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Theorem baerlem5abmN 35363
Description: An equality that holds when  X,  Y,  Z are independent (non-colinear) vectors. Subtraction versions of first and second equations of part (5) in [Baer] p. 46, conjoined to share commonality in their proofs. TODO: Delete if not be needed. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem5a.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
baerlem5abmN  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )  /\  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5abmN
StepHypRef Expression
1 baerlem3.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21eldifad 3340 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
3 baerlem3.z . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
43eldifad 3340 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
5 baerlem3.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 baerlem5a.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  W )
7 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
8 baerlem3.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  W )
95, 6, 7, 8grpsubval 15581 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( Y 
.+  ( ( invg `  W ) `
 Z ) ) )
102, 4, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( Y 
.+  ( ( invg `  W ) `
 Z ) ) )
1110oveq2d 6107 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X  .-  ( Y  .+  ( ( invg `  W
) `  Z )
) ) )
1211sneqd 3889 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) }  =  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( invg `  W ) `
 Z ) ) ) } )
1312fveq2d 5695 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( N `  { ( X  .-  ( Y 
.+  ( ( invg `  W ) `
 Z ) ) ) } ) )
14 baerlem3.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
15 baerlem3.s . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
16 baerlem3.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
17 baerlem3.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
18 baerlem3.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
19 lveclmod 17187 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
2017, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
215, 7lmodvnegcl 16986 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  (
( invg `  W ) `  Z
)  e.  V )
2220, 4, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  W ) `  Z
)  e.  V )
23 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
245, 23, 16, 20, 2, 4lspprcl 17059 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
25 baerlem3.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
265, 14, 23, 20, 24, 18, 25lssneln0 17033 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
275, 16, 17, 18, 2, 4, 25lspindpi 17213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
2827simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
295, 14, 16, 17, 26, 2, 28lspsnne1 17198 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y } ) )
30 baerlem3.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
3130necomd 2695 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
325, 14, 16, 17, 3, 2, 31lspsnne1 17198 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { Y } ) )
335, 16, 17, 18, 4, 2, 32, 25lspexchn2 17212 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
34 lmodgrp 16955 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
3517, 19, 343syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
3635adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  W  e.  Grp )
374adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  Z  e.  V )
385, 7grpinvinv 15593 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Z  e.  V )  ->  ( ( invg `  W ) `  (
( invg `  W ) `  Z
) )  =  Z )
3936, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( invg `  W ) `  (
( invg `  W ) `  Z
) )  =  Z )
4020adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  W  e.  LMod )
415, 23, 16, 20, 2, 18lspprcl 17059 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  X }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
4241adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  ( N `  { Y ,  X } )  e.  ( LSubSp `  W )
)
43 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( invg `  W ) `  Z
)  e.  ( N `
 { Y ,  X } ) )
4423, 7lssvnegcl 17037 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { Y ,  X } )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( ( invg `  W ) `  Z
)  e.  ( N `
 { Y ,  X } ) )  -> 
( ( invg `  W ) `  (
( invg `  W ) `  Z
) )  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
4540, 42, 43, 44syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( invg `  W ) `  (
( invg `  W ) `  Z
) )  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
4639, 45eqeltrrd 2518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  Z  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )
4733, 46mtand 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )
485, 16, 17, 22, 18, 2, 29, 47lspexchn2 17212 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  ( ( invg `  W ) `
 Z ) } ) )
495, 7, 16lspsnneg 17087 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { (
( invg `  W ) `  Z
) } )  =  ( N `  { Z } ) )
5020, 4, 49syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( invg `  W ) `  Z
) } )  =  ( N `  { Z } ) )
5130, 50neeqtrrd 2632 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { (
( invg `  W ) `  Z
) } ) )
525, 14, 7grpinvnzcl 15598 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
5335, 3, 52syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  W ) `  Z
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
545, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5a 35359 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( invg `  W ) `
 Z ) ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( ( invg `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  (
( invg `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
5550oveq2d 6107 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( ( invg `  W ) `
 Z ) } ) )  =  ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
565, 6, 8, 7, 35, 18, 4grpsubinv 15599 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  (
( invg `  W ) `  Z
) )  =  ( X  .+  Z ) )
5756sneqd 3889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( ( invg `  W ) `  Z
) ) }  =  { ( X  .+  Z ) } )
5857fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  (
( invg `  W ) `  Z
) ) } )  =  ( N `  { ( X  .+  Z ) } ) )
5958oveq1d 6106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( ( invg `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) )  =  ( ( N `
 { ( X 
.+  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )
6055, 59ineq12d 3553 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( ( invg `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  (
( invg `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) )  =  ( ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
6113, 54, 603eqtrd 2479 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.+  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
6210sneqd 3889 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( Y  .-  Z ) }  =  { ( Y  .+  ( ( invg `  W ) `  Z
) ) } )
6362fveq2d 5695 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( N `  {
( Y  .+  (
( invg `  W ) `  Z
) ) } ) )
645, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5b 35360 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  (
( invg `  W ) `  Z
) ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { ( ( invg `  W
) `  Z ) } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( invg `  W
) `  Z )
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
6550oveq2d 6107 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { ( ( invg `  W ) `  Z
) } ) )  =  ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
6610eqcomd 2448 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( invg `  W ) `  Z
) )  =  ( Y  .-  Z ) )
6766oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .+  ( ( invg `  W ) `
 Z ) ) )  =  ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) )
6867sneqd 3889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( invg `  W
) `  Z )
) ) }  =  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )
6968fveq2d 5695 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( invg `  W ) `
 Z ) ) ) } )  =  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } ) )
7069oveq1d 6106 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( invg `  W
) `  Z )
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { X } ) )  =  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
7165, 70ineq12d 3553 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { ( ( invg `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( invg `  W ) `
 Z ) ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) ) )
7263, 64, 713eqtrd 2479 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
7361, 72jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )  /\  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606    \ cdif 3325    i^i cin 3327   {csn 3877   {cpr 3879   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   0gc0g 14378   Grpcgrp 15410   invgcminusg 15411   -gcsg 15413   LSSumclsm 16133   LModclmod 16948   LSubSpclss 17013   LSpanclspn 17052   LVecclvec 17183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-submnd 15465  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-cntz 15835  df-lsm 16135  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-unit 16734  df-invr 16764  df-drng 16834  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-lvec 17184
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