Theorem axun 2923

Description: Axiom of Union expressed with fewest number of different variables.

Assertion

Ref	Expression
axun	|- E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)

Distinct variable group:   x,y,z

Proof of Theorem axun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-un 2922	. 2 |- E.xA.y(E.w(y e. w /\ w e. z) -> y e. x)
2		elequ2 1179	. . . . . . 7 |- (w = x -> (y e. w <-> y e. x))
3		elequ1 1178	. . . . . . 7 |- (w = x -> (w e. z <-> x e. z))
4	2, 3	anbi12d 639	. . . . . 6 |- (w = x -> ((y e. w /\ w e. z) <-> (y e. x /\ x e. z)))
5	4	cbvexv 1357	. . . . 5 |- (E.w(y e. w /\ w e. z) <-> E.x(y e. x /\ x e. z))
6	5	imbi1i 193	. . . 4 |- ((E.w(y e. w /\ w e. z) -> y e. x) <-> (E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
7	6	albii 1040	. . 3 |- (A.y(E.w(y e. w /\ w e. z) -> y e. x) <-> A.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
8	7	exbii 1092	. 2 |- (E.xA.y(E.w(y e. w /\ w e. z) -> y e. x) <-> E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x))
9	1, 8	mpbi 196	1 |- E.xA.y(E.x(y e. x /\ x e. z) -> y e. x)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 230  A.wal 995   = wceq 997   e. wcel 999  E.wex 1021

This theorem is referenced by:  uniex2 2925  axunndlem1 5012

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-an 232  df-ex 1022

Copyright terms: Public domain