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Theorem baerlem3lem2 34730
Description: Lemma for baerlem3 34733. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( invg `  R )
Assertion
Ref Expression
baerlem3lem2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem3lem2
Dummy variables  a 
b  d  e  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 18072 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 baerlem3.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
54eldifad 3426 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
6 baerlem3.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
76eldifad 3426 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
8 baerlem3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 baerlem3.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  W )
10 baerlem3.s . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
11 baerlem3.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
128, 9, 10, 11lspsntrim 18064 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } )  C_  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) ) )
133, 5, 7, 12syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  C_  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
148, 9, 11, 3, 5, 7lspsnsub 17973 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( N `  {
( Z  .-  Y
) } ) )
15 lmodabl 17877 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
163, 15syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
17 baerlem3.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
188, 9, 16, 17, 5, 7ablnnncan1 17157 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) )  =  ( Z  .-  Y ) )
1918sneqd 3984 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( ( X 
.-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) ) }  =  {
( Z  .-  Y
) } )
2019fveq2d 5853 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) ) } )  =  ( N `  { ( Z  .-  Y ) } ) )
2114, 20eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( N `  {
( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) ) } ) )
228, 9lmodvsubcl 17875 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
233, 17, 5, 22syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
248, 9lmodvsubcl 17875 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( X  .-  Z )  e.  V )
253, 17, 7, 24syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Z
)  e.  V )
268, 9, 10, 11lspsntrim 18064 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .-  Y )  e.  V  /\  ( X 
.-  Z )  e.  V )  ->  ( N `  { (
( X  .-  Y
)  .-  ( X  .-  Z ) ) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )
273, 23, 25, 26syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )
2821, 27eqsstrd 3476 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )
2913, 28ssind 3663 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  C_  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )
30 elin 3626 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  <-> 
( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )
31 baerlem3.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  W )
32 baerlem3.r . . . . . . 7  |-  R  =  (Scalar `  W )
33 baerlem3.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
34 baerlem3.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  W )
358, 31, 32, 33, 34, 10, 11, 3, 5, 7lsmspsn 18050 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  <->  E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
368, 31, 32, 33, 34, 10, 11, 3, 23, 25lsmspsn 18050 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) )  <->  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e 
.x.  ( X  .-  Z ) ) ) ) )
3735, 36anbi12d 709 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  <->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) ) ) )
3830, 37syl5bb 257 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  <->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) ) ) )
39 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
40 simp11 1027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  ph )
4140, 1syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  W  e.  LVec )
4240, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  X  e.  V )
43 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
4440, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
45 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4640, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4740, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4840, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
49 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
50 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( -g `  R
)
51 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
52 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( invg `  R )
53 simp12l 1110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  a  e.  B )
54 simp12r 1111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  b  e.  B )
55 simp2l 1023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  d  e.  B )
56 simp2r 1024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  e  e.  B )
57 simp13 1029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
58 simp3 999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )
598, 9, 39, 10, 11, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 31, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58baerlem3lem1 34727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  =  ( a  .x.  ( Y  .-  Z ) ) )
6040, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
618, 9lmodvsubcl 17875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .-  Z )  e.  V )
623, 5, 7, 61syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  Z
)  e.  V )
6340, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  ( Y  .-  Z )  e.  V )
648, 34, 32, 33, 11, 60, 53, 63lspsneli 17967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  (
a  .x.  ( Y  .-  Z ) )  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) )
6559, 64eqeltrd 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) )
66653exp 1196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) ) )
6766rexlimdvv 2902 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) )
68673exp 1196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) ) ) )
6968rexlimdvv 2902 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) ) )
7069impd 429 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e 
.x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  e.  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } ) ) )
7138, 70sylbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) )
7271ssrdv 3448 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  C_  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } ) )
7329, 72eqssd 3459 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   E.wrex 2755    \ cdif 3411    i^i cin 3413    C_ wss 3414   {csn 3972   {cpr 3974   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Basecbs 14841   +g cplusg 14909  Scalarcsca 14912   .scvsca 14913   0gc0g 15054   invgcminusg 16378   -gcsg 16379   LSSumclsm 16978   Abelcabl 17123   LModclmod 17832   LSpanclspn 17937   LVecclvec 18068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-subg 16522  df-cntz 16679  df-lsm 16980  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-oppr 17592  df-dvdsr 17610  df-unit 17611  df-invr 17641  df-drng 17718  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-lsp 17938  df-lvec 18069
This theorem is referenced by:  baerlem3  34733
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