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Theorem baerlem5abmN 32201
Description: An equality that holds when  X,  Y,  Z are independent (non-colinear) vectors. Subtraction versions of first and second equations of part (5) in [Baer] p. 46, conjoined to share commonality in their proofs. TODO: Delete if not be needed. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem5a.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
baerlem5abmN  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )  /\  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5abmN
StepHypRef Expression
1 baerlem3.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21eldifad 3292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
3 baerlem3.z . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
43eldifad 3292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
5 baerlem3.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 baerlem5a.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  W )
7 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  W )  =  ( inv g `  W )
8 baerlem3.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  W )
95, 6, 7, 8grpsubval 14803 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( Y 
.+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) )
102, 4, 9syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( Y 
.+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) )
1110oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) )
1211sneqd 3787 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) }  =  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )
1312fveq2d 5691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( N `  { ( X  .-  ( Y 
.+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } ) )
14 baerlem3.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
15 baerlem3.s . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
16 baerlem3.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
17 baerlem3.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
18 baerlem3.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
19 lveclmod 16133 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
2017, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
215, 7lmodvnegcl 15940 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  (
( inv g `  W ) `  Z
)  e.  V )
2220, 4, 21syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  W ) `  Z
)  e.  V )
23 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
245, 23, 16, 20, 2, 4lspprcl 16009 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
25 baerlem3.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
265, 14, 23, 20, 24, 18, 25lssneln0 15983 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
275, 16, 17, 18, 2, 4, 25lspindpi 16159 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
2827simpld 446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
295, 14, 16, 17, 26, 2, 28lspsnne1 16144 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y } ) )
30 baerlem3.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
3130necomd 2650 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
325, 14, 16, 17, 3, 2, 31lspsnne1 16144 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { Y } ) )
335, 16, 17, 18, 4, 2, 32, 25lspexchn2 16158 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
34 lmodgrp 15912 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
3517, 19, 343syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
3635adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  W  e.  Grp )
374adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  Z  e.  V )
385, 7grpinvinv 14813 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Z  e.  V )  ->  ( ( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  Z )
3936, 37, 38syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  Z )
4020adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  W  e.  LMod )
415, 23, 16, 20, 2, 18lspprcl 16009 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  X }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
4241adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  ( N `  { Y ,  X } )  e.  ( LSubSp `  W )
)
43 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( inv g `  W ) `  Z
)  e.  ( N `
 { Y ,  X } ) )
4423, 7lssvnegcl 15987 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { Y ,  X } )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( ( inv g `  W ) `  Z
)  e.  ( N `
 { Y ,  X } ) )  -> 
( ( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
4540, 42, 43, 44syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( inv g `  W ) `  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
4639, 45eqeltrrd 2479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  Z  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )
4733, 46mtand 641 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )
485, 16, 17, 22, 18, 2, 29, 47lspexchn2 16158 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )
495, 7, 16lspsnneg 16037 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { (
( inv g `  W ) `  Z
) } )  =  ( N `  { Z } ) )
5020, 4, 49syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( inv g `  W ) `  Z
) } )  =  ( N `  { Z } ) )
5130, 50neeqtrrd 2591 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { (
( inv g `  W ) `  Z
) } ) )
525, 14, 7grpinvnzcl 14818 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( inv g `  W ) `
 Z )  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
5335, 3, 52syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  W ) `  Z
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
545, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5a 32197 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
5550oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  =  ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
565, 6, 8, 7, 35, 18, 4grpsubinv 14819 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  ( X  .+  Z ) )
5756sneqd 3787 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( ( inv g `  W ) `  Z
) ) }  =  { ( X  .+  Z ) } )
5857fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } )  =  ( N `  { ( X  .+  Z ) } ) )
5958oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( ( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) )  =  ( ( N `
 { ( X 
.+  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )
6055, 59ineq12d 3503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) )  =  ( ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
6113, 54, 603eqtrd 2440 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.+  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
6210sneqd 3787 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( Y  .-  Z ) }  =  { ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `  Z
) ) } )
6362fveq2d 5691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( N `  {
( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } ) )
645, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5b 32198 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Z
) ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { ( ( inv g `  W
) `  Z ) } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
6550oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `  Z
) } ) )  =  ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
6610eqcomd 2409 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( inv g `  W ) `  Z
) )  =  ( Y  .-  Z ) )
6766oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) )  =  ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) )
6867sneqd 3787 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) }  =  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )
6968fveq2d 5691 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )  =  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } ) )
7069oveq1d 6055 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W
) `  Z )
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { X } ) )  =  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
7165, 70ineq12d 3503 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { ( ( inv g `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( inv g `  W ) `
 Z ) ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) ) )
7263, 64, 713eqtrd 2440 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
7361, 72jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )  /\  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567    \ cdif 3277    i^i cin 3279   {csn 3774   {cpr 3775   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678   Grpcgrp 14640   inv gcminusg 14641   -gcsg 14643   LSSumclsm 15223   LModclmod 15905   LSubSpclss 15963   LSpanclspn 16002   LVecclvec 16129
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-subg 14896  df-cntz 15071  df-lsm 15225  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-drng 15792  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-lvec 16130
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