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Theorem baerlem5blem1 35348
Description: Lemma for baerlem5b 35354. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( invg `  R )
baerlem5b.a1  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
baerlem5b.b1  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
baerlem5b.d1  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
baerlem5b.e1  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
baerlem5b.j1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
baerlem5b.j2  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) ) )
Assertion
Ref Expression
baerlem5blem1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( I `  d ) 
.x.  ( Y  .+  Z ) ) )

Proof of Theorem baerlem5blem1
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 baerlem3.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 baerlem3.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  W )
4 baerlem3.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 baerlem3.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .s `  W )
6 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
7 baerlem3.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
8 baerlem3.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
9 lveclmod 18407 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
11 baerlem3.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1211eldifad 3402 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
13 baerlem3.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413eldifad 3402 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
151, 6, 8, 10, 12, 14lspprcl 18279 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
16 baerlem3.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
17 baerlem3.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
18 baerlem5b.a1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
19 baerlem5b.b1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
201, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 18, 19, 12, 14lsppreli 18391 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
213lmodring 18177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
2210, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
23 ringgrp 17863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
25 baerlem5b.d1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
26 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( invg `  R )
274, 26grpinvcl 16789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  d  e.  B )  ->  ( I `  d
)  e.  B )
2824, 25, 27syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  d
)  e.  B )
291, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 28, 28, 12, 14lsppreli 18391 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
30 baerlem3.q . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
313, 4, 30lmod0cl 18195 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  Q  e.  B )
3210, 31syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
33 baerlem5b.e1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
34 baerlem3.a . . . . . . . . . 10  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
353, 4, 34lmodacl 18180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
d  .+^  e )  e.  B )
3610, 25, 33, 35syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( d  .+^  e )  e.  B )
371, 3, 5, 4lmodvscl 18186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
a  .x.  Y )  e.  V )
3810, 18, 12, 37syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  Y
)  e.  V )
391, 3, 5, 4lmodvscl 18186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  b  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
b  .x.  Z )  e.  V )
4010, 19, 14, 39syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( b  .x.  Z
)  e.  V )
411, 2lmodvacl 18183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  .x.  Y )  e.  V  /\  (
b  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  e.  V )
4210, 38, 40, 41syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  V )
43 baerlem3.o . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
441, 2, 43lmod0vlid 18199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  e.  V )  ->  (  .0.  .+  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4510, 42, 44syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
461, 3, 5, 30, 43lmod0vs 18202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( Q  .x.  X )  =  .0.  )
4710, 16, 46syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  .x.  X
)  =  .0.  )
4847oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  (  .0.  .+  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
49 baerlem5b.j1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
5045, 48, 493eqtr4d 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  j )
51 baerlem3.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  .-  =  ( -g `  W )
521, 2lmodvacl 18183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
5310, 12, 14, 52syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
541, 5, 3, 4, 51, 10, 25, 16, 53lmodsubdi 18223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .-  ( d  .x.  ( Y  .+  Z ) ) ) )
551, 3, 5, 4lmodvscl 18186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
d  .x.  X )  e.  V )
5610, 25, 16, 55syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  X
)  e.  V )
571, 2, 51, 5, 3, 4, 26, 10, 25, 56, 53lmodsubvs 18222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  X )  .-  (
d  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( I `  d )  .x.  ( Y  .+  Z ) ) ) )
581, 2, 3, 5, 4lmodvsdi 18192 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( I `  d
)  e.  B  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( (
I `  d )  .x.  ( Y  .+  Z
) )  =  ( ( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )
5910, 28, 12, 14, 58syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( I `  d )  .x.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )
6059oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  X )  .+  (
( I `  d
)  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
6154, 57, 603eqtrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
6261oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) )  .+  ( e 
.x.  X ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )  .+  ( e  .x.  X
) ) )
63 baerlem5b.j2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) ) )
641, 2, 3, 5, 4, 34lmodvsdir 18193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  e.  B  /\  e  e.  B  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
d  .+^  e )  .x.  X )  =  ( ( d  .x.  X
)  .+  ( e  .x.  X ) ) )
6510, 25, 33, 16, 64syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  =  ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( e  .x.  X ) ) )
6665oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
67 lmodabl 18213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
6810, 67syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
691, 3, 5, 4lmodvscl 18186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  e  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
e  .x.  X )  e.  V )
7010, 33, 16, 69syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  X
)  e.  V )
711, 3, 5, 4lmodvscl 18186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
I `  d )  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
( I `  d
)  .x.  Y )  e.  V )
7210, 28, 12, 71syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( I `  d )  .x.  Y
)  e.  V )
731, 3, 5, 4lmodvscl 18186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
I `  d )  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
( I `  d
)  .x.  Z )  e.  V )
7410, 28, 14, 73syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( I `  d )  .x.  Z
)  e.  V )
751, 2lmodvacl 18183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( I `  d
)  .x.  Y )  e.  V  /\  (
( I `  d
)  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) )  e.  V )
7610, 72, 74, 75syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
)  e.  V )
771, 2, 68, 56, 70, 76abl32 17529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.x.  X )  .+  ( e  .x.  X
) )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )  .+  ( e  .x.  X
) ) )
7866, 77eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )  .+  ( e  .x.  X
) ) )
7962, 63, 783eqtr4d 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( ( d  .+^  e ) 
.x.  X )  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
8050, 79eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) ) )
811, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 20, 29, 32, 36, 80lvecindp 18439 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  =  ( d  .+^  e )  /\  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( ( I `  d
)  .x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) ) )
8281simpld 466 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  =  ( d 
.+^  e ) )
8382oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  .x.  X
)  =  ( ( d  .+^  e )  .x.  X ) )
8483, 47eqtr3d 2507 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  =  .0.  )
8584oveq1d 6323 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  (  .0.  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
861, 2, 43lmod0vlid 18199 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) )  e.  V )  ->  (  .0.  .+  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )  =  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) )
8710, 76, 86syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )
8885, 87eqtrd 2505 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )
8988, 79, 593eqtr4d 2515 1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( I `  d ) 
.x.  ( Y  .+  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    \ cdif 3387   {csn 3959   {cpr 3961   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   +g cplusg 15268  Scalarcsca 15271   .scvsca 15272   0gc0g 15416   Grpcgrp 16747   invgcminusg 16748   -gcsg 16749   LSSumclsm 17364   Abelcabl 17509   Ringcrg 17858   LModclmod 18169   LSubSpclss 18233   LSpanclspn 18272   LVecclvec 18403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404
This theorem is referenced by:  baerlem5blem2  35351
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