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Theorem baerlem5alem1 35351
Description: Lemma for baerlem5a 35357. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( invg `  R )
baerlem5a.a1  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
baerlem5a.b1  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
baerlem5a.d1  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
baerlem5a.e1  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
baerlem5a.j1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
baerlem5a.j2  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
baerlem5alem1  |-  ( ph  ->  j  =  ( a 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5alem1
StepHypRef Expression
1 baerlem5a.j1 . . 3  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
2 baerlem3.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 baerlem3.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  W )
4 baerlem3.r . . . . . 6  |-  R  =  (Scalar `  W )
5 baerlem3.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
6 baerlem3.m . . . . . 6  |-  .-  =  ( -g `  W )
7 baerlem3.w . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
8 lveclmod 17186 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
10 baerlem5a.a1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
11 baerlem3.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
12 baerlem3.y . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1312eldifad 3339 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
142, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 13lmodsubdi 17001 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( a 
.x.  X )  .-  ( a  .x.  Y
) ) )
15 baerlem3.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  W )
16 baerlem3.i . . . . . 6  |-  I  =  ( invg `  R )
172, 4, 3, 5lmodvscl 16964 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
a  .x.  X )  e.  V )
189, 10, 11, 17syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  X
)  e.  V )
192, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 10, 18, 13lmodsubvs 17000 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  X )  .-  (
a  .x.  Y )
)  =  ( ( a  .x.  X ) 
.+  ( ( I `
 a )  .x.  Y ) ) )
2014, 19eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( a 
.x.  X )  .+  ( ( I `  a )  .x.  Y
) ) )
2120oveq1d 6105 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( b 
.x.  Z ) )  =  ( ( ( a  .x.  X ) 
.+  ( ( I `
 a )  .x.  Y ) )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
224lmodrng 16955 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
23 rnggrp 16649 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
249, 22, 233syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
255, 16grpinvcl 15582 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  a  e.  B )  ->  ( I `  a
)  e.  B )
2624, 10, 25syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( I `  a
)  e.  B )
272, 4, 3, 5lmodvscl 16964 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
I `  a )  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
( I `  a
)  .x.  Y )  e.  V )
289, 26, 13, 27syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I `  a )  .x.  Y
)  e.  V )
29 baerlem5a.b1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
30 baerlem3.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
3130eldifad 3339 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
322, 4, 3, 5lmodvscl 16964 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  b  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
b  .x.  Z )  e.  V )
339, 29, 31, 32syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( b  .x.  Z
)  e.  V )
342, 15lmodass 16962 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( a  .x.  X
)  e.  V  /\  ( ( I `  a )  .x.  Y
)  e.  V  /\  ( b  .x.  Z
)  e.  V ) )  ->  ( (
( a  .x.  X
)  .+  ( (
I `  a )  .x.  Y ) )  .+  ( b  .x.  Z
) )  =  ( ( a  .x.  X
)  .+  ( (
( I `  a
)  .x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) ) )
359, 18, 28, 33, 34syl13anc 1220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( a 
.x.  X )  .+  ( ( I `  a )  .x.  Y
) )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( a  .x.  X ) 
.+  ( ( ( I `  a ) 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) ) )
361, 21, 353eqtrd 2478 . 2  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  X ) 
.+  ( ( ( I `  a ) 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) ) )
372, 15lmodvacl 16961 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .+  Z )  e.  V )
389, 13, 31, 37syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  Z
)  e.  V )
392, 4, 3, 5lmodvscl 16964 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  ( Y  .+  Z )  e.  V )  ->  (
a  .x.  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
409, 10, 38, 39syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )
41 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
422, 15, 41, 6grpsubval 15580 . . . 4  |-  ( ( ( a  .x.  X
)  e.  V  /\  ( a  .x.  ( Y  .+  Z ) )  e.  V )  -> 
( ( a  .x.  X )  .-  (
a  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  X )  .+  ( ( invg `  W ) `  (
a  .x.  ( Y  .+  Z ) ) ) ) )
4318, 40, 42syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  X )  .-  (
a  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  X )  .+  ( ( invg `  W ) `  (
a  .x.  ( Y  .+  Z ) ) ) ) )
442, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 38lmodsubdi 17001 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  X )  .-  ( a  .x.  ( Y  .+  Z ) ) ) )
452, 15, 4, 3, 5lmodvsdi 16970 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( I `  a
)  e.  B  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )
)  ->  ( (
I `  a )  .x.  ( Y  .+  Z
) )  =  ( ( ( I `  a )  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  a )  .x.  Z ) ) )
469, 26, 13, 31, 45syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( I `  a )  .x.  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( ( I `  a ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  a )  .x.  Z
) ) )
472, 4, 3, 41, 5, 16, 9, 38, 10lmodvsneg 16988 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  W ) `  (
a  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )  =  ( ( I `
 a )  .x.  ( Y  .+  Z ) ) )
48 baerlem3.o . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
49 baerlem3.n . . . . . . . . . 10  |-  N  =  ( LSpan `  W )
50 baerlem5a.e1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
51 baerlem5a.d1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
525, 16grpinvcl 15582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  d  e.  B )  ->  ( I `  d
)  e.  B )
5324, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I `  d
)  e.  B )
54 baerlem3.d . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
55 eqid 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
562, 55, 49, 9, 13, 31lspprcl 17058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
57 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
582, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 26, 29, 13, 31lsppreli 17170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 a )  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
592, 15, 3, 4, 5, 49, 9, 50, 53, 13, 31lsppreli 17170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( e  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
60 baerlem5a.j2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Z ) ) 
.+  ( e  .x.  Y ) ) )
612, 3, 4, 5, 6, 9, 51, 11, 31lmodsubdi 17001 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  ( X  .-  Z ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .-  ( d  .x.  Z
) ) )
622, 4, 3, 5lmodvscl 16964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
d  .x.  X )  e.  V )
639, 51, 11, 62syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  X
)  e.  V )
642, 15, 6, 3, 4, 5, 16, 9, 51, 63, 31lmodsubvs 17000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  X )  .-  (
d  .x.  Z )
)  =  ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( ( I `
 d )  .x.  Z ) ) )
6561, 64eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  ( X  .-  Z ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )
6665oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e 
.x.  Y ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( ( I `
 d )  .x.  Z ) )  .+  ( e  .x.  Y
) ) )
67 lmodabl 16991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
687, 8, 673syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
692, 4, 3, 5lmodvscl 16964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
I `  d )  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
( I `  d
)  .x.  Z )  e.  V )
709, 53, 31, 69syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( I `  d )  .x.  Z
)  e.  V )
712, 4, 3, 5lmodvscl 16964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  e  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
e  .x.  Y )  e.  V )
729, 50, 13, 71syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  Y
)  e.  V )
732, 15, 68, 63, 70, 72abl32 16297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) )  .+  (
e  .x.  Y )
)  =  ( ( ( d  .x.  X
)  .+  ( e  .x.  Y ) )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) )
742, 15lmodass 16962 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( d  .x.  X
)  e.  V  /\  ( e  .x.  Y
)  e.  V  /\  ( ( I `  d )  .x.  Z
)  e.  V ) )  ->  ( (
( d  .x.  X
)  .+  ( e  .x.  Y ) )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) )  =  ( ( d  .x.  X
)  .+  ( (
e  .x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) ) )
759, 63, 72, 70, 74syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.x.  X )  .+  ( e  .x.  Y
) )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
)  =  ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( ( e 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  d )  .x.  Z
) ) ) )
7666, 73, 753eqtrd 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  ( X  .-  Z ) )  .+  ( e 
.x.  Y ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( e  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
7760, 36, 763eqtr3d 2482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  X )  .+  (
( ( I `  a )  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .+  ( ( e  .x.  Y )  .+  (
( I `  d
)  .x.  Z )
) ) )
782, 15, 4, 5, 3, 55, 7, 56, 11, 57, 58, 59, 10, 51, 77lvecindp 17218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( a  =  d  /\  ( ( ( I `  a ) 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) )  =  ( ( e  .x.  Y
)  .+  ( (
I `  d )  .x.  Z ) ) ) )
7978simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 a )  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( e  .x.  Y ) 
.+  ( ( I `
 d )  .x.  Z ) ) )
802, 15, 4, 5, 3, 48, 49, 7, 12, 30, 26, 29, 50, 53, 54, 79lvecindp2 17219 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( I `  a )  =  e  /\  b  =  ( I `  d ) ) )
8180simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  b  =  ( I `
 d ) )
8278simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  a  =  d )
8382fveq2d 5694 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( I `  a
)  =  ( I `
 d ) )
8481, 83eqtr4d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  b  =  ( I `
 a ) )
8584oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( b  .x.  Z
)  =  ( ( I `  a ) 
.x.  Z ) )
8685oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 a )  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( ( I `  a
)  .x.  Y )  .+  ( ( I `  a )  .x.  Z
) ) )
8746, 47, 863eqtr4rd 2485 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 a )  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( invg `  W
) `  ( a  .x.  ( Y  .+  Z
) ) ) )
8887oveq2d 6106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  X )  .+  (
( ( I `  a )  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  X )  .+  ( ( invg `  W ) `  (
a  .x.  ( Y  .+  Z ) ) ) ) )
8943, 44, 883eqtr4rd 2485 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  X )  .+  (
( ( I `  a )  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( a  .x.  ( X  .-  ( Y 
.+  Z ) ) ) )
9036, 89eqtrd 2474 1  |-  ( ph  ->  j  =  ( a 
.x.  ( X  .-  ( Y  .+  Z ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605    \ cdif 3324   {csn 3876   {cpr 3878   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Basecbs 14173   +g cplusg 14237  Scalarcsca 14240   .scvsca 14241   0gc0g 14377   Grpcgrp 15409   invgcminusg 15410   -gcsg 15412   LSSumclsm 16132   Abelcabel 16277   Ringcrg 16644   LModclmod 16947   LSubSpclss 17012   LSpanclspn 17051   LVecclvec 17182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-0g 14379  df-mnd 15414  df-submnd 15464  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-subg 15677  df-cntz 15834  df-lsm 16134  df-cmn 16278  df-abl 16279  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-oppr 16714  df-dvdsr 16732  df-unit 16733  df-invr 16763  df-drng 16833  df-lmod 16949  df-lss 17013  df-lsp 17052  df-lvec 17183
This theorem is referenced by:  baerlem5alem2  35354
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