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Theorem axunndlem1 8982
Description: Lemma for the Axiom of Union with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axunndlem1  |-  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )
Distinct variable groups:    x, y    x, z

Proof of Theorem axunndlem1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 en2lp 8042 . . . . . . . 8  |-  -.  (
y  e.  x  /\  x  e.  y )
2 elequ2 1772 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  z  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  z ) )
32anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  e.  x  /\  x  e.  y
)  <->  ( y  e.  x  /\  x  e.  z ) ) )
41, 3mtbii 302 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  -.  ( y  e.  x  /\  x  e.  z
) )
54sps 1814 . . . . . 6  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  ( y  e.  x  /\  x  e.  z ) )
65nexdv 1832 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )
)
76pm2.21d 106 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
87axc4i 1846 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  A. y ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
9 19.8a 1806 . . 3  |-  ( A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )  ->  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  E. x A. y
( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) )
11 zfun 6588 . . 3  |-  E. x A. w ( E. x
( w  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  w  e.  x )
12 nfnae 2031 . . . . 5  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  z
13 nfnae 2031 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
14 nfvd 1684 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y  w  e.  x )
15 nfcvf 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ y z )
1615nfcrd 2635 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y  x  e.  z )
1714, 16nfand 1872 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y
( w  e.  x  /\  x  e.  z
) )
1813, 17nfexd 1899 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y E. x ( w  e.  x  /\  x  e.  z ) )
1918, 14nfimd 1864 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y
( E. x ( w  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  w  e.  x ) )
20 elequ1 1770 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
2120anbi1d 704 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  e.  x  /\  x  e.  z
)  <->  ( y  e.  x  /\  x  e.  z ) ) )
2221exbidv 1690 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  ( E. x ( w  e.  x  /\  x  e.  z )  <->  E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
) ) )
2322, 20imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( E. x ( w  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  w  e.  x )  <-> 
( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
2423a1i 11 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( w  =  y  ->  ( ( E. x ( w  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  w  e.  x )  <->  ( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
2512, 19, 24cbvald 1998 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. w ( E. x
( w  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  w  e.  x )  <->  A. y
( E. x ( y  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
2625exbidv 1690 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( E. x A. w ( E. x ( w  e.  x  /\  x  e.  z )  ->  w  e.  x )  <->  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x ) ) )
2711, 26mpbii 211 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x ) )
2810, 27pm2.61i 164 1  |-  E. x A. y ( E. x
( y  e.  x  /\  x  e.  z
)  ->  y  e.  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377   E.wex 1596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-reg 8030
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-br 4454  df-opab 4512  df-eprel 4797  df-fr 4844
This theorem is referenced by:  axunnd  8983
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