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Theorem axtgcgrrflx 23723
Description: Axiom of reflexivity of congruence, Axiom A1 of [Schwabhauser] p. 10. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
axtrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
axtrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
axtrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
axtrkg.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
axtgcgrrflx.1  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
axtgcgrrflx.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
Assertion
Ref Expression
axtgcgrrflx  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( Y 
.-  X ) )

Proof of Theorem axtgcgrrflx
Dummy variables  f 
i  p  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-trkg 23714 . . . . 5  |- TarskiG  =  ( (TarskiGC  i^i TarskiGB )  i^i  (TarskiGCB  i^i  {
f  |  [. ( Base `  f )  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p  \  {
x } )  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } ) )
2 inss1 3723 . . . . . 6  |-  ( (TarskiGC  i^i TarskiGB )  i^i  (TarskiGCB  i^i  { f  | 
[. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p 
\  { x }
)  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } ) )  C_  (TarskiGC  i^i TarskiGB )
3 inss1 3723 . . . . . 6  |-  (TarskiGC  i^i TarskiGB )  C_ TarskiGC
42, 3sstri 3518 . . . . 5  |-  ( (TarskiGC  i^i TarskiGB )  i^i  (TarskiGCB  i^i  { f  | 
[. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p 
\  { x }
)  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } ) )  C_ TarskiGC
51, 4eqsstri 3539 . . . 4  |- TarskiG  C_ TarskiGC
6 axtrkg.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
75, 6sseldi 3507 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiGC )
8 axtrkg.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  G
)
9 axtrkg.d . . . . . 6  |-  .-  =  ( dist `  G )
10 axtrkg.i . . . . . 6  |-  I  =  (Itv `  G )
118, 9, 10istrkgc 23715 . . . . 5  |-  ( G  e. TarskiGC  <->  ( G  e.  _V  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  .-  y )  =  ( y  .-  x )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  (
( x  .-  y
)  =  ( z 
.-  z )  ->  x  =  y )
) ) )
1211simprbi 464 . . . 4  |-  ( G  e. TarskiGC 
->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  .-  y )  =  ( y  .-  x )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  ( ( x 
.-  y )  =  ( z  .-  z
)  ->  x  =  y ) ) )
1312simpld 459 . . 3  |-  ( G  e. TarskiGC 
->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  .-  y )  =  ( y  .-  x ) )
147, 13syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  .-  y )  =  ( y  .-  x ) )
15 axtgcgrrflx.1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
16 axtgcgrrflx.2 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
17 oveq1 6302 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .-  y )  =  ( X  .-  y ) )
18 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
y  .-  x )  =  ( y  .-  X ) )
1917, 18eqeq12d 2489 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .-  y
)  =  ( y 
.-  x )  <->  ( X  .-  y )  =  ( y  .-  X ) ) )
20 oveq2 6303 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .-  y )  =  ( X  .-  Y
) )
21 oveq1 6302 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .-  X )  =  ( Y  .-  X ) )
2220, 21eqeq12d 2489 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .-  y
)  =  ( y 
.-  X )  <->  ( X  .-  Y )  =  ( Y  .-  X ) ) )
2319, 22rspc2v 3228 . . 3  |-  ( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  .-  y )  =  ( y  .-  x )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( Y  .-  X ) ) )
2415, 16, 23syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( x  .-  y )  =  ( y  .-  x )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( Y  .-  X ) ) )
2514, 24mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( Y 
.-  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2817   {crab 2821   _Vcvv 3118   [.wsbc 3336    \ cdif 3478    i^i cin 3480   {csn 4033   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   Basecbs 14506   distcds 14580  TarskiGcstrkg 23689  TarskiGCcstrkgc 23690  TarskiGBcstrkgb 23691  TarskiGCBcstrkgcb 23692  Itvcitv 23696  LineGclng 23697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6298  df-trkgc 23708  df-trkg 23714
This theorem is referenced by:  tgcgrcomlr  23735  tgbtwnconn1lem1  23822  tgbtwnconn1lem2  23823  tgbtwnconn1lem3  23824  miriso  23908  symquadlem  23921  midexlem  23924  footex  23950  colperpexlem1  23956  opphllem  23961  f1otrg  24006
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