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Theorem axtgeucl 22938
Description: Euclid's Axiom. Axiom A10 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
axtrkge.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
axtrkge.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
axtrkge.i  |-  I  =  (Itv `  G )
axtgeucl.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiGE )
axtgeucl.1  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
axtgeucl.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
axtgeucl.3  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
axtgeucl.4  |-  ( ph  ->  U  e.  P )
axtgeucl.5  |-  ( ph  ->  V  e.  P )
axtgeucl.6  |-  ( ph  ->  U  e.  ( X I V ) )
axtgeucl.7  |-  ( ph  ->  U  e.  ( Y I Z ) )
axtgeucl.8  |-  ( ph  ->  X  =/=  U )
Assertion
Ref Expression
axtgeucl  |-  ( ph  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  V  e.  ( a I b ) ) )
Distinct variable groups:    a, b, I    P, a, b    V, a, b    U, a, b    X, a, b    Y, a, b    Z, a, b    .- , a,
b
Allowed substitution hints:    ph( a, b)    G( a, b)

Proof of Theorem axtgeucl
Dummy variables  v  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axtgeucl.6 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  ( X I V ) )
2 axtgeucl.7 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  ( Y I Z ) )
3 axtgeucl.8 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  U )
41, 2, 33jca 1168 . 2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  ( X I V )  /\  U  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/=  U
) )
5 axtgeucl.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiGE )
6 axtrkge.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( Base `  G
)
7 axtrkge.d . . . . . . 7  |-  .-  =  ( dist `  G )
8 axtrkge.i . . . . . . 7  |-  I  =  (Itv `  G )
96, 7, 8istrkge 22925 . . . . . 6  |-  ( G  e. TarskiGE  <->  ( G  e.  _V  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  (
( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u
)  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) ) )
105, 9sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G  e.  _V  /\ 
A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) ) )
1110simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) )
12 axtgeucl.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
13 axtgeucl.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
14 axtgeucl.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
15 oveq1 6103 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
x I v )  =  ( X I v ) )
1615eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
u  e.  ( x I v )  <->  u  e.  ( X I v ) ) )
17 neeq1 2621 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x  =/=  u  <->  X  =/=  u ) )
1816, 173anbi13d 1291 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u
)  <->  ( u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  X  =/=  u ) ) )
19 oveq1 6103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
x I a )  =  ( X I a ) )
2019eleq2d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
y  e.  ( x I a )  <->  y  e.  ( X I a ) ) )
21 oveq1 6103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
x I b )  =  ( X I b ) )
2221eleq2d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
z  e.  ( x I b )  <->  z  e.  ( X I b ) ) )
2320, 223anbi12d 1290 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) )  <->  ( y  e.  ( X I a )  /\  z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) )
24232rexbidv 2763 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) )  <->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( X I a )  /\  z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) )
2518, 24imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  ( (
u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( y
I z )  /\  X  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( X I a )  /\  z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) ) )
26252ralbidv 2762 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( (
u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( y
I z )  /\  X  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( X I a )  /\  z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) ) )
27 oveq1 6103 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  (
y I z )  =  ( Y I z ) )
2827eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (
u  e.  ( y I z )  <->  u  e.  ( Y I z ) ) )
29283anbi2d 1294 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  X  =/=  u
)  <->  ( u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( Y I z )  /\  X  =/=  u ) ) )
30 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  e.  ( X I a )  <->  Y  e.  ( X I a ) ) )
31303anbi1d 1293 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (
( y  e.  ( X I a )  /\  z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) )  <->  ( Y  e.  ( X I a )  /\  z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) )
32312rexbidv 2763 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  ( E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( X I a )  /\  z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) )  <->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) )
3329, 32imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  X  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( X I a )  /\  z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  ( (
u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( Y I z )  /\  X  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) ) )
34332ralbidv 2762 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  X  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( X I a )  /\  z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( (
u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( Y I z )  /\  X  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) ) )
35 oveq2 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  ( Y I z )  =  ( Y I Z ) )
3635eleq2d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  Z  ->  (
u  e.  ( Y I z )  <->  u  e.  ( Y I Z ) ) )
37363anbi2d 1294 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  Z  ->  (
( u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( Y I z )  /\  X  =/=  u
)  <->  ( u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/=  u ) ) )
38 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  (
z  e.  ( X I b )  <->  Z  e.  ( X I b ) ) )
39383anbi2d 1294 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  Z  ->  (
( Y  e.  ( X I a )  /\  z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) )  <->  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) )
40392rexbidv 2763 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  Z  ->  ( E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) )  <->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) )
4137, 40imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( Y I z )  /\  X  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  ( (
u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) ) )
42412ralbidv 2762 . . . . . 6  |-  ( z  =  Z  ->  ( A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( Y I z )  /\  X  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( (
u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) ) )
4326, 34, 42rspc3v 3087 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P  /\  Z  e.  P )  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  ->  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) ) )
4412, 13, 14, 43syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( x I v )  /\  u  e.  ( y I z )  /\  x  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( y  e.  ( x I a )  /\  z  e.  ( x I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  ->  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) ) )
4511, 44mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) )
46 axtgeucl.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  P )
47 axtgeucl.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  P )
48 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
u  e.  ( X I v )  <->  U  e.  ( X I v ) ) )
49 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
u  e.  ( Y I Z )  <->  U  e.  ( Y I Z ) ) )
50 neeq2 2622 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  ( X  =/=  u  <->  X  =/=  U ) )
5148, 49, 503anbi123d 1289 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
( u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/=  u
)  <->  ( U  e.  ( X I v )  /\  U  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/= 
U ) ) )
5251imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  ( ( U  e.  ( X I v )  /\  U  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/=  U )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) ) ) )
53 oveq2 6104 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  V  ->  ( X I v )  =  ( X I V ) )
5453eleq2d 2510 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  ( U  e.  ( X I v )  <->  U  e.  ( X I V ) ) )
55543anbi1d 1293 . . . . . 6  |-  ( v  =  V  ->  (
( U  e.  ( X I v )  /\  U  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/=  U
)  <->  ( U  e.  ( X I V )  /\  U  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/= 
U ) ) )
56 eleq1 2503 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  V  ->  (
v  e.  ( a I b )  <->  V  e.  ( a I b ) ) )
57563anbi3d 1295 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  (
( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) )  <->  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  V  e.  ( a I b ) ) ) )
58572rexbidv 2763 . . . . . 6  |-  ( v  =  V  ->  ( E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) )  <->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  V  e.  ( a I b ) ) ) )
5955, 58imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( U  e.  ( X I v )  /\  U  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/= 
U )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  <->  ( ( U  e.  ( X I V )  /\  U  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/= 
U )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  V  e.  ( a I b ) ) ) ) )
6052, 59rspc2v 3084 . . . 4  |-  ( ( U  e.  P  /\  V  e.  P )  ->  ( A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  -> 
( ( U  e.  ( X I V )  /\  U  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/= 
U )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  V  e.  ( a I b ) ) ) ) )
6146, 47, 60syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( ( u  e.  ( X I v )  /\  u  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/=  u )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  v  e.  ( a I b ) ) )  -> 
( ( U  e.  ( X I V )  /\  U  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/= 
U )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  V  e.  ( a I b ) ) ) ) )
6245, 61mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( U  e.  ( X I V )  /\  U  e.  ( Y I Z )  /\  X  =/= 
U )  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  V  e.  ( a I b ) ) ) )
634, 62mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. a  e.  P  E. b  e.  P  ( Y  e.  ( X I a )  /\  Z  e.  ( X I b )  /\  V  e.  ( a I b ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   Basecbs 14179   distcds 14252  TarskiGEcstrkge 22901  Itvcitv 22902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4426
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-iota 5386  df-fv 5431  df-ov 6099  df-trkge 22917
This theorem is referenced by:  f1otrge  23123
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