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Theorem baerlem3lem1 37577
Description: Lemma for baerlem3 37583. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( invg `  R )
baerlem3.a1  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
baerlem3.b1  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
baerlem3.d1  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
baerlem3.e1  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
baerlem3.j1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
baerlem3.j2  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
baerlem3lem1  |-  ( ph  ->  j  =  ( a 
.x.  ( Y  .-  Z ) ) )

Proof of Theorem baerlem3lem1
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 17879 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 baerlem3.a1 . . . 4  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
5 baerlem3.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
65eldifad 3483 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 baerlem3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 baerlem3.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  W )
9 baerlem3.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
10 baerlem3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
117, 8, 9, 10lmodvscl 17656 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
a  .x.  Y )  e.  V )
123, 4, 6, 11syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  Y
)  e.  V )
13 baerlem3.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413eldifad 3483 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
157, 8, 9, 10lmodvscl 17656 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
a  .x.  Z )  e.  V )
163, 4, 14, 15syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  Z
)  e.  V )
17 baerlem3.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
18 baerlem3.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
19 baerlem3.i . . . 4  |-  I  =  ( invg `  R )
20 eqid 2457 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
217, 17, 18, 8, 9, 19, 20lmodvsubval2 17692 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  .x.  Y )  e.  V  /\  (
a  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( a  .x.  Y
)  .-  ( a  .x.  Z ) )  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
( I `  ( 1r `  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) ) )
223, 12, 16, 21syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .-  (
a  .x.  Z )
)  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( ( I `
 ( 1r `  R ) )  .x.  ( a  .x.  Z
) ) ) )
237, 9, 8, 10, 18, 3, 4, 6, 14lmodsubdi 17694 . 2  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  ( Y  .-  Z ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .-  ( a  .x.  Z
) ) )
24 baerlem3.j1 . . 3  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
258lmodring 17647 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
263, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
27 ringgrp 17330 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
298, 10, 20lmod1cl 17666 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
303, 29syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  B )
3110, 19grpinvcl 16222 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  -> 
( I `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
3228, 30, 31syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
33 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
347, 8, 9, 10, 33lmodvsass 17664 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( I `  ( 1r `  R ) )  e.  B  /\  a  e.  B  /\  Z  e.  V ) )  -> 
( ( ( I `
 ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  .x.  Z
)  =  ( ( I `  ( 1r
`  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) )
353, 32, 4, 14, 34syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  .x.  Z
)  =  ( ( I `  ( 1r
`  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) )
3610, 33, 20, 19, 26, 4ringnegl 17367 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  =  ( I `  a ) )
37 ringabl 17355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
3826, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Abel )
39 baerlem3.d1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
40 baerlem3.e1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
41 baerlem3.a . . . . . . . . . . . 12  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
4210, 41, 19ablinvadd 16947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
I `  ( d  .+^  e ) )  =  ( ( I `  d )  .+^  ( I `
 e ) ) )
4338, 39, 40, 42syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I `  (
d  .+^  e ) )  =  ( ( I `
 d )  .+^  ( I `  e
) ) )
44 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
45 baerlem3.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( LSpan `  W )
467, 44, 45, 3, 6, 14lspprcl 17751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
47 baerlem3.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
48 baerlem3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
49 baerlem3.b1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
507, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 4, 49, 6, 14lsppreli 17863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
517, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 39, 40, 6, 14lsppreli 17863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
52 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
5344, 52lssvnegcl 17729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { Y ,  Z } )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )  -> 
( ( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) )
543, 46, 51, 53syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) )
55 baerlem3.q . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
5610, 55ring0cl 17347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Ring  ->  Q  e.  B )
5726, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
5810, 41ringacl 17353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
d  .+^  e )  e.  B )
5926, 39, 40, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( d  .+^  e )  e.  B )
60 baerlem3.o . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
617, 8, 9, 55, 60lmod0vs 17672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( Q  .x.  X )  =  .0.  )
623, 47, 61syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Q  .x.  X
)  =  .0.  )
6362oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  (  .0.  .+  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
64 lmodgrp 17646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
653, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
667, 8, 9, 10lmodvscl 17656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  b  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
b  .x.  Z )  e.  V )
673, 49, 14, 66syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( b  .x.  Z
)  e.  V )
687, 17lmodvacl 17653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  .x.  Y )  e.  V  /\  (
b  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  e.  V )
693, 12, 67, 68syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  V )
707, 17, 60grplid 16207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  V )  ->  (  .0.  .+  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) )  =  ( ( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )
7165, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
72 lmodabl 17684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
733, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
747, 8, 9, 10lmodvscl 17656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
d  .x.  X )  e.  V )
753, 39, 47, 74syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  X
)  e.  V )
767, 8, 9, 10lmodvscl 17656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  e  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
e  .x.  X )  e.  V )
773, 40, 47, 76syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  X
)  e.  V )
787, 8, 9, 10lmodvscl 17656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
d  .x.  Y )  e.  V )
793, 39, 6, 78syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  Y
)  e.  V )
807, 8, 9, 10lmodvscl 17656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  e  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
e  .x.  Z )  e.  V )
813, 40, 14, 80syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  Z
)  e.  V )
827, 17, 18ablsub4 16950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  (
( d  .x.  X
)  e.  V  /\  ( e  .x.  X
)  e.  V )  /\  ( ( d 
.x.  Y )  e.  V  /\  ( e 
.x.  Z )  e.  V ) )  -> 
( ( ( d 
.x.  X )  .+  ( e  .x.  X
) )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
8373, 75, 77, 79, 81, 82syl122anc 1237 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.x.  X )  .+  ( e  .x.  X
) )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
847, 17, 8, 9, 10, 41lmodvsdir 17663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  e.  B  /\  e  e.  B  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
d  .+^  e )  .x.  X )  =  ( ( d  .x.  X
)  .+  ( e  .x.  X ) ) )
853, 39, 40, 47, 84syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  =  ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( e  .x.  X ) ) )
8685oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  .-  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
) ) )
87 baerlem3.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )
887, 9, 8, 10, 18, 3, 39, 47, 6lmodsubdi 17694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .-  ( d  .x.  Y
) ) )
897, 9, 8, 10, 18, 3, 40, 47, 14lmodsubdi 17694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) )  =  ( ( e 
.x.  X )  .-  ( e  .x.  Z
) ) )
9088, 89oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e 
.x.  ( X  .-  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
9187, 90eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( ( d  .x.  X
)  .-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
9283, 86, 913eqtr4rd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( ( d  .+^  e ) 
.x.  X )  .-  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
) ) )
937, 8, 9, 10lmodvscl 17656 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  .+^  e )  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
( d  .+^  e ) 
.x.  X )  e.  V )
943, 59, 47, 93syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  e.  V )
957, 17lmodvacl 17653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  .x.  Y )  e.  V  /\  (
e  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) )  e.  V )
963, 79, 81, 95syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  V )
977, 17, 52, 18grpsubval 16220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  e.  V  /\  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  V )  ->  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
9894, 96, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
9992, 24, 983eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( ( d  .+^  e ) 
.x.  X )  .+  ( ( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
10063, 71, 993eqtrd 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
1017, 17, 8, 10, 9, 44, 1, 46, 47, 48, 50, 54, 57, 59, 100lvecindp 17911 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  =  ( d  .+^  e )  /\  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( invg `  W
) `  ( (
d  .x.  Y )  .+  ( e  .x.  Z
) ) ) ) )
102101simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  =  ( d 
.+^  e ) )
103102fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I `  Q
)  =  ( I `
 ( d  .+^  e ) ) )
10410, 19grpinvcl 16222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  d  e.  B )  ->  ( I `  d
)  e.  B )
10528, 39, 104syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( I `  d
)  e.  B )
10610, 19grpinvcl 16222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  e  e.  B )  ->  ( I `  e
)  e.  B )
10728, 40, 106syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( I `  e
)  e.  B )
108 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
109101simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( invg `  W
) `  ( (
d  .x.  Y )  .+  ( e  .x.  Z
) ) ) )
1107, 17, 9, 52, 8, 10, 19, 3, 39, 40, 6, 14lmodnegadd 17686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  e )  .x.  Z
) ) )
111109, 110eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( ( I `  d
)  .x.  Y )  .+  ( ( I `  e )  .x.  Z
) ) )
1127, 17, 8, 10, 9, 60, 45, 1, 5, 13, 4, 49, 105, 107, 108, 111lvecindp2 17912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( a  =  ( I `  d )  /\  b  =  ( I `  e ) ) )
113 oveq12 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  =  ( I `
 d )  /\  b  =  ( I `  e ) )  -> 
( a  .+^  b )  =  ( ( I `
 d )  .+^  ( I `  e
) ) )
114112, 113syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( a  .+^  b )  =  ( ( I `
 d )  .+^  ( I `  e
) ) )
11543, 103, 1143eqtr4rd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( a  .+^  b )  =  ( I `  Q ) )
11655, 19grpinvid 16228 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
I `  Q )  =  Q )
11728, 116syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  Q
)  =  Q )
118115, 117eqtrd 2498 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( a  .+^  b )  =  Q )
11910, 41, 55, 19grpinvid1 16225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  ( ( I `  a )  =  b  <-> 
( a  .+^  b )  =  Q ) )
12028, 4, 49, 119syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( I `  a )  =  b  <-> 
( a  .+^  b )  =  Q ) )
121118, 120mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I `  a
)  =  b )
12236, 121eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  =  b )
123122oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  .x.  Z
)  =  ( b 
.x.  Z ) )
12435, 123eqtr3d 2500 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( 1r `  R ) )  .x.  ( a 
.x.  Z ) )  =  ( b  .x.  Z ) )
125124oveq2d 6312 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
( I `  ( 1r `  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
12624, 125eqtr4d 2501 . 2  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( ( I `
 ( 1r `  R ) )  .x.  ( a  .x.  Z
) ) ) )
12722, 23, 1263eqtr4rd 2509 1  |-  ( ph  ->  j  =  ( a 
.x.  ( Y  .-  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    \ cdif 3468   {csn 4032   {cpr 4034   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   .rcmulr 14713  Scalarcsca 14715   .scvsca 14716   0gc0g 14857   Grpcgrp 16180   invgcminusg 16181   -gcsg 16182   LSSumclsm 16781   Abelcabl 16926   1rcur 17280   Ringcrg 17325   LModclmod 17639   LSubSpclss 17705   LSpanclspn 17744   LVecclvec 17875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-subg 16325  df-cntz 16482  df-lsm 16783  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-drng 17525  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-lvec 17876
This theorem is referenced by:  baerlem3lem2  37580
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