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Theorem baerlem5blem1 34990
Description: Lemma for baerlem5b 34996. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( invg `  R )
baerlem5b.a1  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
baerlem5b.b1  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
baerlem5b.d1  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
baerlem5b.e1  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
baerlem5b.j1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
baerlem5b.j2  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) ) )
Assertion
Ref Expression
baerlem5blem1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( I `  d ) 
.x.  ( Y  .+  Z ) ) )

Proof of Theorem baerlem5blem1
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 baerlem3.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 baerlem3.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  W )
4 baerlem3.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 baerlem3.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .s `  W )
6 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
7 baerlem3.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
8 baerlem3.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
9 lveclmod 17113 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
107, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
11 baerlem3.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1211eldifad 3332 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
13 baerlem3.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413eldifad 3332 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
151, 6, 8, 10, 12, 14lspprcl 16985 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
16 baerlem3.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
17 baerlem3.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
18 baerlem5b.a1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
19 baerlem5b.b1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
201, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 18, 19, 12, 14lsppreli 17097 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
213lmodrng 16884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
2210, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
23 rnggrp 16590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
25 baerlem5b.d1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
26 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( invg `  R )
274, 26grpinvcl 15567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  d  e.  B )  ->  ( I `  d
)  e.  B )
2824, 25, 27syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  d
)  e.  B )
291, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 28, 28, 12, 14lsppreli 17097 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
30 baerlem3.q . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
313, 4, 30lmod0cl 16902 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  Q  e.  B )
3210, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
33 baerlem5b.e1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
34 baerlem3.a . . . . . . . . . 10  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
353, 4, 34lmodacl 16887 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
d  .+^  e )  e.  B )
3610, 25, 33, 35syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( d  .+^  e )  e.  B )
371, 3, 5, 4lmodvscl 16893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
a  .x.  Y )  e.  V )
3810, 18, 12, 37syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  Y
)  e.  V )
391, 3, 5, 4lmodvscl 16893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  b  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
b  .x.  Z )  e.  V )
4010, 19, 14, 39syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( b  .x.  Z
)  e.  V )
411, 2lmodvacl 16890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  .x.  Y )  e.  V  /\  (
b  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  e.  V )
4210, 38, 40, 41syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  V )
43 baerlem3.o . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
441, 2, 43lmod0vlid 16906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  e.  V )  ->  (  .0.  .+  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4510, 42, 44syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
461, 3, 5, 30, 43lmod0vs 16909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( Q  .x.  X )  =  .0.  )
4710, 16, 46syl2anc 656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  .x.  X
)  =  .0.  )
4847oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  (  .0.  .+  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
49 baerlem5b.j1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
5045, 48, 493eqtr4d 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  j )
51 baerlem3.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  .-  =  ( -g `  W )
521, 2lmodvacl 16890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
5310, 12, 14, 52syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
541, 5, 3, 4, 51, 10, 25, 16, 53lmodsubdi 16930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .-  ( d  .x.  ( Y  .+  Z ) ) ) )
551, 3, 5, 4lmodvscl 16893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
d  .x.  X )  e.  V )
5610, 25, 16, 55syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  X
)  e.  V )
571, 2, 51, 5, 3, 4, 26, 10, 25, 56, 53lmodsubvs 16929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  X )  .-  (
d  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( I `  d )  .x.  ( Y  .+  Z ) ) ) )
581, 2, 3, 5, 4lmodvsdi 16899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( I `  d
)  e.  B  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( (
I `  d )  .x.  ( Y  .+  Z
) )  =  ( ( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )
5910, 28, 12, 14, 58syl13anc 1215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( I `  d )  .x.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )
6059oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  X )  .+  (
( I `  d
)  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
6154, 57, 603eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
6261oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) )  .+  ( e 
.x.  X ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )  .+  ( e  .x.  X
) ) )
63 baerlem5b.j2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) ) )
641, 2, 3, 5, 4, 34lmodvsdir 16900 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  e.  B  /\  e  e.  B  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
d  .+^  e )  .x.  X )  =  ( ( d  .x.  X
)  .+  ( e  .x.  X ) ) )
6510, 25, 33, 16, 64syl13anc 1215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  =  ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( e  .x.  X ) ) )
6665oveq1d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
67 lmodabl 16920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
6810, 67syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
691, 3, 5, 4lmodvscl 16893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  e  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
e  .x.  X )  e.  V )
7010, 33, 16, 69syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  X
)  e.  V )
711, 3, 5, 4lmodvscl 16893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
I `  d )  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
( I `  d
)  .x.  Y )  e.  V )
7210, 28, 12, 71syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( I `  d )  .x.  Y
)  e.  V )
731, 3, 5, 4lmodvscl 16893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
I `  d )  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
( I `  d
)  .x.  Z )  e.  V )
7410, 28, 14, 73syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( I `  d )  .x.  Z
)  e.  V )
751, 2lmodvacl 16890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( I `  d
)  .x.  Y )  e.  V  /\  (
( I `  d
)  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) )  e.  V )
7610, 72, 74, 75syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
)  e.  V )
771, 2, 68, 56, 70, 76abl32 16282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.x.  X )  .+  ( e  .x.  X
) )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )  .+  ( e  .x.  X
) ) )
7866, 77eqtrd 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )  .+  ( e  .x.  X
) ) )
7962, 63, 783eqtr4d 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( ( d  .+^  e ) 
.x.  X )  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
8050, 79eqtrd 2469 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) ) )
811, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 20, 29, 32, 36, 80lvecindp 17145 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  =  ( d  .+^  e )  /\  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( ( I `  d
)  .x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) ) )
8281simpld 456 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  =  ( d 
.+^  e ) )
8382oveq1d 6099 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  .x.  X
)  =  ( ( d  .+^  e )  .x.  X ) )
8483, 47eqtr3d 2471 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  =  .0.  )
8584oveq1d 6099 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  (  .0.  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
861, 2, 43lmod0vlid 16906 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) )  e.  V )  ->  (  .0.  .+  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )  =  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) )
8710, 76, 86syl2anc 656 . . 3  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )
8885, 87eqtrd 2469 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )
8988, 79, 593eqtr4d 2479 1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( I `  d ) 
.x.  ( Y  .+  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1757    =/= wne 2600    \ cdif 3317   {csn 3869   {cpr 3871   ` cfv 5410  (class class class)co 6084   Basecbs 14161   +g cplusg 14225  Scalarcsca 14228   .scvsca 14229   0gc0g 14365   Grpcgrp 15397   invgcminusg 15398   -gcsg 15400   LSSumclsm 16117   Abelcabel 16262   Ringcrg 16581   LModclmod 16876   LSubSpclss 16939   LSpanclspn 16978   LVecclvec 17109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2418  ax-rep 4395  ax-sep 4405  ax-nul 4413  ax-pow 4462  ax-pr 4523  ax-un 6365  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3281  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3630  df-if 3784  df-pw 3854  df-sn 3870  df-pr 3872  df-tp 3874  df-op 3876  df-uni 4084  df-int 4121  df-iun 4165  df-br 4285  df-opab 4343  df-mpt 4344  df-tr 4378  df-eprel 4623  df-id 4627  df-po 4632  df-so 4633  df-fr 4670  df-we 4672  df-ord 4713  df-on 4714  df-lim 4715  df-suc 4716  df-xp 4837  df-rel 4838  df-cnv 4839  df-co 4840  df-dm 4841  df-rn 4842  df-res 4843  df-ima 4844  df-iota 5373  df-fun 5412  df-fn 5413  df-f 5414  df-f1 5415  df-fo 5416  df-f1o 5417  df-fv 5418  df-riota 6043  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-om 6470  df-1st 6570  df-2nd 6571  df-tpos 6738  df-recs 6822  df-rdg 6856  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-ndx 14164  df-slot 14165  df-base 14166  df-sets 14167  df-ress 14168  df-plusg 14238  df-mulr 14239  df-0g 14367  df-mnd 15402  df-submnd 15452  df-grp 15529  df-minusg 15530  df-sbg 15531  df-subg 15662  df-cntz 15819  df-lsm 16119  df-cmn 16263  df-abl 16264  df-mgp 16570  df-rng 16584  df-ur 16586  df-oppr 16653  df-dvdsr 16671  df-unit 16672  df-invr 16702  df-drng 16762  df-lmod 16878  df-lss 16940  df-lsp 16979  df-lvec 17110
This theorem is referenced by:  baerlem5blem2  34993
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