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Theorem axunndlem1 8759
Description: Lemma for the Axiom of Union with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axunndlem1  |-  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )
Distinct variable groups:    x, y    x, z

Proof of Theorem axunndlem1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 en2lp 7819 . . . . . . . 8  |-  -.  (
y  e.  x  /\  x  e.  y )
2 elequ2 1761 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  z ) )
32anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  e.  x  /\  x  e.  y
)  <->  ( y  e.  x  /\  x  e.  z ) ) )
41, 3mtbii 302 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  -.  ( y  e.  x  /\  x  e.  z
) )
54sps 1800 . . . . . 6  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  ( y  e.  x  /\  x  e.  z ) )
65nexdv 1818 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )
)
76pm2.21d 106 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
87axc4i 1832 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  A. y ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
9 19.8a 1793 . . 3  |-  ( A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )  ->  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  E. x A. y
( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
11 zfun 6373 . . 3  |-  E. x A. w ( E. x
( w  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  w  e.  x )
12 nfnae 2005 . . . . 5  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  z
13 nfnae 2005 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
14 nfvd 1674 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y  w  e.  x )
15 nfcvf 2601 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ y z )
1615nfcrd 2592 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y  x  e.  z )
1714, 16nfand 1858 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y
( w  e.  x  /\  x  e.  z
) )
1813, 17nfexd 1878 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y E. x ( w  e.  x  /\  x  e.  z ) )
1918, 14nfimd 1850 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y
( E. x ( w  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  w  e.  x ) )
20 elequ1 1759 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
2120anbi1d 704 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  e.  x  /\  x  e.  z
)  <->  ( y  e.  x  /\  x  e.  z ) ) )
2221exbidv 1680 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  ( E. x ( w  e.  x  /\  x  e.  z )  <->  E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
) ) )
2322, 20imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( E. x ( w  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  w  e.  x )  <-> 
( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( w  =  y  ->  ( ( E. x ( w  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  w  e.  x )  <->  ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
2512, 19, 24cbvald 1973 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. w ( E. x
( w  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  w  e.  x )  <->  A. y
( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
2625exbidv 1680 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( E. x A. w ( E. x ( w  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  w  e.  x )  <->  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x ) ) )
2711, 26mpbii 211 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x ) )
2810, 27pm2.61i 164 1  |-  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367   E.wex 1586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-reg 7807
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-br 4293  df-opab 4351  df-eprel 4632  df-fr 4679
This theorem is referenced by:  axunnd  8760
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