18	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X .- ( Y .+ Z ) ) e. V )
20	8, 14, 10, 3, 19, 15	lspsnsub 18308	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { ( ( X .- ( Y .+ Z ) ) .- X ) } ) = ( N ` { ( X .- ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) } ) )
21		lmodabl 18213	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
22	3, 21	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. Abel )
23	8, 14, 22, 15, 17	ablnncan 17541	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X .- ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) = ( Y .+ Z ) )
24	23	sneqd 3971	. . . . . 6 |- ( ph -> { ( X .- ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) } = { ( Y .+ Z ) } )
25	24	fveq2d 5883	. . . . 5 |- ( ph -> ( N ` { ( X .- ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) } ) = ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
26	20, 25	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { ( ( X .- ( Y .+ Z ) ) .- X ) } ) = ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
27	8, 14, 11, 10	lspsntrim 18399	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( X .- ( Y .+ Z ) ) e. V /\ X e. V ) -> ( N ` { ( ( X .- ( Y .+ Z ) ) .- X ) } ) C_ ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) )
28	3, 19, 15, 27	syl3anc 1292	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { ( ( X .- ( Y .+ Z ) ) .- X ) } ) C_ ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) )
29	26, 28	eqsstr3d 3453	. . 3 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) )
30	13, 29	ssind 3647	. 2 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) C_ ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) )
31		elin 3608	. . . . 5 |- ( j e. ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) <-> ( j e. ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) /\ j e. ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) )
32		baerlem3.r	. . . . . . 7 |- R = (Scalar ` W )
33		baerlem3.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
34		baerlem3.t	. . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` W )
35	8, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 5, 7	lsmspsn 18385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) <-> E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) )
36	8, 9, 32, 33, 34, 11, 10, 3, 19, 15	lsmspsn 18385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) <-> E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) )
37	35, 36	anbi12d 725	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( j e. ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) /\ j e. ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) <-> ( E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) /\ E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) ) )
38	31, 37	syl5bb 265	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) <-> ( E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) /\ E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) ) )
39		baerlem3.o	. . . . . . . . . . 11 |- .0. = ( 0g ` W )
40		simp11 1060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> ph )
41	40, 1	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> W e. LVec )
42	40, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> X e. V )
43		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
44	40, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
45		baerlem3.d	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
46	40, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
47	40, 4	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
48	40, 6	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
49		baerlem3.a	. . . . . . . . . . 11 |- .+^ = ( +g ` R )
50		baerlem3.l	. . . . . . . . . . 11 |- L = ( -g ` R )
51		baerlem3.q	. . . . . . . . . . 11 |- Q = ( 0g ` R )
52		baerlem3.i	. . . . . . . . . . 11 |- I = ( invg ` R )
53		simp12l 1143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> a e. B )
54		simp12r 1144	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> b e. B )
55		simp2l 1056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> d e. B )
56		simp2r 1057	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> e e. B )
57		simp13 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) )
58		simp3 1032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) )
59	8, 14, 39, 11, 10, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 9, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58	baerlem5blem1 35348	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> j = ( ( I ` d ) .x. ( Y .+ Z ) ) )
60	40, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> W e. LMod )
61	32	lmodring 18177	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. LMod -> R e. Ring )
62		ringgrp 17863	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
63	40, 3, 61, 62	4syl 19	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> R e. Grp )
64	33, 52	grpinvcl 16789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Grp /\ d e. B ) -> ( I ` d ) e. B )
65	63, 55, 64	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> ( I ` d ) e. B )
66	40, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> ( Y .+ Z ) e. V )
67	8, 34, 32, 33, 10, 60, 65, 66	lspsneli 18302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> ( ( I ` d ) .x. ( Y .+ Z ) ) e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
68	59, 67	eqeltrd 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) /\ j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
69	68	3exp 1230	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) -> ( ( d e. B /\ e e. B ) -> ( j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) ) )
70	69	rexlimdvv 2877	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. B /\ b e. B ) /\ j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) -> ( E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) )
71	70	3exp 1230	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( a e. B /\ b e. B ) -> ( j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) -> ( E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) ) ) )
72	71	rexlimdvv 2877	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) -> ( E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) ) )
73	72	impd 438	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E. a e. B E. b e. B j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) /\ E. d e. B E. e e. B j = ( ( d .x. ( X .- ( Y .+ Z ) ) ) .+ ( e .x. X ) ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) )
74	38, 73	sylbid 223	. . 3 |- ( ph -> ( j e. ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) -> j e. ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) ) )
75	74	ssrdv 3424	. 2 |- ( ph -> ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) C_ ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) )
76	30, 75	eqssd 3435	1 |- ( ph -> ( N ` { ( Y .+ Z ) } ) = ( ( ( N ` { Y } ) .(+) ( N ` { Z } ) ) i^i ( ( N ` { ( X .- ( Y .+ Z ) ) } ) .(+) ( N ` { X } ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   E.wrex 2757   \ cdif 3387   i^i cin 3389   C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   +g cplusg 15268  Scalarcsca 15271   .scvsca 15272   0gc0g 15416   Grpcgrp 16747   invgcminusg 16748   -gcsg 16749   LSSumclsm 17364   Abelcabl 17509   Ringcrg 17858   LModclmod 18169   LSpanclspn 18272   LVecclvec 18403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404

This theorem is referenced by:  baerlem5b  35354