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Theorem baerlem3lem2 35349
Description: Lemma for baerlem3 35352. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( invg `  R )
Assertion
Ref Expression
baerlem3lem2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )

Proof of Theorem baerlem3lem2
Dummy variables  a 
b  d  e  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 18407 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 baerlem3.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
54eldifad 3402 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
6 baerlem3.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
76eldifad 3402 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
8 baerlem3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 baerlem3.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  W )
10 baerlem3.s . . . . 5  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
11 baerlem3.n . . . . 5  |-  N  =  ( LSpan `  W )
128, 9, 10, 11lspsntrim 18399 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } )  C_  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) ) )
133, 5, 7, 12syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  C_  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) ) )
148, 9, 11, 3, 5, 7lspsnsub 18308 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( N `  {
( Z  .-  Y
) } ) )
15 lmodabl 18213 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
163, 15syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
17 baerlem3.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
188, 9, 16, 17, 5, 7ablnnncan1 17543 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) )  =  ( Z  .-  Y ) )
1918sneqd 3971 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { ( ( X 
.-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) ) }  =  {
( Z  .-  Y
) } )
2019fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) ) } )  =  ( N `  { ( Z  .-  Y ) } ) )
2114, 20eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( N `  {
( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) ) } ) )
228, 9lmodvsubcl 18211 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  e.  V )
233, 17, 5, 22syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  e.  V )
248, 9lmodvsubcl 18211 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( X  .-  Z )  e.  V )
253, 17, 7, 24syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Z
)  e.  V )
268, 9, 10, 11lspsntrim 18399 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( X  .-  Y )  e.  V  /\  ( X 
.-  Z )  e.  V )  ->  ( N `  { (
( X  .-  Y
)  .-  ( X  .-  Z ) ) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )
273, 23, 25, 26syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( ( X  .-  Y )  .-  ( X  .-  Z ) ) } )  C_  (
( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )
2821, 27eqsstrd 3452 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  C_  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )
2913, 28ssind 3647 . 2  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  C_  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )
30 elin 3608 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  i^i  (
( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  <-> 
( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )
31 baerlem3.p . . . . . . 7  |-  .+  =  ( +g  `  W )
32 baerlem3.r . . . . . . 7  |-  R  =  (Scalar `  W )
33 baerlem3.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  R
)
34 baerlem3.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  W )
358, 31, 32, 33, 34, 10, 11, 3, 5, 7lsmspsn 18385 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `
 { Z }
) )  <->  E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
368, 31, 32, 33, 34, 10, 11, 3, 23, 25lsmspsn 18385 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( N `  {
( X  .-  Y
) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) )  <->  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e 
.x.  ( X  .-  Z ) ) ) ) )
3735, 36anbi12d 725 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  /\  j  e.  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  <->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) ) ) )
3830, 37syl5bb 265 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  <->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) )  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) ) ) )
39 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
40 simp11 1060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  ph )
4140, 1syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  W  e.  LVec )
4240, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  X  e.  V )
43 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
4440, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
45 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4640, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
4740, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  Y  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
4840, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  Z  e.  ( V  \  {  .0.  } ) )
49 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
50 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  =  ( -g `  R
)
51 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
52 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11  |-  I  =  ( invg `  R )
53 simp12l 1143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  a  e.  B )
54 simp12r 1144 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  b  e.  B )
55 simp2l 1056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  d  e.  B )
56 simp2r 1057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  e  e.  B )
57 simp13 1062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
58 simp3 1032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )
598, 9, 39, 10, 11, 41, 42, 44, 46, 47, 48, 31, 34, 32, 33, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58baerlem3lem1 35346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  =  ( a  .x.  ( Y  .-  Z ) ) )
6040, 3syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
618, 9lmodvsubcl 18211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V  /\  Z  e.  V )  ->  ( Y  .-  Z )  e.  V )
623, 5, 7, 61syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  Z
)  e.  V )
6340, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  ( Y  .-  Z )  e.  V )
648, 34, 32, 33, 11, 60, 53, 63lspsneli 18302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  (
a  .x.  ( Y  .-  Z ) )  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) )
6559, 64eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  /\  ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  /\  j  =  ( ( d 
.x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) )
66653exp 1230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( ( d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) ) )
6766rexlimdvv 2877 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  /\  j  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) )
68673exp 1230 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  (
j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) ) ) )
6968rexlimdvv 2877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  -> 
( E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) ) )
7069impd 438 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. a  e.  B  E. b  e.  B  j  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  /\  E. d  e.  B  E. e  e.  B  j  =  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e 
.x.  ( X  .-  Z ) ) ) )  ->  j  e.  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } ) ) )
7138, 70sylbid 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( ( ( N `  { Y } )  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `  { ( X  .-  Y ) } ) 
.(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  ->  j  e.  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } ) ) )
7271ssrdv 3424 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) )  C_  ( N `  { ( Y  .-  Z ) } ) )
7329, 72eqssd 3435 1  |-  ( ph  ->  ( N `  {
( Y  .-  Z
) } )  =  ( ( ( N `
 { Y }
)  .(+)  ( N `  { Z } ) )  i^i  ( ( N `
 { ( X 
.-  Y ) } )  .(+)  ( N `  { ( X  .-  Z ) } ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757    \ cdif 3387    i^i cin 3389    C_ wss 3390   {csn 3959   {cpr 3961   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   +g cplusg 15268  Scalarcsca 15271   .scvsca 15272   0gc0g 15416   invgcminusg 16748   -gcsg 16749   LSSumclsm 17364   Abelcabl 17509   LModclmod 18169   LSpanclspn 18272   LVecclvec 18403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404
This theorem is referenced by:  baerlem3  35352
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