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Theorem axtgcont1 23729
Description: Axiom of Continuity. Axiom A11 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
axtrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
axtrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
axtrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
axtrkg.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
axtgcont.1  |-  ( ph  ->  S  C_  P )
axtgcont.2  |-  ( ph  ->  T  C_  P )
Assertion
Ref Expression
axtgcont1  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  T  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  T  b  e.  ( x I y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y    a, b, x, y, I    P, a, b, x, y    S, a, b, x    T, a, b, x, y    .- , a,
b, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, a, b)    S( y)    G( x, y, a, b)

Proof of Theorem axtgcont1
Dummy variables  f 
i  p  z  v  s  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-trkg 23714 . . . . 5  |- TarskiG  =  ( (TarskiGC  i^i TarskiGB )  i^i  (TarskiGCB  i^i  {
f  |  [. ( Base `  f )  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p  \  {
x } )  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } ) )
2 inss1 3723 . . . . . 6  |-  ( (TarskiGC  i^i TarskiGB )  i^i  (TarskiGCB  i^i  { f  | 
[. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p 
\  { x }
)  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } ) )  C_  (TarskiGC  i^i TarskiGB )
3 inss2 3724 . . . . . 6  |-  (TarskiGC  i^i TarskiGB )  C_ TarskiGB
42, 3sstri 3518 . . . . 5  |-  ( (TarskiGC  i^i TarskiGB )  i^i  (TarskiGCB  i^i  { f  | 
[. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p 
\  { x }
)  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } ) )  C_ TarskiGB
51, 4eqsstri 3539 . . . 4  |- TarskiG  C_ TarskiGB
6 axtrkg.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
75, 6sseldi 3507 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiGB )
8 axtrkg.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  G
)
9 axtrkg.d . . . . . 6  |-  .-  =  ( dist `  G )
10 axtrkg.i . . . . . 6  |-  I  =  (Itv `  G )
118, 9, 10istrkgb 23716 . . . . 5  |-  ( G  e. TarskiGB  <->  ( G  e.  _V  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( (
u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y
I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  /\  A. s  e.  ~P  P A. t  e.  ~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) ) ) ) )
1211simprbi 464 . . . 4  |-  ( G  e. TarskiGB 
->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  (
( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  /\  A. s  e.  ~P  P A. t  e.  ~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) ) ) )
1312simp3d 1010 . . 3  |-  ( G  e. TarskiGB 
->  A. s  e.  ~P  P A. t  e.  ~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) ) )
147, 13syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A. s  e.  ~P  P A. t  e.  ~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) ) )
15 axtgcont.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  C_  P )
16 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  e.  _V
178, 16eqeltri 2551 . . . . . 6  |-  P  e. 
_V
1817ssex 4597 . . . . 5  |-  ( S 
C_  P  ->  S  e.  _V )
19 elpwg 4024 . . . . 5  |-  ( S  e.  _V  ->  ( S  e.  ~P P  <->  S 
C_  P ) )
2015, 18, 193syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  e.  ~P P 
<->  S  C_  P )
)
2115, 20mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  ~P P
)
22 axtgcont.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  C_  P )
2317ssex 4597 . . . . 5  |-  ( T 
C_  P  ->  T  e.  _V )
24 elpwg 4024 . . . . 5  |-  ( T  e.  _V  ->  ( T  e.  ~P P  <->  T 
C_  P ) )
2522, 23, 243syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T  e.  ~P P 
<->  T  C_  P )
)
2622, 25mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  ~P P
)
27 raleq 3063 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a
I y )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y ) ) )
2827rexbidv 2978 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a
I y )  <->  E. a  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y ) ) )
29 raleq 3063 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. x  e.  s  A. y  e.  t 
b  e.  ( x I y )  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) ) )
3029rexbidv 2978 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t 
b  e.  ( x I y )  <->  E. b  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) ) )
3128, 30imbi12d 320 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (
( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t 
b  e.  ( x I y ) )  <-> 
( E. a  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  t 
b  e.  ( x I y ) ) ) )
32 raleq 3063 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  ( A. y  e.  t  x  e.  ( a
I y )  <->  A. y  e.  T  x  e.  ( a I y ) ) )
3332rexralbidv 2986 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  ( E. a  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  t  x  e.  ( a
I y )  <->  E. a  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  T  x  e.  ( a I y ) ) )
34 raleq 3063 . . . . . 6  |-  ( t  =  T  ->  ( A. y  e.  t 
b  e.  ( x I y )  <->  A. y  e.  T  b  e.  ( x I y ) ) )
3534rexralbidv 2986 . . . . 5  |-  ( t  =  T  ->  ( E. b  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  t 
b  e.  ( x I y )  <->  E. b  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  T  b  e.  ( x I y ) ) )
3633, 35imbi12d 320 . . . 4  |-  ( t  =  T  ->  (
( E. a  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  t 
b  e.  ( x I y ) )  <-> 
( E. a  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  T  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  T  b  e.  ( x I y ) ) ) )
3731, 36rspc2v 3228 . . 3  |-  ( ( S  e.  ~P P  /\  T  e.  ~P P )  ->  ( A. s  e.  ~P  P A. t  e.  ~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) )  ->  ( E. a  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  T  x  e.  ( a
I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  T  b  e.  ( x I y ) ) ) )
3821, 26, 37syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. s  e. 
~P  P A. t  e.  ~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) )  ->  ( E. a  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  T  x  e.  ( a
I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  T  b  e.  ( x I y ) ) ) )
3914, 38mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  T  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  S  A. y  e.  T  b  e.  ( x I y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821   _Vcvv 3118   [.wsbc 3336    \ cdif 3478    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   {csn 4033   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   Basecbs 14506   distcds 14580  TarskiGcstrkg 23689  TarskiGCcstrkgc 23690  TarskiGBcstrkgb 23691  TarskiGCBcstrkgcb 23692  Itvcitv 23696  LineGclng 23697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6298  df-trkgb 23709  df-trkg 23714
This theorem is referenced by:  axtgcont  23730
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