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Theorem axtgbtwnid 23619
Description: Identity of Betweenness. Axiom A6 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
axtrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
axtrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
axtrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
axtrkg.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
axtgbtwnid.1  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
axtgbtwnid.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
axtgbtwnid.3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X I X ) )
Assertion
Ref Expression
axtgbtwnid  |-  ( ph  ->  X  =  Y )

Proof of Theorem axtgbtwnid
Dummy variables  f 
i  p  x  y  z  a  b  v  s  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-trkg 23606 . . . . 5  |- TarskiG  =  ( (TarskiGC  i^i TarskiGB )  i^i  (TarskiGCB  i^i  {
f  |  [. ( Base `  f )  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p  \  {
x } )  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } ) )
2 inss1 3718 . . . . . 6  |-  ( (TarskiGC  i^i TarskiGB )  i^i  (TarskiGCB  i^i  { f  | 
[. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p 
\  { x }
)  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } ) )  C_  (TarskiGC  i^i TarskiGB )
3 inss2 3719 . . . . . 6  |-  (TarskiGC  i^i TarskiGB )  C_ TarskiGB
42, 3sstri 3513 . . . . 5  |-  ( (TarskiGC  i^i TarskiGB )  i^i  (TarskiGCB  i^i  { f  | 
[. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p 
\  { x }
)  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } ) )  C_ TarskiGB
51, 4eqsstri 3534 . . . 4  |- TarskiG  C_ TarskiGB
6 axtrkg.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
75, 6sseldi 3502 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiGB )
8 axtrkg.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  G
)
9 axtrkg.d . . . . . 6  |-  .-  =  ( dist `  G )
10 axtrkg.i . . . . . 6  |-  I  =  (Itv `  G )
118, 9, 10istrkgb 23608 . . . . 5  |-  ( G  e. TarskiGB  <->  ( G  e.  _V  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  ( (
u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y
I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  /\  A. s  e.  ~P  P A. t  e.  ~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) ) ) ) )
1211simprbi 464 . . . 4  |-  ( G  e. TarskiGB 
->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. v  e.  P  (
( u  e.  ( x I z )  /\  v  e.  ( y I z ) )  ->  E. a  e.  P  ( a  e.  ( u I y )  /\  a  e.  ( v I x ) ) )  /\  A. s  e.  ~P  P A. t  e.  ~P  P ( E. a  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  x  e.  ( a I y )  ->  E. b  e.  P  A. x  e.  s  A. y  e.  t  b  e.  ( x I y ) ) ) )
1312simp1d 1008 . . 3  |-  ( G  e. TarskiGB 
->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y ) )
147, 13syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y ) )
15 axtgbtwnid.3 . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X I X ) )
16 axtgbtwnid.1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
17 axtgbtwnid.2 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
18 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
1918, 18oveq12d 6302 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x I x )  =  ( X I X ) )
2019eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
y  e.  ( x I x )  <->  y  e.  ( X I X ) ) )
21 eqeq1 2471 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
x  =  y  <->  X  =  y ) )
2220, 21imbi12d 320 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  <->  ( y  e.  ( X I X )  ->  X  =  y ) ) )
23 eleq1 2539 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  e.  ( X I X )  <->  Y  e.  ( X I X ) ) )
24 eqeq2 2482 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  =  y  <->  X  =  Y ) )
2523, 24imbi12d 320 . . . 4  |-  ( y  =  Y  ->  (
( y  e.  ( X I X )  ->  X  =  y )  <->  ( Y  e.  ( X I X )  ->  X  =  Y ) ) )
2622, 25rspc2v 3223 . . 3  |-  ( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P )  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  ->  ( Y  e.  ( X I X )  ->  X  =  Y ) ) )
2716, 17, 26syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  ( y  e.  ( x I x )  ->  x  =  y )  ->  ( Y  e.  ( X I X )  ->  X  =  Y ) ) )
2814, 15, 27mp2d 45 1  |-  ( ph  ->  X  =  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   [.wsbc 3331    \ cdif 3473    i^i cin 3475   ~Pcpw 4010   {csn 4027   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   Basecbs 14490   distcds 14564  TarskiGcstrkg 23581  TarskiGCcstrkgc 23582  TarskiGBcstrkgb 23583  TarskiGCBcstrkgcb 23584  Itvcitv 23588  LineGclng 23589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-iota 5551  df-fv 5596  df-ov 6287  df-trkgb 23601  df-trkg 23606
This theorem is referenced by:  tgbtwncom  23635  tgbtwnne  23637  tgbtwnswapid  23639  tgbtwnintr  23640  tgifscgr  23656  tgidinside  23713  tgbtwnconn1lem3  23716  coltr3  23770  mirinv  23788  miriso  23791  krippenlem  23803  midexlem  23805  colperpexlem3  23839  midid  23852  lmiisolem  23866  f1otrg  23878
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