Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axtgcont1 Structured version   Unicode version

Theorem axtgcont1 23729
 Description: Axiom of Continuity. Axiom A11 of [Schwabhauser] p. 13. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
axtrkg.p
axtrkg.d
axtrkg.i Itv
axtrkg.g TarskiG
axtgcont.1
axtgcont.2
Assertion
Ref Expression
axtgcont1
Distinct variable groups:   ,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   ()   (,,,)

Proof of Theorem axtgcont1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-trkg 23714 . . . . 5 TarskiG TarskiGC TarskiGB TarskiGCB Itv LineG
2 inss1 3723 . . . . . 6 TarskiGC TarskiGB TarskiGCB Itv LineG TarskiGC TarskiGB
3 inss2 3724 . . . . . 6 TarskiGC TarskiGB TarskiGB
42, 3sstri 3518 . . . . 5 TarskiGC TarskiGB TarskiGCB Itv LineG TarskiGB
51, 4eqsstri 3539 . . . 4 TarskiG TarskiGB
6 axtrkg.g . . . 4 TarskiG
75, 6sseldi 3507 . . 3 TarskiGB
8 axtrkg.p . . . . . 6
9 axtrkg.d . . . . . 6
10 axtrkg.i . . . . . 6 Itv
118, 9, 10istrkgb 23716 . . . . 5 TarskiGB
1211simprbi 464 . . . 4 TarskiGB
1312simp3d 1010 . . 3 TarskiGB
147, 13syl 16 . 2
15 axtgcont.1 . . . 4
16 fvex 5882 . . . . . . 7
178, 16eqeltri 2551 . . . . . 6
1817ssex 4597 . . . . 5
19 elpwg 4024 . . . . 5
2015, 18, 193syl 20 . . . 4
2115, 20mpbird 232 . . 3
22 axtgcont.2 . . . 4
2317ssex 4597 . . . . 5
24 elpwg 4024 . . . . 5
2522, 23, 243syl 20 . . . 4
2622, 25mpbird 232 . . 3
27 raleq 3063 . . . . . 6
2827rexbidv 2978 . . . . 5
29 raleq 3063 . . . . . 6
3029rexbidv 2978 . . . . 5
3128, 30imbi12d 320 . . . 4
32 raleq 3063 . . . . . 6
3332rexralbidv 2986 . . . . 5
34 raleq 3063 . . . . . 6
3534rexralbidv 2986 . . . . 5
3633, 35imbi12d 320 . . . 4
3731, 36rspc2v 3228 . . 3
3821, 26, 37syl2anc 661 . 2
3914, 38mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3o 972   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  cab 2452  wral 2817  wrex 2818  crab 2821  cvv 3118  wsbc 3336   cdif 3478   cin 3480   wss 3481  cpw 4016  csn 4033  cfv 5594  (class class class)co 6295   cmpt2 6297  cbs 14506  cds 14580  TarskiGcstrkg 23689  TarskiGCcstrkgc 23690  TarskiGBcstrkgb 23691  TarskiGCBcstrkgcb 23692  Itvcitv 23696  LineGclng 23697 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6298  df-trkgb 23709  df-trkg 23714 This theorem is referenced by:  axtgcont  23730
 Copyright terms: Public domain W3C validator