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Theorem baerlem5abmN 36808
Description: An equality that holds when  X,  Y,  Z are independent (non-colinear) vectors. Subtraction versions of first and second equations of part (5) in [Baer] p. 46, conjoined to share commonality in their proofs. TODO: Delete if not be needed. (Contributed by NM, 24-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem5a.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
Assertion
Ref Expression
baerlem5abmN  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )  /\  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem5abmN
StepHypRef Expression
1 baerlem3.y . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
21eldifad 3493 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
3 baerlem3.z . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
43eldifad 3493 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
5 baerlem3.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 baerlem5a.p . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  W )
7 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
8 baerlem3.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  W )
95, 6, 7, 8grpsubval 15942 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( Y 
.+  ( ( invg `  W ) `
 Z ) ) )
102, 4, 9syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( Y 
.+  ( ( invg `  W ) `
 Z ) ) )
1110oveq2d 6310 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .-  Z ) )  =  ( X  .-  ( Y  .+  ( ( invg `  W
) `  Z )
) ) )
1211sneqd 4044 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) }  =  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( invg `  W ) `
 Z ) ) ) } )
1312fveq2d 5875 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( N `  { ( X  .-  ( Y 
.+  ( ( invg `  W ) `
 Z ) ) ) } ) )
14 baerlem3.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
15 baerlem3.s . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
16 baerlem3.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  W )
17 baerlem3.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
18 baerlem3.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
19 lveclmod 17600 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
2017, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
215, 7lmodvnegcl 17399 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  (
( invg `  W ) `  Z
)  e.  V )
2220, 4, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  W ) `  Z
)  e.  V )
23 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
245, 23, 16, 20, 2, 4lspprcl 17472 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
25 baerlem3.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
265, 14, 23, 20, 24, 18, 25lssneln0 17446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
275, 16, 17, 18, 2, 4, 25lspindpi 17626 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } )  /\  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Z } ) ) )
2827simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
295, 14, 16, 17, 26, 2, 28lspsnne1 17611 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y } ) )
30 baerlem3.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
3130necomd 2738 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N `  { Z } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
325, 14, 16, 17, 3, 2, 31lspsnne1 17611 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { Y } ) )
335, 16, 17, 18, 4, 2, 32, 25lspexchn2 17625 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  Z  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
34 lmodgrp 17367 . . . . . . . . . 10  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
3517, 19, 343syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
3635adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  W  e.  Grp )
374adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  Z  e.  V )
385, 7grpinvinv 15954 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Z  e.  V )  ->  ( ( invg `  W ) `  (
( invg `  W ) `  Z
) )  =  Z )
3936, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( invg `  W ) `  (
( invg `  W ) `  Z
) )  =  Z )
4020adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  W  e.  LMod )
415, 23, 16, 20, 2, 18lspprcl 17472 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  X }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
4241adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  ( N `  { Y ,  X } )  e.  ( LSubSp `  W )
)
43 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( invg `  W ) `  Z
)  e.  ( N `
 { Y ,  X } ) )
4423, 7lssvnegcl 17450 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { Y ,  X } )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( ( invg `  W ) `  Z
)  e.  ( N `
 { Y ,  X } ) )  -> 
( ( invg `  W ) `  (
( invg `  W ) `  Z
) )  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
4540, 42, 43, 44syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  (
( invg `  W ) `  (
( invg `  W ) `  Z
) )  e.  ( N `  { Y ,  X } ) )
4639, 45eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )  ->  Z  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )
4733, 46mtand 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( N `  { Y ,  X }
) )
485, 16, 17, 22, 18, 2, 29, 47lspexchn2 17625 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  ( ( invg `  W ) `
 Z ) } ) )
495, 7, 16lspsnneg 17500 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { (
( invg `  W ) `  Z
) } )  =  ( N `  { Z } ) )
5020, 4, 49syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( invg `  W ) `  Z
) } )  =  ( N `  { Z } ) )
5130, 50neeqtrrd 2767 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { (
( invg `  W ) `  Z
) } ) )
525, 14, 7grpinvnzcl 15959 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )  ->  ( ( invg `  W ) `
 Z )  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
5335, 3, 52syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  W ) `  Z
)  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
545, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5a 36804 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( invg `  W ) `
 Z ) ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( ( invg `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  (
( invg `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
5550oveq2d 6310 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( ( invg `  W ) `
 Z ) } ) )  =  ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
565, 6, 8, 7, 35, 18, 4grpsubinv 15960 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  (
( invg `  W ) `  Z
) )  =  ( X  .+  Z ) )
5756sneqd 4044 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( ( invg `  W ) `  Z
) ) }  =  { ( X  .+  Z ) } )
5857fveq2d 5875 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  (
( invg `  W ) `  Z
) ) } )  =  ( N `  { ( X  .+  Z ) } ) )
5958oveq1d 6309 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( ( invg `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) )  =  ( ( N `
 { ( X 
.+  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) )
6055, 59ineq12d 3706 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( ( invg `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  (
( invg `  W ) `  Z
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) )  =  ( ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } ) 
.(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
6113, 54, 603eqtrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.+  Z ) } )  .(+)  ( N `  { Y } ) ) ) )
6210sneqd 4044 . . . 4  |-  ( ph  ->  { ( Y  .-  Z ) }  =  { ( Y  .+  ( ( invg `  W ) `  Z
) ) } )
6362fveq2d 5875 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( N `  {
( Y  .+  (
( invg `  W ) `  Z
) ) } ) )
645, 8, 14, 15, 16, 17, 18, 48, 51, 1, 53, 6baerlem5b 36805 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .+  (
( invg `  W ) `  Z
) ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { ( ( invg `  W
) `  Z ) } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( invg `  W
) `  Z )
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
6550oveq2d 6310 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { ( ( invg `  W ) `  Z
) } ) )  =  ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
6610eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y  .+  (
( invg `  W ) `  Z
) )  =  ( Y  .-  Z ) )
6766oveq2d 6310 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( Y  .+  ( ( invg `  W ) `
 Z ) ) )  =  ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) )
6867sneqd 4044 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( invg `  W
) `  Z )
) ) }  =  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )
6968fveq2d 5875 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( invg `  W ) `
 Z ) ) ) } )  =  ( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } ) )
7069oveq1d 6309 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .+  ( ( invg `  W
) `  Z )
) ) } ) 
.(+)  ( N `  { X } ) )  =  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )
7165, 70ineq12d 3706 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { ( ( invg `  W ) `
 Z ) } ) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .+  ( ( invg `  W ) `
 Z ) ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `
 { X }
) ) ) )
7263, 64, 713eqtrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) )
7361, 72jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  =  ( ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .+  Z ) } )  .(+)  ( N `
 { Y }
) ) )  /\  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } )  =  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  ( Y  .-  Z ) ) } )  .(+)  ( N `  { X } ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662    \ cdif 3478    i^i cin 3480   {csn 4032   {cpr 4034   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   Basecbs 14502   +g cplusg 14567   0gc0g 14707   Grpcgrp 15902   invgcminusg 15903   -gcsg 15904   LSSumclsm 16504   LModclmod 17360   LSubSpclss 17426   LSpanclspn 17465   LVecclvec 17596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-tpos 6965  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-sets 14508  df-ress 14509  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-0g 14709  df-mgm 15741  df-sgrp 15764  df-mnd 15774  df-submnd 15820  df-grp 15906  df-minusg 15907  df-sbg 15908  df-subg 16047  df-cntz 16204  df-lsm 16506  df-cmn 16650  df-abl 16651  df-mgp 16991  df-ur 17003  df-ring 17049  df-oppr 17121  df-dvdsr 17139  df-unit 17140  df-invr 17170  df-drng 17246  df-lmod 17362  df-lss 17427  df-lsp 17466  df-lvec 17597
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