Theorem axunnd 6100

Description: A version of the Axiom of Union with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axunnd	|- E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)

Proof of Theorem axunnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axunndlem1 6099	. . . 4 |- E.wA.y(E.w(y e. w /\ w e. z) -> y e. w)
2		hbnae 1507	. . . . . 6 |- (-. A.x x = y -> A.x -. A.x x = y)
3		hbnae 1507	. . . . . 6 |- (-. A.x x = z -> A.x -. A.x x = z)
4	2, 3	hban 1356	. . . . 5 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> A.x(-. A.x x = y /\ -. A.x x = z))
5		hbnae 1507	. . . . . . 7 |- (-. A.x x = y -> A.y -. A.x x = y)
6		hbnae 1507	. . . . . . 7 |- (-. A.x x = z -> A.y -. A.x x = z)
7	5, 6	hban 1356	. . . . . 6 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> A.y(-. A.x x = y /\ -. A.x x = z))
8		ax-17 1317	. . . . . . . 8 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> A.w(-. A.x x = y /\ -. A.x x = z))
9		dveel1 1747	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.x x = y -> (y e. w -> A.x y e. w))
10	9	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (y e. w -> A.x y e. w))
11		dveel2 1748	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.x x = z -> (w e. z -> A.x w e. z))
12	11	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (w e. z -> A.x w e. z))
13	10, 12	hband 1469	. . . . . . . 8 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> ((y e. w /\ w e. z) -> A.x(y e. w /\ w e. z)))
14	8, 13	hbexd 1472	. . . . . . 7 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (E.w(y e. w /\ w e. z) -> A.xE.w(y e. w /\ w e. z)))
15	4, 14, 10	hbimd 1468	. . . . . 6 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> ((E.w(y e. w /\ w e. z) -> y e. w) -> A.x(E.w(y e. w /\ w e. z) -> y e. w)))
16	7, 15	hbald 1471	. . . . 5 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (A.y(E.w(y e. w /\ w e. z) -> y e. w) -> A.xA.y(E.w(y e. w /\ w e. z) -> y e. w)))
17		nd5 6094	. . . . . . . . 9 |- (-. A.x x = y -> (w = x -> A.y w = x))
18	17	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (w = x -> A.y w = x))
19	18	imdistani 491	. . . . . . 7 |- (((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ w = x) -> ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ A.y w = x))
20		hba1 1350	. . . . . . . . 9 |- (A.y w = x -> A.yA.y w = x)
21	7, 20	hban 1356	. . . . . . . 8 |- (((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ A.y w = x) -> A.y((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ A.y w = x))
22		elequ2 1497	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = x -> (y e. w <-> y e. x))
23		elequ1 1496	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = x -> (w e. z <-> x e. z))
24	22, 23	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = x -> ((y e. w /\ w e. z) <-> (y e. x /\ x e. z)))
25	24	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (w = x -> ((y e. w /\ w e. z) <-> (y e. x /\ x e. z))))
26	4, 13, 25	cbvexd 1704	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (E.w(y e. w /\ w e. z) <-> E.x(y e. x /\ x e. z)))
27	26	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- (((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ A.y w = x) -> (E.w(y e. w /\ w e. z) <-> E.x(y e. x /\ x e. z)))
28	22	a4s 1330	. . . . . . . . . 10 |- (A.y w = x -> (y e. w <-> y e. x))
29	28	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- (((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ A.y w = x) -> (y e. w <-> y e. x))
30	27, 29	imbi12d 688	. . . . . . . 8 |- (((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ A.y w = x) -> ((E.w(y e. w /\ w e. z) -> y e. w) <-> (E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)))
31	21, 30	albid 1459	. . . . . . 7 |- (((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ A.y w = x) -> (A.y(E.w(y e. w /\ w e. z) -> y e. w) <-> A.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)))
32	19, 31	syl 12	. . . . . 6 |- (((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ w = x) -> (A.y(E.w(y e. w /\ w e. z) -> y e. w) <-> A.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)))
33	32	ex 402	. . . . 5 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (w = x -> (A.y(E.w(y e. w /\ w e. z) -> y e. w) <-> A.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))))
34	4, 16, 33	cbvexd 1704	. . . 4 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (E.wA.y(E.w(y e. w /\ w e. z) -> y e. w) <-> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)))
35	1, 34	mpbii 210	. . 3 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
36	35	ex 402	. 2 |- (-. A.x x = y -> (-. A.x x = z -> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)))
37		hbae 1505	. . . 4 |- (A.x x = y -> A.yA.x x = y)
38		hbae 1505	. . . . . 6 |- (A.x x = y -> A.xA.x x = y)
39		elirrv 5700	. . . . . . . 8 |- -. y e. y
40		elequ2 1497	. . . . . . . . 9 |- (x = y -> (y e. x <-> y e. y))
41		simpl 346	. . . . . . . . 9 |- ((y e. x /\ x e. z) -> y e. x)
42	40, 41	syl5bi 225	. . . . . . . 8 |- (x = y -> ((y e. x /\ x e. z) -> y e. y))
43	39, 42	mtoi 122	. . . . . . 7 |- (x = y -> -. (y e. x /\ x e. z))
44	43	a4s 1330	. . . . . 6 |- (A.x x = y -> -. (y e. x /\ x e. z))
45	38, 44	nexd 1457	. . . . 5 |- (A.x x = y -> -. E.x(y e. x /\ x e. z))
46	45	pm2.21d 94	. . . 4 |- (A.x x = y -> (E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
47	37, 46	19.21ai 1345	. . 3 |- (A.x x = y -> A.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
48		19.8a 1376	. . 3 |- (A.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x) -> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
49	47, 48	syl 12	. 2 |- (A.x x = y -> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
50		hbae 1505	. . . 4 |- (A.x x = z -> A.yA.x x = z)
51		hbae 1505	. . . . . 6 |- (A.x x = z -> A.xA.x x = z)
52		elirrv 5700	. . . . . . . 8 |- -. z e. z
53		elequ1 1496	. . . . . . . . 9 |- (x = z -> (x e. z <-> z e. z))
54		simpr 350	. . . . . . . . 9 |- ((y e. x /\ x e. z) -> x e. z)
55	53, 54	syl5bi 225	. . . . . . . 8 |- (x = z -> ((y e. x /\ x e. z) -> z e. z))
56	52, 55	mtoi 122	. . . . . . 7 |- (x = z -> -. (y e. x /\ x e. z))
57	56	a4s 1330	. . . . . 6 |- (A.x x = z -> -. (y e. x /\ x e. z))
58	51, 57	nexd 1457	. . . . 5 |- (A.x x = z -> -. E.x(y e. x /\ x e. z))
59	58	pm2.21d 94	. . . 4 |- (A.x x = z -> (E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
60	50, 59	19.21ai 1345	. . 3 |- (A.x x = z -> A.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
61	60, 48	syl 12	. 2 |- (A.x x = z -> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
62	36, 49, 61	pm2.61ii 144	1 |- E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326

This theorem is referenced by:  zfcndun 6119  axunprim 13787

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-eprel 3583  df-fr 3625

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