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Theorem baerlem5blem1 37138
Description: Lemma for baerlem5b 37144. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( invg `  R )
baerlem5b.a1  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
baerlem5b.b1  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
baerlem5b.d1  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
baerlem5b.e1  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
baerlem5b.j1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
baerlem5b.j2  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) ) )
Assertion
Ref Expression
baerlem5blem1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( I `  d ) 
.x.  ( Y  .+  Z ) ) )

Proof of Theorem baerlem5blem1
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 baerlem3.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 baerlem3.r . . . . . . . 8  |-  R  =  (Scalar `  W )
4 baerlem3.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
5 baerlem3.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .s `  W )
6 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
7 baerlem3.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
8 baerlem3.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( LSpan `  W )
9 lveclmod 17620 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
107, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
11 baerlem3.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1211eldifad 3470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
13 baerlem3.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413eldifad 3470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
151, 6, 8, 10, 12, 14lspprcl 17492 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
16 baerlem3.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
17 baerlem3.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
18 baerlem5b.a1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
19 baerlem5b.b1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
201, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 18, 19, 12, 14lsppreli 17604 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
213lmodring 17388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
2210, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
23 ringgrp 17071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
25 baerlem5b.d1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
26 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( invg `  R )
274, 26grpinvcl 15964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  d  e.  B )  ->  ( I `  d
)  e.  B )
2824, 25, 27syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  d
)  e.  B )
291, 2, 5, 3, 4, 8, 10, 28, 28, 12, 14lsppreli 17604 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
30 baerlem3.q . . . . . . . . . 10  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
313, 4, 30lmod0cl 17406 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  Q  e.  B )
3210, 31syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
33 baerlem5b.e1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
34 baerlem3.a . . . . . . . . . 10  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
353, 4, 34lmodacl 17391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
d  .+^  e )  e.  B )
3610, 25, 33, 35syl3anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( d  .+^  e )  e.  B )
371, 3, 5, 4lmodvscl 17397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
a  .x.  Y )  e.  V )
3810, 18, 12, 37syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  Y
)  e.  V )
391, 3, 5, 4lmodvscl 17397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  b  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
b  .x.  Z )  e.  V )
4010, 19, 14, 39syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( b  .x.  Z
)  e.  V )
411, 2lmodvacl 17394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  .x.  Y )  e.  V  /\  (
b  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  e.  V )
4210, 38, 40, 41syl3anc 1227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  V )
43 baerlem3.o . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
441, 2, 43lmod0vlid 17410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  e.  V )  ->  (  .0.  .+  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) )
4510, 42, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
461, 3, 5, 30, 43lmod0vs 17413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( Q  .x.  X )  =  .0.  )
4710, 16, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Q  .x.  X
)  =  .0.  )
4847oveq1d 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  (  .0.  .+  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
49 baerlem5b.j1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
5045, 48, 493eqtr4d 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  j )
51 baerlem3.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  .-  =  ( -g `  W )
521, 2lmodvacl 17394 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
5310, 12, 14, 52syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
541, 5, 3, 4, 51, 10, 25, 16, 53lmodsubdi 17435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .-  ( d  .x.  ( Y  .+  Z ) ) ) )
551, 3, 5, 4lmodvscl 17397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
d  .x.  X )  e.  V )
5610, 25, 16, 55syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  X
)  e.  V )
571, 2, 51, 5, 3, 4, 26, 10, 25, 56, 53lmodsubvs 17434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  X )  .-  (
d  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( I `  d )  .x.  ( Y  .+  Z ) ) ) )
581, 2, 3, 5, 4lmodvsdi 17403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( I `  d
)  e.  B  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( (
I `  d )  .x.  ( Y  .+  Z
) )  =  ( ( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )
5910, 28, 12, 14, 58syl13anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( I `  d )  .x.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )
6059oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  X )  .+  (
( I `  d
)  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
6154, 57, 603eqtrd 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
6261oveq1d 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) )  .+  ( e 
.x.  X ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )  .+  ( e  .x.  X
) ) )
63 baerlem5b.j2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) ) 
.+  ( e  .x.  X ) ) )
641, 2, 3, 5, 4, 34lmodvsdir 17404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  e.  B  /\  e  e.  B  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
d  .+^  e )  .x.  X )  =  ( ( d  .x.  X
)  .+  ( e  .x.  X ) ) )
6510, 25, 33, 16, 64syl13anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  =  ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( e  .x.  X ) ) )
6665oveq1d 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
67 lmodabl 17425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
6810, 67syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
691, 3, 5, 4lmodvscl 17397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  e  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
e  .x.  X )  e.  V )
7010, 33, 16, 69syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  X
)  e.  V )
711, 3, 5, 4lmodvscl 17397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
I `  d )  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
( I `  d
)  .x.  Y )  e.  V )
7210, 28, 12, 71syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( I `  d )  .x.  Y
)  e.  V )
731, 3, 5, 4lmodvscl 17397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
I `  d )  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
( I `  d
)  .x.  Z )  e.  V )
7410, 28, 14, 73syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( I `  d )  .x.  Z
)  e.  V )
751, 2lmodvacl 17394 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( I `  d
)  .x.  Y )  e.  V  /\  (
( I `  d
)  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) )  e.  V )
7610, 72, 74, 75syl3anc 1227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
)  e.  V )
771, 2, 68, 56, 70, 76abl32 16688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.x.  X )  .+  ( e  .x.  X
) )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )  .+  ( e  .x.  X
) ) )
7866, 77eqtrd 2482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )  .+  ( e  .x.  X
) ) )
7962, 63, 783eqtr4d 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( ( d  .+^  e ) 
.x.  X )  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
8050, 79eqtrd 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) ) )
811, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 15, 16, 17, 20, 29, 32, 36, 80lvecindp 17652 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  =  ( d  .+^  e )  /\  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( ( I `  d
)  .x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) ) )
8281simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Q  =  ( d 
.+^  e ) )
8382oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q  .x.  X
)  =  ( ( d  .+^  e )  .x.  X ) )
8483, 47eqtr3d 2484 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  =  .0.  )
8584oveq1d 6292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  (  .0.  .+  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
861, 2, 43lmod0vlid 17410 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) )  e.  V )  ->  (  .0.  .+  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )  =  ( ( ( I `
 d )  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) )
8710, 76, 86syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )
8885, 87eqtrd 2482 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .+  (
( ( I `  d )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )
8988, 79, 593eqtr4d 2492 1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( I `  d ) 
.x.  ( Y  .+  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636    \ cdif 3455   {csn 4010   {cpr 4012   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   Basecbs 14504   +g cplusg 14569  Scalarcsca 14572   .scvsca 14573   0gc0g 14709   Grpcgrp 15922   invgcminusg 15923   -gcsg 15924   LSSumclsm 16523   Abelcabl 16668   Ringcrg 17066   LModclmod 17380   LSubSpclss 17446   LSpanclspn 17485   LVecclvec 17616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6953  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-sbg 15928  df-subg 16067  df-cntz 16224  df-lsm 16525  df-cmn 16669  df-abl 16670  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-oppr 17140  df-dvdsr 17158  df-unit 17159  df-invr 17189  df-drng 17266  df-lmod 17382  df-lss 17447  df-lsp 17486  df-lvec 17617
This theorem is referenced by:  baerlem5blem2  37141
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