Theorem axunndlem1 6099

Description: Lemma for the Axiom of Union with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axunndlem1	|- E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)

Distinct variable groups:   x,y   x,z

Proof of Theorem axunndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbae 1505	. . . . . 6 |- (A.y y = z -> A.xA.y y = z)
2		en2lp 5707	. . . . . . . 8 |- -. (y e. x /\ x e. y)
3		elequ2 1497	. . . . . . . . 9 |- (y = z -> (x e. y <-> x e. z))
4	3	anbi2d 678	. . . . . . . 8 |- (y = z -> ((y e. x /\ x e. y) <-> (y e. x /\ x e. z)))
5	2, 4	mtbii 784	. . . . . . 7 |- (y = z -> -. (y e. x /\ x e. z))
6	5	a4s 1330	. . . . . 6 |- (A.y y = z -> -. (y e. x /\ x e. z))
7	1, 6	nexd 1457	. . . . 5 |- (A.y y = z -> -. E.x(y e. x /\ x e. z))
8	7	pm2.21d 94	. . . 4 |- (A.y y = z -> (E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
9	8	a5i 1335	. . 3 |- (A.y y = z -> A.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
10		19.8a 1376	. . 3 |- (A.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x) -> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
11	9, 10	syl 12	. 2 |- (A.y y = z -> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
12		zfun 3791	. . 3 |- E.xA.w(E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x)
13		hbnae 1507	. . . 4 |- (-. A.y y = z -> A.x -. A.y y = z)
14		hbnae 1507	. . . . 5 |- (-. A.y y = z -> A.y -. A.y y = z)
15		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (w e. x -> A.y w e. x)
16	15	a1i 8	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = z -> (w e. x -> A.y w e. x))
17		dveel2 1748	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = z -> (x e. z -> A.y x e. z))
18	16, 17	hband 1469	. . . . . . 7 |- (-. A.y y = z -> ((w e. x /\ x e. z) -> A.y(w e. x /\ x e. z)))
19	13, 18	hbexd 1472	. . . . . 6 |- (-. A.y y = z -> (E.x(w e. x /\ x e. z) -> A.yE.x(w e. x /\ x e. z)))
20	14, 19, 16	hbimd 1468	. . . . 5 |- (-. A.y y = z -> ((E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x) -> A.y(E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x)))
21		elequ1 1496	. . . . . . . . 9 |- (w = y -> (w e. x <-> y e. x))
22	21	anbi1d 679	. . . . . . . 8 |- (w = y -> ((w e. x /\ x e. z) <-> (y e. x /\ x e. z)))
23	22	exbidv 1657	. . . . . . 7 |- (w = y -> (E.x(w e. x /\ x e. z) <-> E.x(y e. x /\ x e. z)))
24	23, 21	imbi12d 688	. . . . . 6 |- (w = y -> ((E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x) <-> (E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)))
25	24	a1i 8	. . . . 5 |- (-. A.y y = z -> (w = y -> ((E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x) <-> (E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))))
26	14, 20, 25	cbvald 1702	. . . 4 |- (-. A.y y = z -> (A.w(E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x) <-> A.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)))
27	13, 26	exbid 1460	. . 3 |- (-. A.y y = z -> (E.xA.w(E.x(w e. x /\ x e. z) -> w e. x) <-> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)))
28	12, 27	mpbii 210	. 2 |- (-. A.y y = z -> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
29	11, 28	pm2.61i 140	1 |- E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326

This theorem is referenced by:  axunnd 6100

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-eprel 3583  df-fr 3625

Copyright terms: Public domain