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Theorem axtgsegcon 23686
Description: Axiom of segment construction, Axiom A4 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
axtrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
axtrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
axtrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
axtrkg.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
axtgsegcon.1  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
axtgsegcon.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
axtgsegcon.3  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
axtgsegcon.4  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
Assertion
Ref Expression
axtgsegcon  |-  ( ph  ->  E. z  e.  P  ( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( A  .-  B ) ) )
Distinct variable groups:    z, A    z, B    z, I    z, P    z, X    z, Y    z, 
.-
Allowed substitution hints:    ph( z)    G( z)

Proof of Theorem axtgsegcon
Dummy variables  f 
i  p  x  y  a  b  c  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-trkg 23675 . . . . . 6  |- TarskiG  =  ( (TarskiGC  i^i TarskiGB )  i^i  (TarskiGCB  i^i  {
f  |  [. ( Base `  f )  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p  \  {
x } )  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } ) )
2 inss2 3719 . . . . . . 7  |-  ( (TarskiGC  i^i TarskiGB )  i^i  (TarskiGCB  i^i  { f  | 
[. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p 
\  { x }
)  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } ) )  C_  (TarskiGCB  i^i  { f  |  [. ( Base `  f )  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p  \  {
x } )  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } )
3 inss1 3718 . . . . . . 7  |-  (TarskiGCB  i^i  {
f  |  [. ( Base `  f )  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p  \  {
x } )  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } )  C_ TarskiGCB
42, 3sstri 3513 . . . . . 6  |-  ( (TarskiGC  i^i TarskiGB )  i^i  (TarskiGCB  i^i  { f  | 
[. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p 
\  { x }
)  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } ) )  C_ TarskiGCB
51, 4eqsstri 3534 . . . . 5  |- TarskiG  C_ TarskiGCB
6 axtrkg.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
75, 6sseldi 3502 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiGCB )
8 axtrkg.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( Base `  G
)
9 axtrkg.d . . . . . . 7  |-  .-  =  ( dist `  G )
10 axtrkg.i . . . . . . 7  |-  I  =  (Itv `  G )
118, 9, 10istrkgcb 23678 . . . . . 6  |-  ( G  e. TarskiGCB  <->  ( G  e.  _V  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y 
.-  z )  =  ( a  .-  b
) ) ) ) )
1211simprbi 464 . . . . 5  |-  ( G  e. TarskiGCB 
->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a
I c ) )  /\  ( ( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  (
y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  -> 
( z  .-  u
)  =  ( c 
.-  v ) )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y 
.-  z )  =  ( a  .-  b
) ) ) )
1312simprd 463 . . . 4  |-  ( G  e. TarskiGCB 
->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) ) )
147, 13syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) ) )
15 axtgsegcon.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
16 axtgsegcon.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
17 oveq1 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x I z )  =  ( X I z ) )
1817eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
y  e.  ( x I z )  <->  y  e.  ( X I z ) ) )
1918anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( y  e.  ( x I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) )  <->  ( y  e.  ( X I z )  /\  ( y 
.-  z )  =  ( a  .-  b
) ) ) )
2019rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) )  <->  E. z  e.  P  ( y  e.  ( X I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) ) ) )
21202ralbidv 2908 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) )  <->  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( X I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) ) ) )
22 eleq1 2539 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  e.  ( X I z )  <->  Y  e.  ( X I z ) ) )
23 oveq1 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .-  z )  =  ( Y  .-  z ) )
2423eqeq1d 2469 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( y  .-  z
)  =  ( a 
.-  b )  <->  ( Y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) ) )
2522, 24anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
( y  e.  ( X I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) )  <->  ( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y 
.-  z )  =  ( a  .-  b
) ) ) )
2625rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( E. z  e.  P  ( y  e.  ( X I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) )  <->  E. z  e.  P  ( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) ) ) )
27262ralbidv 2908 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( X I z )  /\  ( y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) )  <->  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) ) ) )
2821, 27rspc2v 3223 . . . 4  |-  ( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y 
.-  z )  =  ( a  .-  b
) )  ->  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y 
.-  z )  =  ( a  .-  b
) ) ) )
2915, 16, 28syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y 
.-  z )  =  ( a  .-  b
) )  ->  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y 
.-  z )  =  ( a  .-  b
) ) ) )
3014, 29mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) ) )
31 axtgsegcon.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
32 axtgsegcon.4 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
33 oveq1 6292 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
a  .-  b )  =  ( A  .-  b ) )
3433eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( Y  .-  z
)  =  ( a 
.-  b )  <->  ( Y  .-  z )  =  ( A  .-  b ) ) )
3534anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) )  <->  ( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y 
.-  z )  =  ( A  .-  b
) ) ) )
3635rexbidv 2973 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  ( E. z  e.  P  ( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( a  .-  b ) )  <->  E. z  e.  P  ( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( A  .-  b ) ) ) )
37 oveq2 6293 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A  .-  b )  =  ( A  .-  B
) )
3837eqeq2d 2481 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
( Y  .-  z
)  =  ( A 
.-  b )  <->  ( Y  .-  z )  =  ( A  .-  B ) ) )
3938anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  (
( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( A  .-  b ) )  <->  ( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y 
.-  z )  =  ( A  .-  B
) ) ) )
4039rexbidv 2973 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  ( E. z  e.  P  ( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( A  .-  b ) )  <->  E. z  e.  P  ( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( A  .-  B ) ) ) )
4136, 40rspc2v 3223 . . 3  |-  ( ( A  e.  P  /\  B  e.  P )  ->  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y 
.-  z )  =  ( a  .-  b
) )  ->  E. z  e.  P  ( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y 
.-  z )  =  ( A  .-  B
) ) ) )
4231, 32, 41syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y 
.-  z )  =  ( a  .-  b
) )  ->  E. z  e.  P  ( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y 
.-  z )  =  ( A  .-  B
) ) ) )
4330, 42mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. z  e.  P  ( Y  e.  ( X I z )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( A  .-  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   [.wsbc 3331    \ cdif 3473    i^i cin 3475   {csn 4027   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287   Basecbs 14493   distcds 14567  TarskiGcstrkg 23650  TarskiGCcstrkgc 23651  TarskiGBcstrkgb 23652  TarskiGCBcstrkgcb 23653  Itvcitv 23657  LineGclng 23658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-iota 5551  df-fv 5596  df-ov 6288  df-trkgcb 23671  df-trkg 23675
This theorem is referenced by:  tgcgrtriv  23700  tgbtwntriv2  23703  tgbtwnouttr2  23711  tgbtwndiff  23722  tgifscgr  23725  tgcgrxfr  23734  lnext  23778  tgbtwnconn1lem3  23785  tgbtwnconn1  23786  legtrid  23802  mirreu3  23845  miriso  23860  midexlem  23874  footex  23900  mideulem  23910  f1otrg  23947
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