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Theorem baerlem3lem1 35346
Description: Lemma for baerlem3 35352. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
baerlem3.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
baerlem3.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
baerlem3.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  W )
baerlem3.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
baerlem3.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
baerlem3.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
baerlem3.c  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
baerlem3.d  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
baerlem3.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
baerlem3.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
baerlem3.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
baerlem3.r  |-  R  =  (Scalar `  W )
baerlem3.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
baerlem3.a  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
baerlem3.l  |-  L  =  ( -g `  R
)
baerlem3.q  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
baerlem3.i  |-  I  =  ( invg `  R )
baerlem3.a1  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
baerlem3.b1  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
baerlem3.d1  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
baerlem3.e1  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
baerlem3.j1  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
baerlem3.j2  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
baerlem3lem1  |-  ( ph  ->  j  =  ( a 
.x.  ( Y  .-  Z ) ) )

Proof of Theorem baerlem3lem1
StepHypRef Expression
1 baerlem3.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
2 lveclmod 18407 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4 baerlem3.a1 . . . 4  |-  ( ph  ->  a  e.  B )
5 baerlem3.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
65eldifad 3402 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
7 baerlem3.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 baerlem3.r . . . . 5  |-  R  =  (Scalar `  W )
9 baerlem3.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
10 baerlem3.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  R
)
117, 8, 9, 10lmodvscl 18186 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
a  .x.  Y )  e.  V )
123, 4, 6, 11syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  Y
)  e.  V )
13 baerlem3.z . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1413eldifad 3402 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
157, 8, 9, 10lmodvscl 18186 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
a  .x.  Z )  e.  V )
163, 4, 14, 15syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  Z
)  e.  V )
17 baerlem3.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
18 baerlem3.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
19 baerlem3.i . . . 4  |-  I  =  ( invg `  R )
20 eqid 2471 . . . 4  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
217, 17, 18, 8, 9, 19, 20lmodvsubval2 18221 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  .x.  Y )  e.  V  /\  (
a  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( a  .x.  Y
)  .-  ( a  .x.  Z ) )  =  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
( I `  ( 1r `  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) ) )
223, 12, 16, 21syl3anc 1292 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .-  (
a  .x.  Z )
)  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( ( I `
 ( 1r `  R ) )  .x.  ( a  .x.  Z
) ) ) )
237, 9, 8, 10, 18, 3, 4, 6, 14lmodsubdi 18223 . 2  |-  ( ph  ->  ( a  .x.  ( Y  .-  Z ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .-  ( a  .x.  Z
) ) )
24 baerlem3.j1 . . 3  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( b  .x.  Z ) ) )
258lmodring 18177 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  R  e. 
Ring )
263, 25syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
27 ringgrp 17863 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
2826, 27syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
298, 10, 20lmod1cl 18196 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  R )  e.  B )
303, 29syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  B )
3110, 19grpinvcl 16789 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( 1r `  R )  e.  B )  -> 
( I `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
3228, 30, 31syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  ( 1r `  R ) )  e.  B )
33 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
347, 8, 9, 10, 33lmodvsass 18194 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( I `  ( 1r `  R ) )  e.  B  /\  a  e.  B  /\  Z  e.  V ) )  -> 
( ( ( I `
 ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  .x.  Z
)  =  ( ( I `  ( 1r
`  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) )
353, 32, 4, 14, 34syl13anc 1294 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  .x.  Z
)  =  ( ( I `  ( 1r
`  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) )
3610, 33, 20, 19, 26, 4ringnegl 17900 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  =  ( I `  a ) )
37 ringabl 17888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Abel )
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  Abel )
39 baerlem3.d1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  d  e.  B )
40 baerlem3.e1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  e  e.  B )
41 baerlem3.a . . . . . . . . . . . 12  |-  .+^  =  ( +g  `  R )
4210, 41, 19ablinvadd 17530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Abel  /\  d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
I `  ( d  .+^  e ) )  =  ( ( I `  d )  .+^  ( I `
 e ) ) )
4338, 39, 40, 42syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I `  (
d  .+^  e ) )  =  ( ( I `
 d )  .+^  ( I `  e
) ) )
44 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
45 baerlem3.n . . . . . . . . . . . . . 14  |-  N  =  ( LSpan `  W )
467, 44, 45, 3, 6, 14lspprcl 18279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y ,  Z }
)  e.  ( LSubSp `  W ) )
47 baerlem3.x . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
48 baerlem3.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  ( N `  { Y ,  Z } ) )
49 baerlem3.b1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  b  e.  B )
507, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 4, 49, 6, 14lsppreli 18391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
517, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 39, 40, 6, 14lsppreli 18391 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )
52 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( invg `  W )  =  ( invg `  W )
5344, 52lssvnegcl 18257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  { Y ,  Z } )  e.  ( LSubSp `  W )  /\  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  ( N `
 { Y ,  Z } ) )  -> 
( ( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) )
543, 46, 51, 53syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  e.  ( N `  { Y ,  Z }
) )
55 baerlem3.q . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Q  =  ( 0g `  R
)
5610, 55ring0cl 17880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  Ring  ->  Q  e.  B )
5726, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Q  e.  B )
5810, 41ringacl 17886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  d  e.  B  /\  e  e.  B )  ->  (
d  .+^  e )  e.  B )
5926, 39, 40, 58syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( d  .+^  e )  e.  B )
60 baerlem3.o . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
617, 8, 9, 55, 60lmod0vs 18202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( Q  .x.  X )  =  .0.  )
623, 47, 61syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Q  .x.  X
)  =  .0.  )
6362oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  (  .0.  .+  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) ) )
64 lmodgrp 18176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
653, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
667, 8, 9, 10lmodvscl 18186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  b  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
b  .x.  Z )  e.  V )
673, 49, 14, 66syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( b  .x.  Z
)  e.  V )
687, 17lmodvacl 18183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
a  .x.  Y )  e.  V  /\  (
b  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) )  e.  V )
693, 12, 67, 68syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  V )
707, 17, 60grplid 16774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  e.  V )  ->  (  .0.  .+  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
) )  =  ( ( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )
7165, 69, 70syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  (  .0.  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
72 lmodabl 18213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
733, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
747, 8, 9, 10lmodvscl 18186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
d  .x.  X )  e.  V )
753, 39, 47, 74syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  X
)  e.  V )
767, 8, 9, 10lmodvscl 18186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  e  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
e  .x.  X )  e.  V )
773, 40, 47, 76syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  X
)  e.  V )
787, 8, 9, 10lmodvscl 18186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  d  e.  B  /\  Y  e.  V )  ->  (
d  .x.  Y )  e.  V )
793, 39, 6, 78syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  Y
)  e.  V )
807, 8, 9, 10lmodvscl 18186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  e  e.  B  /\  Z  e.  V )  ->  (
e  .x.  Z )  e.  V )
813, 40, 14, 80syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  Z
)  e.  V )
827, 17, 18ablsub4 17533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  Abel  /\  (
( d  .x.  X
)  e.  V  /\  ( e  .x.  X
)  e.  V )  /\  ( ( d 
.x.  Y )  e.  V  /\  ( e 
.x.  Z )  e.  V ) )  -> 
( ( ( d 
.x.  X )  .+  ( e  .x.  X
) )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
8373, 75, 77, 79, 81, 82syl122anc 1301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.x.  X )  .+  ( e  .x.  X
) )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
847, 17, 8, 9, 10, 41lmodvsdir 18193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  e.  B  /\  e  e.  B  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
d  .+^  e )  .x.  X )  =  ( ( d  .x.  X
)  .+  ( e  .x.  X ) ) )
853, 39, 40, 47, 84syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  =  ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( e  .x.  X ) ) )
8685oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.+  ( e  .x.  X ) )  .-  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
) ) )
87 baerlem3.j2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( d  .x.  ( X 
.-  Y ) ) 
.+  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) ) ) )
887, 9, 8, 10, 18, 3, 39, 47, 6lmodsubdi 18223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( d  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( d 
.x.  X )  .-  ( d  .x.  Y
) ) )
897, 9, 8, 10, 18, 3, 40, 47, 14lmodsubdi 18223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( e  .x.  ( X  .-  Z ) )  =  ( ( e 
.x.  X )  .-  ( e  .x.  Z
) ) )
9088, 89oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  ( X  .-  Y ) )  .+  ( e 
.x.  ( X  .-  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .x.  X ) 
.-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
9187, 90eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( ( d  .x.  X
)  .-  ( d  .x.  Y ) )  .+  ( ( e  .x.  X )  .-  (
e  .x.  Z )
) ) )
9283, 86, 913eqtr4rd 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( ( d  .+^  e ) 
.x.  X )  .-  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
) ) )
937, 8, 9, 10lmodvscl 18186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  .+^  e )  e.  B  /\  X  e.  V )  ->  (
( d  .+^  e ) 
.x.  X )  e.  V )
943, 59, 47, 93syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  e.  V )
957, 17lmodvacl 18183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
d  .x.  Y )  e.  V  /\  (
e  .x.  Z )  e.  V )  ->  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) )  e.  V )
963, 79, 81, 95syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  V )
977, 17, 52, 18grpsubval 16787 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X
)  e.  V  /\  ( ( d  .x.  Y )  .+  (
e  .x.  Z )
)  e.  V )  ->  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
9894, 96, 97syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( d 
.+^  e )  .x.  X )  .-  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
9992, 24, 983eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( ( d  .+^  e ) 
.x.  X )  .+  ( ( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
10063, 71, 993eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .x.  X )  .+  (
( a  .x.  Y
)  .+  ( b  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( d  .+^  e )  .x.  X )  .+  (
( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) ) ) )
1017, 17, 8, 10, 9, 44, 1, 46, 47, 48, 50, 54, 57, 59, 100lvecindp 18439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Q  =  ( d  .+^  e )  /\  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( invg `  W
) `  ( (
d  .x.  Y )  .+  ( e  .x.  Z
) ) ) ) )
102101simpld 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Q  =  ( d 
.+^  e ) )
103102fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I `  Q
)  =  ( I `
 ( d  .+^  e ) ) )
10410, 19grpinvcl 16789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  d  e.  B )  ->  ( I `  d
)  e.  B )
10528, 39, 104syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( I `  d
)  e.  B )
10610, 19grpinvcl 16789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  e  e.  B )  ->  ( I `  e
)  e.  B )
10728, 40, 106syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( I `  e
)  e.  B )
108 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  =/=  ( N `  { Z } ) )
109101simprd 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( invg `  W
) `  ( (
d  .x.  Y )  .+  ( e  .x.  Z
) ) ) )
1107, 17, 9, 52, 8, 10, 19, 3, 39, 40, 6, 14lmodnegadd 18215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  W ) `  (
( d  .x.  Y
)  .+  ( e  .x.  Z ) ) )  =  ( ( ( I `  d ) 
.x.  Y )  .+  ( ( I `  e )  .x.  Z
) ) )
111109, 110eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
b  .x.  Z )
)  =  ( ( ( I `  d
)  .x.  Y )  .+  ( ( I `  e )  .x.  Z
) ) )
1127, 17, 8, 10, 9, 60, 45, 1, 5, 13, 4, 49, 105, 107, 108, 111lvecindp2 18440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( a  =  ( I `  d )  /\  b  =  ( I `  e ) ) )
113 oveq12 6317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  =  ( I `
 d )  /\  b  =  ( I `  e ) )  -> 
( a  .+^  b )  =  ( ( I `
 d )  .+^  ( I `  e
) ) )
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( a  .+^  b )  =  ( ( I `
 d )  .+^  ( I `  e
) ) )
11543, 103, 1143eqtr4rd 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( a  .+^  b )  =  ( I `  Q ) )
11655, 19grpinvid 16795 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Grp  ->  (
I `  Q )  =  Q )
11728, 116syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I `  Q
)  =  Q )
118115, 117eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( a  .+^  b )  =  Q )
11910, 41, 55, 19grpinvid1 16792 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  a  e.  B  /\  b  e.  B )  ->  ( ( I `  a )  =  b  <-> 
( a  .+^  b )  =  Q ) )
12028, 4, 49, 119syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( I `  a )  =  b  <-> 
( a  .+^  b )  =  Q ) )
121118, 120mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I `  a
)  =  b )
12236, 121eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  =  b )
123122oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 ( 1r `  R ) ) ( .r `  R ) a )  .x.  Z
)  =  ( b 
.x.  Z ) )
12435, 123eqtr3d 2507 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I `  ( 1r `  R ) )  .x.  ( a 
.x.  Z ) )  =  ( b  .x.  Z ) )
125124oveq2d 6324 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( a  .x.  Y )  .+  (
( I `  ( 1r `  R ) ) 
.x.  ( a  .x.  Z ) ) )  =  ( ( a 
.x.  Y )  .+  ( b  .x.  Z
) ) )
12624, 125eqtr4d 2508 . 2  |-  ( ph  ->  j  =  ( ( a  .x.  Y ) 
.+  ( ( I `
 ( 1r `  R ) )  .x.  ( a  .x.  Z
) ) ) )
12722, 23, 1263eqtr4rd 2516 1  |-  ( ph  ->  j  =  ( a 
.x.  ( Y  .-  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    \ cdif 3387   {csn 3959   {cpr 3961   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   .rcmulr 15269  Scalarcsca 15271   .scvsca 15272   0gc0g 15416   Grpcgrp 16747   invgcminusg 16748   -gcsg 16749   LSSumclsm 17364   Abelcabl 17509   1rcur 17813   Ringcrg 17858   LModclmod 18169   LSubSpclss 18233   LSpanclspn 18272   LVecclvec 18403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-cntz 17049  df-lsm 17366  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-drng 18055  df-lmod 18171  df-lss 18234  df-lsp 18273  df-lvec 18404
This theorem is referenced by:  baerlem3lem2  35349
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