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Theorem axtg5seg 23988
 Description: Five segments axiom, Axiom A5 of [Schwabhauser] p. 11. Take two triangles and , a point on , and a point on . If all corresponding line segments except for and are congruent ( i.e., , , , and ), then and are also congruent. As noted in Axiom 5 of [Tarski1999] p. 178, "this axiom is similar in character to the well-known theorems of Euclidean geometry that allow one to conclude, from hypotheses about the congruence of certain corresponding sides and angles in two triangles, the congruence of other corresponding sides and angles." (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
axtrkg.p
axtrkg.d
axtrkg.i Itv
axtrkg.g TarskiG
axtg5seg.1
axtg5seg.2
axtg5seg.3
axtg5seg.4
axtg5seg.5
axtg5seg.6
axtg5seg.7
axtg5seg.8
axtg5seg.9
axtg5seg.10
axtg5seg.11
axtg5seg.12
axtg5seg.13
axtg5seg.14
axtg5seg.15
Assertion
Ref Expression
axtg5seg

Proof of Theorem axtg5seg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-trkg 23976 . . . . . . 7 TarskiG TarskiGC TarskiGB TarskiGCB Itv LineG
2 inss2 3715 . . . . . . . 8 TarskiGC TarskiGB TarskiGCB Itv LineG TarskiGCB Itv LineG
3 inss1 3714 . . . . . . . 8 TarskiGCB Itv LineG TarskiGCB
42, 3sstri 3508 . . . . . . 7 TarskiGC TarskiGB TarskiGCB Itv LineG TarskiGCB
51, 4eqsstri 3529 . . . . . 6 TarskiG TarskiGCB
6 axtrkg.g . . . . . 6 TarskiG
75, 6sseldi 3497 . . . . 5 TarskiGCB
8 axtrkg.p . . . . . . . 8
9 axtrkg.d . . . . . . . 8
10 axtrkg.i . . . . . . . 8 Itv
118, 9, 10istrkgcb 23979 . . . . . . 7 TarskiGCB
1211simprbi 464 . . . . . 6 TarskiGCB
1312simpld 459 . . . . 5 TarskiGCB
147, 13syl 16 . . . 4
15 axtg5seg.1 . . . . 5
16 axtg5seg.2 . . . . 5
17 axtg5seg.3 . . . . 5
18 neeq1 2738 . . . . . . . . . . . 12
19 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13
2019eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12
2118, 203anbi12d 1300 . . . . . . . . . . 11
22 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14
2322eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13
2423anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12
25 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14
2625eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13
2726anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12
2824, 27anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11
2921, 28anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
3029imbi1d 317 . . . . . . . . 9
3130ralbidv 2896 . . . . . . . 8
32312ralbidv 2901 . . . . . . 7
33322ralbidv 2901 . . . . . 6
34 neeq2 2740 . . . . . . . . . . . 12
35 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
3634, 353anbi12d 1300 . . . . . . . . . . 11
37 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
3837eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13
39 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14
4039eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13
4138, 40anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12
42 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14
4342eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13
4443anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12
4541, 44anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11
4636, 45anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
4746imbi1d 317 . . . . . . . . 9
4847ralbidv 2896 . . . . . . . 8
49482ralbidv 2901 . . . . . . 7
50492ralbidv 2901 . . . . . 6
51 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13
5251eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12
53523anbi2d 1304 . . . . . . . . . . 11
54 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14
5554eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13
5655anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12
5756anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11
5853, 57anbi12d 710 . . . . . . . . . 10
59 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
6059eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
6158, 60imbi12d 320 . . . . . . . . 9
6261ralbidv 2896 . . . . . . . 8
63622ralbidv 2901 . . . . . . 7
64632ralbidv 2901 . . . . . 6
6533, 50, 64rspc3v 3222 . . . . 5
6615, 16, 17, 65syl3anc 1228 . . . 4
6714, 66mpd 15 . . 3
68 axtg5seg.7 . . . 4
69 axtg5seg.4 . . . 4
70 axtg5seg.5 . . . 4
71 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
7271eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
73 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
7473eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
7572, 74anbi12d 710 . . . . . . . . 9
7675anbi2d 703 . . . . . . . 8
7776anbi2d 703 . . . . . . 7
78 oveq2 6304 . . . . . . . 8
7978eqeq1d 2459 . . . . . . 7
8077, 79imbi12d 320 . . . . . 6
81802ralbidv 2901 . . . . 5
82 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10
8382eleq2d 2527 . . . . . . . . 9
84833anbi3d 1305 . . . . . . . 8
85 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
8685eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10
8786anbi1d 704 . . . . . . . . 9
88 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
8988eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10
9089anbi1d 704 . . . . . . . . 9
9187, 90anbi12d 710 . . . . . . . 8
9284, 91anbi12d 710 . . . . . . 7
9392imbi1d 317 . . . . . 6
94932ralbidv 2901 . . . . 5
95 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
96953anbi3d 1305 . . . . . . . 8
97 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
9897eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10
99 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
10099eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10
10198, 100anbi12d 710 . . . . . . . . 9
102 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11
103102eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10
104103anbi2d 703 . . . . . . . . 9
105101, 104anbi12d 710 . . . . . . . 8
10696, 105anbi12d 710 . . . . . . 7
107106imbi1d 317 . . . . . 6
1081072ralbidv 2901 . . . . 5
10981, 94, 108rspc3v 3222 . . . 4
11068, 69, 70, 109syl3anc 1228 . . 3
11167, 110mpd 15 . 2
112 axtg5seg.9 . . . 4
113 axtg5seg.10 . . . 4
114 axtg5seg.11 . . . 4
115112, 113, 1143jca 1176 . . 3
116 axtg5seg.12 . . . 4
117 axtg5seg.13 . . . 4
118116, 117jca 532 . . 3
119 axtg5seg.14 . . . 4
120 axtg5seg.15 . . . 4
121119, 120jca 532 . . 3
122115, 118, 121jca32 535 . 2
123 axtg5seg.6 . . 3
124 axtg5seg.8 . . 3
125 oveq2 6304 . . . . . . . 8
126125eleq2d 2527 . . . . . . 7
1271263anbi3d 1305 . . . . . 6
128 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
129128eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
130129anbi2d 703 . . . . . . 7
131130anbi1d 704 . . . . . 6
132127, 131anbi12d 710 . . . . 5
133 oveq1 6303 . . . . . 6
134133eqeq2d 2471 . . . . 5
135132, 134imbi12d 320 . . . 4
136 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
137136eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
138 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
139138eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
140137, 139anbi12d 710 . . . . . . 7
141140anbi2d 703 . . . . . 6
142141anbi2d 703 . . . . 5
143 oveq2 6304 . . . . . 6
144143eqeq2d 2471 . . . . 5
145142, 144imbi12d 320 . . . 4
146135, 145rspc2v 3219 . . 3
147123, 124, 146syl2anc 661 . 2
148111, 122, 147mp2d 45 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3o 972   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  cab 2442   wne 2652  wral 2807  wrex 2808  crab 2811  cvv 3109  wsbc 3327   cdif 3468   cin 3470  csn 4032  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmpt2 6298  cbs 14644  cds 14721  TarskiGcstrkg 23951  TarskiGCcstrkgc 23952  TarskiGBcstrkgb 23953  TarskiGCBcstrkgcb 23954  Itvcitv 23958  LineGclng 23959 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-nul 4586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6299  df-trkgcb 23972  df-trkg 23976 This theorem is referenced by:  tgcgrextend  24002  tgsegconeq  24003  tgifscgr  24026  tgfscgr  24081  tgbtwnconn1lem2  24086  tgbtwnconn1lem3  24087  miriso  24176  midexlem  24195  ragcgr  24210  footex  24221  lmiisolem  24287  f1otrg  24301  tg5segofs  28750
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