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Theorem baerlem3lem1 35074
Description: Lemma for baerlem3 35080. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( invg `  R )
baerlem3.a1  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
baerlem3.b1  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
baerlem3.d1  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
baerlem3.e1  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
baerlem3.j1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
baerlem3.j2  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
baerlem3lem1  |-  ( ph  ->  j  =  ( a 
.x.  ( Y  .-  Z ) ) )

Proof of Theorem baerlem3lem1
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 17165 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 baerlem3.a1 . . . 4  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
5 baerlem3.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
65eldifad 3337 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 baerlem3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 baerlem3.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  W )
9 baerlem3.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
10 baerlem3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
117, 8, 9, 10lmodvscl 16945 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
a  .x.  Y )  e.  V )
123, 4, 6, 11syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  Y
)  e.  V )
13 baerlem3.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413eldifad 3337 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
157, 8, 9, 10lmodvscl 16945 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
a  .x.  Z )  e.  V )
163, 4, 14, 15syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  Z
)  e.  V )
17 baerlem3.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
18 baerlem3.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
19 baerlem3.i . . . 4  |-  I  =  ( invg `  R )
20 eqid 2441 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
217, 17, 18, 8, 9, 19, 20lmodvsubval2 16980 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  .x.  Y )  e.  V  /\  (
a  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( a  .x.  Y
)  .-  ( a  .x.  Z ) )  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
( I `  ( 1r `  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) ) )
223, 12, 16, 21syl3anc 1213 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .-  (
a  .x.  Z )
)  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( ( I `
 ( 1r `  R ) )  .x.  ( a  .x.  Z
) ) ) )
237, 9, 8, 10, 18, 3, 4, 6, 14lmodsubdi 16982 . 2  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  ( Y  .-  Z ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .-  ( a  .x.  Z
) ) )
24 baerlem3.j1 . . 3  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
258lmodrng 16936 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
263, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
27 rnggrp 16640 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
298, 10, 20lmod1cl 16955 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
303, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  B )
3110, 19grpinvcl 15576 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  -> 
( I `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
3228, 30, 31syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
33 eqid 2441 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
347, 8, 9, 10, 33lmodvsass 16953 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( I `  ( 1r `  R ) )  e.  B  /\  a  e.  B  /\  Z  e.  V ) )  -> 
( ( ( I `
 ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  .x.  Z
)  =  ( ( I `  ( 1r
`  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) )
353, 32, 4, 14, 34syl13anc 1215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  .x.  Z
)  =  ( ( I `  ( 1r
`  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) )
3610, 33, 20, 19, 26, 4rngnegl 16675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  =  ( I `  a ) )
37 rngabl 16664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
3826, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Abel )
39 baerlem3.d1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
40 baerlem3.e1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
41 baerlem3.a . . . . . . . . . . . 12  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
4210, 41, 19ablinvadd 16292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
I `  ( d  .+^  e ) )  =  ( ( I `  d )  .+^  ( I `
 e ) ) )
4338, 39, 40, 42syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I `  (
d  .+^  e ) )  =  ( ( I `
 d )  .+^  ( I `  e
) ) )
44 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
45 baerlem3.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( LSpan `  W )
467, 44, 45, 3, 6, 14lspprcl 17037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
47 baerlem3.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
48 baerlem3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
49 baerlem3.b1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
507, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 4, 49, 6, 14lsppreli 17149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
517, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 39, 40, 6, 14lsppreli 17149 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
52 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
5344, 52lssvnegcl 17015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { Y ,  Z } )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )  -> 
( ( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) )
543, 46, 51, 53syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) )
55 baerlem3.q . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
5610, 55rng0cl 16656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Ring  ->  Q  e.  B )
5726, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
5810, 41rngacl 16662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
d  .+^  e )  e.  B )
5926, 39, 40, 58syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( d  .+^  e )  e.  B )
60 baerlem3.o . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
617, 8, 9, 55, 60lmod0vs 16961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( Q  .x.  X )  =  .0.  )
623, 47, 61syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Q  .x.  X
)  =  .0.  )
6362oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  (  .0.  .+  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
64 lmodgrp 16935 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
653, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
667, 8, 9, 10lmodvscl 16945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  b  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
b  .x.  Z )  e.  V )
673, 49, 14, 66syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( b  .x.  Z
)  e.  V )
687, 17lmodvacl 16942 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  .x.  Y )  e.  V  /\  (
b  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  e.  V )
693, 12, 67, 68syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  V )
707, 17, 60grplid 15561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  V )  ->  (  .0.  .+  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) )  =  ( ( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )
7165, 69, 70syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
72 lmodabl 16972 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
733, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
747, 8, 9, 10lmodvscl 16945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
d  .x.  X )  e.  V )
753, 39, 47, 74syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  X
)  e.  V )
767, 8, 9, 10lmodvscl 16945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  e  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
e  .x.  X )  e.  V )
773, 40, 47, 76syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  X
)  e.  V )
787, 8, 9, 10lmodvscl 16945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
d  .x.  Y )  e.  V )
793, 39, 6, 78syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  Y
)  e.  V )
807, 8, 9, 10lmodvscl 16945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  e  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
e  .x.  Z )  e.  V )
813, 40, 14, 80syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  Z
)  e.  V )
827, 17, 18ablsub4 16295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  (
( d  .x.  X
)  e.  V  /\  ( e  .x.  X
)  e.  V )  /\  ( ( d 
.x.  Y )  e.  V  /\  ( e 
.x.  Z )  e.  V ) )  -> 
( ( ( d 
.x.  X )  .+  ( e  .x.  X
) )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
8373, 75, 77, 79, 81, 82syl122anc 1222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.x.  X )  .+  ( e  .x.  X
) )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
847, 17, 8, 9, 10, 41lmodvsdir 16952 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  e.  B  /\  e  e.  B  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
d  .+^  e )  .x.  X )  =  ( ( d  .x.  X
)  .+  ( e  .x.  X ) ) )
853, 39, 40, 47, 84syl13anc 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  =  ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( e  .x.  X ) ) )
8685oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  .-  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
) ) )
87 baerlem3.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )
887, 9, 8, 10, 18, 3, 39, 47, 6lmodsubdi 16982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .-  ( d  .x.  Y
) ) )
897, 9, 8, 10, 18, 3, 40, 47, 14lmodsubdi 16982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) )  =  ( ( e 
.x.  X )  .-  ( e  .x.  Z
) ) )
9088, 89oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e 
.x.  ( X  .-  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
9187, 90eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( ( d  .x.  X
)  .-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
9283, 86, 913eqtr4rd 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( ( d  .+^  e ) 
.x.  X )  .-  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
) ) )
937, 8, 9, 10lmodvscl 16945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  .+^  e )  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
( d  .+^  e ) 
.x.  X )  e.  V )
943, 59, 47, 93syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  e.  V )
957, 17lmodvacl 16942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  .x.  Y )  e.  V  /\  (
e  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) )  e.  V )
963, 79, 81, 95syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  V )
977, 17, 52, 18grpsubval 15574 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  e.  V  /\  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  V )  ->  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
9894, 96, 97syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
9992, 24, 983eqtr3d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( ( d  .+^  e ) 
.x.  X )  .+  ( ( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
10063, 71, 993eqtrd 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
1017, 17, 8, 10, 9, 44, 1, 46, 47, 48, 50, 54, 57, 59, 100lvecindp 17197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  =  ( d  .+^  e )  /\  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( invg `  W
) `  ( (
d  .x.  Y )  .+  ( e  .x.  Z
) ) ) ) )
102101simpld 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  =  ( d 
.+^  e ) )
103102fveq2d 5692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I `  Q
)  =  ( I `
 ( d  .+^  e ) ) )
10410, 19grpinvcl 15576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  d  e.  B )  ->  ( I `  d
)  e.  B )
10528, 39, 104syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( I `  d
)  e.  B )
10610, 19grpinvcl 15576 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  e  e.  B )  ->  ( I `  e
)  e.  B )
10728, 40, 106syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( I `  e
)  e.  B )
108 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
109101simprd 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( invg `  W
) `  ( (
d  .x.  Y )  .+  ( e  .x.  Z
) ) ) )
1107, 17, 9, 52, 8, 10, 19, 3, 39, 40, 6, 14lmodnegadd 16974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  e )  .x.  Z
) ) )
111109, 110eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( ( I `  d
)  .x.  Y )  .+  ( ( I `  e )  .x.  Z
) ) )
1127, 17, 8, 10, 9, 60, 45, 1, 5, 13, 4, 49, 105, 107, 108, 111lvecindp2 17198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( a  =  ( I `  d )  /\  b  =  ( I `  e ) ) )
113 oveq12 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  =  ( I `
 d )  /\  b  =  ( I `  e ) )  -> 
( a  .+^  b )  =  ( ( I `
 d )  .+^  ( I `  e
) ) )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( a  .+^  b )  =  ( ( I `
 d )  .+^  ( I `  e
) ) )
11543, 103, 1143eqtr4rd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( a  .+^  b )  =  ( I `  Q ) )
11655, 19grpinvid 15582 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
I `  Q )  =  Q )
11728, 116syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  Q
)  =  Q )
118115, 117eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( a  .+^  b )  =  Q )
11910, 41, 55, 19grpinvid1 15579 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  ( ( I `  a )  =  b  <-> 
( a  .+^  b )  =  Q ) )
12028, 4, 49, 119syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( I `  a )  =  b  <-> 
( a  .+^  b )  =  Q ) )
121118, 120mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I `  a
)  =  b )
12236, 121eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  =  b )
123122oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  .x.  Z
)  =  ( b 
.x.  Z ) )
12435, 123eqtr3d 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( 1r `  R ) )  .x.  ( a 
.x.  Z ) )  =  ( b  .x.  Z ) )
125124oveq2d 6106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
( I `  ( 1r `  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
12624, 125eqtr4d 2476 . 2  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( ( I `
 ( 1r `  R ) )  .x.  ( a  .x.  Z
) ) ) )
12722, 23, 1263eqtr4rd 2484 1  |-  ( ph  ->  j  =  ( a 
.x.  ( Y  .-  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604    \ cdif 3322   {csn 3874   {cpr 3876   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407   -gcsg 15409   LSSumclsm 16126   Abelcabel 16271   1rcur 16593   Ringcrg 16635   LModclmod 16928   LSubSpclss 16991   LSpanclspn 17030   LVecclvec 17161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-subg 15671  df-cntz 15828  df-lsm 16128  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-drng 16814  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031  df-lvec 17162
This theorem is referenced by:  baerlem3lem2  35077
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