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Theorem baerlem5alem2 37854
Description: Lemma for baerlem5a 37857. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( invg `  R )
Assertion
Ref Expression
baerlem5alem2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5alem2
Dummy variables  a 
b  d  e  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 baerlem3.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 baerlem3.m . . . . . . 7  |-  .-  =  ( -g `  W )
4 baerlem3.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lveclmod 17950 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
64, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 lmodabl 17755 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
9 baerlem3.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 baerlem3.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1110eldifad 3473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
12 baerlem3.z . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1312eldifad 3473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
141, 2, 3, 8, 9, 11, 13ablsubsub4 17031 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .-  Z
)  =  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) )
1514sneqd 4028 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( ( X 
.-  Y )  .-  Z ) }  =  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )
1615fveq2d 5852 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Y )  .-  Z
) } )  =  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )
171, 3lmodvsubcl 17753 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
186, 9, 11, 17syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
19 baerlem3.s . . . . . 6  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
20 baerlem3.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
211, 3, 19, 20lspsntrim 17942 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .-  Y )  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { (
( X  .-  Y
)  .-  Z ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
226, 18, 13, 21syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Y )  .-  Z
) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) ) )
2316, 22eqsstr3d 3524 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
241, 3, 8, 9, 13, 11ablsub32 17034 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Z )  .-  Y
)  =  ( ( X  .-  Y ) 
.-  Z ) )
2524, 14eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Z )  .-  Y
)  =  ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) )
2625sneqd 4028 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( ( X 
.-  Z )  .-  Y ) }  =  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )
2726fveq2d 5852 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Z )  .-  Y
) } )  =  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )
281, 3lmodvsubcl 17753 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( X  .-  Z )  e.  V )
296, 9, 13, 28syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Z
)  e.  V )
301, 3, 19, 20lspsntrim 17942 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .-  Z )  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { (
( X  .-  Z
)  .-  Y ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  Z
) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )
316, 29, 11, 30syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Z )  .-  Y
) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) )
3227, 31eqsstr3d 3524 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  Z
) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )
3323, 32ssind 3708 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  C_  (
( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
34 elin 3673 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  Z
) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )  <-> 
( j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
35 baerlem3.r . . . . . . 7  |-  R  =  (Scalar `  W )
36 baerlem3.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
37 baerlem3.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  W )
381, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 18, 13lsmspsn 17928 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  <->  E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( b 
.x.  Z ) ) ) )
391, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 29, 11lsmspsn 17928 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  Z
) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) )  <->  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e 
.x.  Y ) ) ) )
4038, 39anbi12d 708 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  /\  j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  Z
) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )  <-> 
( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) ) ) )
4134, 40syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )  <->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) ) ) )
42 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
43 simp11 1024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  ph )
4443, 4syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  W  e.  LVec )
4543, 9syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  X  e.  V )
46 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
4743, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
48 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4943, 48syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
5043, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
5143, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
52 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
53 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( -g `  R
)
54 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
55 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( invg `  R )
56 simp12l 1107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
a  e.  B )
57 simp12r 1108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
b  e.  B )
58 simp2l 1020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
d  e.  B )
59 simp2r 1021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
e  e.  B )
60 simp13 1026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
j  =  ( ( a  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
61 simp3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) ) )
621, 3, 42, 19, 20, 44, 45, 47, 49, 50, 51, 2, 37, 35, 36, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61baerlem5alem1 37851 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
j  =  ( a 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) )
6343, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  ->  W  e.  LMod )
641, 2lmodvacl 17724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
656, 11, 13, 64syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
661, 3lmodvsubcl 17753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  ( Y  .+  Z )  e.  V )  ->  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
676, 9, 65, 66syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
6843, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
( X  .-  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
691, 37, 35, 36, 20, 63, 56, 68lspsneli 17845 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
( a  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  e.  ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )
7062, 69eqeltrd 2542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } ) )
71703exp 1193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } ) ) ) )
7271rexlimdvv 2952 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } ) ) )
73723exp 1193 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( a  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } ) ) ) ) )
7473rexlimdvv 2952 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) )  -> 
j  e.  ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .+  Z ) ) } ) ) ) )
7574impd 429 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( b 
.x.  Z ) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) ) )  ->  j  e.  ( N `  { ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) } ) ) )
7641, 75sylbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } ) ) )
7776ssrdv 3495 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  Z ) } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )  C_  ( N `  { ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) } ) )
7833, 77eqssd 3506 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   E.wrex 2805    \ cdif 3458    i^i cin 3460    C_ wss 3461   {csn 4016   {cpr 4018   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14719   +g cplusg 14787  Scalarcsca 14790   .scvsca 14791   0gc0g 14932   invgcminusg 16256   -gcsg 16257   LSSumclsm 16856   Abelcabl 17001   LModclmod 17710   LSpanclspn 17815   LVecclvec 17946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-0g 14934  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-subg 16400  df-cntz 16557  df-lsm 16858  df-cmn 17002  df-abl 17003  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-oppr 17470  df-dvdsr 17488  df-unit 17489  df-invr 17519  df-drng 17596  df-lmod 17712  df-lss 17777  df-lsp 17816  df-lvec 17947
This theorem is referenced by:  baerlem5a  37857
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