Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baerlem5alem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem baerlem5alem2 35350
 Description: Lemma for baerlem5a 35353. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v
baerlem3.m
baerlem3.o
baerlem3.s
baerlem3.n
baerlem3.w
baerlem3.x
baerlem3.c
baerlem3.d
baerlem3.y
baerlem3.z
baerlem3.p
baerlem3.t
baerlem3.r Scalar
baerlem3.b
baerlem3.a
baerlem3.l
baerlem3.q
baerlem3.i
Assertion
Ref Expression
baerlem5alem2

Proof of Theorem baerlem5alem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . . . . . . 7
2 baerlem3.p . . . . . . 7
3 baerlem3.m . . . . . . 7
4 baerlem3.w . . . . . . . . 9
5 lveclmod 18407 . . . . . . . . 9
64, 5syl 17 . . . . . . . 8
7 lmodabl 18213 . . . . . . . 8
86, 7syl 17 . . . . . . 7
9 baerlem3.x . . . . . . 7
10 baerlem3.y . . . . . . . 8
1110eldifad 3402 . . . . . . 7
12 baerlem3.z . . . . . . . 8
1312eldifad 3402 . . . . . . 7
141, 2, 3, 8, 9, 11, 13ablsubsub4 17539 . . . . . 6
1514sneqd 3971 . . . . 5
1615fveq2d 5883 . . . 4
171, 3lmodvsubcl 18211 . . . . . 6
186, 9, 11, 17syl3anc 1292 . . . . 5
19 baerlem3.s . . . . . 6
20 baerlem3.n . . . . . 6
211, 3, 19, 20lspsntrim 18399 . . . . 5
226, 18, 13, 21syl3anc 1292 . . . 4
2316, 22eqsstr3d 3453 . . 3
241, 3, 8, 9, 13, 11ablsub32 17542 . . . . . . 7
2524, 14eqtrd 2505 . . . . . 6
2625sneqd 3971 . . . . 5
2726fveq2d 5883 . . . 4
281, 3lmodvsubcl 18211 . . . . . 6
296, 9, 13, 28syl3anc 1292 . . . . 5
301, 3, 19, 20lspsntrim 18399 . . . . 5
316, 29, 11, 30syl3anc 1292 . . . 4
3227, 31eqsstr3d 3453 . . 3
3323, 32ssind 3647 . 2
34 elin 3608 . . . . 5
35 baerlem3.r . . . . . . 7 Scalar
36 baerlem3.b . . . . . . 7
37 baerlem3.t . . . . . . 7
381, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 18, 13lsmspsn 18385 . . . . . 6
391, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 29, 11lsmspsn 18385 . . . . . 6
4038, 39anbi12d 725 . . . . 5
4134, 40syl5bb 265 . . . 4
42 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11
43 simp11 1060 . . . . . . . . . . . 12
4443, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11
4543, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11
46 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12
4743, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11
48 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12
4943, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11
5043, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11
5143, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11
52 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11
53 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11
54 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11
55 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11
56 simp12l 1143 . . . . . . . . . . 11
57 simp12r 1144 . . . . . . . . . . 11
58 simp2l 1056 . . . . . . . . . . 11
59 simp2r 1057 . . . . . . . . . . 11
60 simp13 1062 . . . . . . . . . . 11
61 simp3 1032 . . . . . . . . . . 11
621, 3, 42, 19, 20, 44, 45, 47, 49, 50, 51, 2, 37, 35, 36, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61baerlem5alem1 35347 . . . . . . . . . 10
6343, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11
641, 2lmodvacl 18183 . . . . . . . . . . . . . 14
656, 11, 13, 64syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
661, 3lmodvsubcl 18211 . . . . . . . . . . . . 13
676, 9, 65, 66syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12
6843, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11
691, 37, 35, 36, 20, 63, 56, 68lspsneli 18302 . . . . . . . . . 10
7062, 69eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9
71703exp 1230 . . . . . . . 8
7271rexlimdvv 2877 . . . . . . 7
73723exp 1230 . . . . . 6
7473rexlimdvv 2877 . . . . 5
7574impd 438 . . . 4
7641, 75sylbid 223 . . 3
7776ssrdv 3424 . 2
7833, 77eqssd 3435 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wrex 2757   cdif 3387   cin 3389   wss 3390  csn 3959  cpr 3961  cfv 5589  (class class class)co 6308  cbs 15199   cplusg 15268  Scalarcsca 15271  cvsca 15272  c0g 15416  cminusg 16748  csg 16749  clsm 17364  cabl 17509  clmod 18169  clspn 18272  clvec 18403 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404 This theorem is referenced by:  baerlem5a  35353
 Copyright terms: Public domain W3C validator