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Theorem axtg5seg 22948
Description: Five segments axiom, Axiom A5 of [Schwabhauser] p. 11. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
axtrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
axtrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
axtrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
axtrkg.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
axtg5seg.1  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
axtg5seg.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
axtg5seg.3  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
axtg5seg.4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
axtg5seg.5  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
axtg5seg.6  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
axtg5seg.7  |-  ( ph  ->  U  e.  P )
axtg5seg.8  |-  ( ph  ->  V  e.  P )
axtg5seg.9  |-  ( ph  ->  X  =/=  Y )
axtg5seg.10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X I Z ) )
axtg5seg.11  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
axtg5seg.12  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B ) )
axtg5seg.13  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( B 
.-  C ) )
axtg5seg.14  |-  ( ph  ->  ( X  .-  U
)  =  ( A 
.-  V ) )
axtg5seg.15  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  U
)  =  ( B 
.-  V ) )
Assertion
Ref Expression
axtg5seg  |-  ( ph  ->  ( Z  .-  U
)  =  ( C 
.-  V ) )

Proof of Theorem axtg5seg
Dummy variables  f 
i  p  x  y  z  a  b  c  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axtg5seg.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  Y )
2 axtg5seg.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X I Z ) )
3 axtg5seg.11 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
41, 2, 33jca 1168 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) ) )
5 axtg5seg.12 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B ) )
6 axtg5seg.13 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( B 
.-  C ) )
75, 6jca 532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) ) )
8 axtg5seg.14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .-  U
)  =  ( A 
.-  V ) )
9 axtg5seg.15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  U
)  =  ( B 
.-  V ) )
108, 9jca 532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  V )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V ) ) )
114, 7, 10jca32 535 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  V )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V ) ) ) ) )
12 df-trkg 22938 . . . . . . . 8  |- TarskiG  =  ( (TarskiGC  i^i TarskiGB )  i^i  (TarskiGCB  i^i  {
f  |  [. ( Base `  f )  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p  \  {
x } )  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } ) )
13 inss2 3592 . . . . . . . . 9  |-  ( (TarskiGC  i^i TarskiGB )  i^i  (TarskiGCB  i^i  { f  | 
[. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p 
\  { x }
)  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } ) )  C_  (TarskiGCB  i^i  { f  |  [. ( Base `  f )  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p  \  {
x } )  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } )
14 inss1 3591 . . . . . . . . 9  |-  (TarskiGCB  i^i  {
f  |  [. ( Base `  f )  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p  \  {
x } )  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } )  C_ TarskiGCB
1513, 14sstri 3386 . . . . . . . 8  |-  ( (TarskiGC  i^i TarskiGB )  i^i  (TarskiGCB  i^i  { f  | 
[. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p 
\  { x }
)  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } ) )  C_ TarskiGCB
1612, 15eqsstri 3407 . . . . . . 7  |- TarskiG  C_ TarskiGCB
17 axtrkg.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
1816, 17sseldi 3375 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiGCB )
19 axtrkg.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( Base `  G
)
20 axtrkg.d . . . . . . . . 9  |-  .-  =  ( dist `  G )
21 axtrkg.i . . . . . . . . 9  |-  I  =  (Itv `  G )
2219, 20, 21istrkgcb 22941 . . . . . . . 8  |-  ( G  e. TarskiGCB  <->  ( G  e.  _V  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y 
.-  z )  =  ( a  .-  b
) ) ) ) )
2322simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( G  e. TarskiGCB 
->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a
I c ) )  /\  ( ( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  (
y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  -> 
( z  .-  u
)  =  ( c 
.-  v ) )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y 
.-  z )  =  ( a  .-  b
) ) ) )
2423simpld 459 . . . . . 6  |-  ( G  e. TarskiGCB 
->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) )
2518, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) )
26 axtg5seg.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
27 axtg5seg.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
28 axtg5seg.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
29 neeq1 2644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  =/=  y  <->  X  =/=  y ) )
30 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
x I z )  =  ( X I z ) )
3130eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
y  e.  ( x I z )  <->  y  e.  ( X I z ) ) )
3229, 313anbi12d 1290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  =/=  y  /\  y  e.  (
x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  <->  ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) ) ) )
33 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .-  y )  =  ( X  .-  y ) )
3433eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .-  y
)  =  ( a 
.-  b )  <->  ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b ) ) )
3534anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  <->  ( ( X 
.-  y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) ) ) )
36 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .-  u )  =  ( X  .-  u ) )
3736eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .-  u
)  =  ( a 
.-  v )  <->  ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v ) ) )
3837anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) )  <->  ( ( X 
.-  u )  =  ( a  .-  v
)  /\  ( y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )
3935, 38anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ( x 
.-  y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) )  <-> 
( ( ( X 
.-  y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) ) )
4032, 39anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  <->  ( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) ) ) )
4140imbi1d 317 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  ( ( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a
I c ) )  /\  ( ( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  (
y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  -> 
( z  .-  u
)  =  ( c 
.-  v ) ) ) )
4241ralbidv 2756 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  ( A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
43422ralbidv 2778 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
44432ralbidv 2778 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
45 neeq2 2646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  =/=  y  <->  X  =/=  Y ) )
46 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  e.  ( X I z )  <->  Y  e.  ( X I z ) ) )
4745, 463anbi12d 1290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  <->  ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) ) ) )
48 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .-  y )  =  ( X  .-  Y
) )
4948eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .-  y
)  =  ( a 
.-  b )  <->  ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b ) ) )
50 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .-  z )  =  ( Y  .-  z ) )
5150eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  Y  ->  (
( y  .-  z
)  =  ( b 
.-  c )  <->  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) ) )
5249, 51anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  <->  ( ( X 
.-  Y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) ) ) )
53 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .-  u )  =  ( Y  .-  u ) )
5453eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  Y  ->  (
( y  .-  u
)  =  ( b 
.-  v )  <->  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) )
5554anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) )  <->  ( ( X 
.-  u )  =  ( a  .-  v
)  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )
5652, 55anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( ( X 
.-  y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) )  <-> 
( ( ( X 
.-  Y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) ) )
5747, 56anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  <->  ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) ) ) )
5857imbi1d 317 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a
I c ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c
) )  /\  (
( X  .-  u
)  =  ( a 
.-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
5958ralbidv 2756 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
60592ralbidv 2778 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
61602ralbidv 2778 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
62 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  Z  ->  ( X I z )  =  ( X I Z ) )
6362eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  Z  ->  ( Y  e.  ( X I z )  <->  Y  e.  ( X I Z ) ) )
64633anbi2d 1294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  <->  ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) ) ) )
65 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  Z  ->  ( Y  .-  z )  =  ( Y  .-  Z
) )
6665eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  Z  ->  (
( Y  .-  z
)  =  ( b 
.-  c )  <->  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) ) )
6766anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  <->  ( ( X 
.-  Y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) ) ) )
6867anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( ( X 
.-  Y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) )  <->  ( (
( X  .-  Y
)  =  ( a 
.-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) ) )
6964, 68anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( a 
.-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  <->  ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) ) ) )
70 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Z  ->  (
z  .-  u )  =  ( Z  .-  u ) )
7170eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  (
( z  .-  u
)  =  ( c 
.-  v )  <->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) )
7269, 71imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
7372ralbidv 2756 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  Z  ->  ( A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
74732ralbidv 2778 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  Z  ->  ( A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
75742ralbidv 2778 . . . . . . 7  |-  ( z  =  Z  ->  ( A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
7644, 61, 75rspc3v 3103 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P  /\  Z  e.  P )  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a
I c ) )  /\  ( ( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  (
y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  -> 
( z  .-  u
)  =  ( c 
.-  v ) )  ->  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
7726, 27, 28, 76syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a
I c ) )  /\  ( ( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  (
y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  -> 
( z  .-  u
)  =  ( c 
.-  v ) )  ->  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
7825, 77mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) )
79 axtg5seg.7 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  P )
80 axtg5seg.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
81 axtg5seg.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
82 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  U  ->  ( X  .-  u )  =  ( X  .-  U
) )
8382eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  U  ->  (
( X  .-  u
)  =  ( a 
.-  v )  <->  ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v ) ) )
84 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  U  ->  ( Y  .-  u )  =  ( Y  .-  U
) )
8584eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  U  ->  (
( Y  .-  u
)  =  ( b 
.-  v )  <->  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v ) ) )
8683, 85anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) )  <->  ( ( X 
.-  U )  =  ( a  .-  v
)  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v ) ) ) )
8786anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( ( X 
.-  Y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) )  <->  ( (
( X  .-  Y
)  =  ( a 
.-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v ) ) ) ) )
8887anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( a 
.-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  <->  ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) ) ) )
89 oveq2 6120 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  ( Z  .-  u )  =  ( Z  .-  U
) )
9089eqeq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( Z  .-  u
)  =  ( c 
.-  v )  <->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) ) )
9188, 90imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
92912ralbidv 2778 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  ( A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
93 oveq1 6119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  (
a I c )  =  ( A I c ) )
9493eleq2d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  (
b  e.  ( a I c )  <->  b  e.  ( A I c ) ) )
95943anbi3d 1295 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  (
( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  <->  ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( A I c ) ) ) )
96 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  A  ->  (
a  .-  b )  =  ( A  .-  b ) )
9796eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  (
( X  .-  Y
)  =  ( a 
.-  b )  <->  ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  b ) ) )
9897anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  <->  ( ( X 
.-  Y )  =  ( A  .-  b
)  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) ) ) )
99 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  A  ->  (
a  .-  v )  =  ( A  .-  v ) )
10099eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  (
( X  .-  U
)  =  ( a 
.-  v )  <->  ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v ) ) )
101100anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v ) )  <->  ( ( X 
.-  U )  =  ( A  .-  v
)  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v ) ) ) )
10298, 101anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ( X 
.-  Y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) )  <->  ( (
( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v ) ) ) ) )
10395, 102anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( a 
.-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  <->  ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) ) ) )
104103imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) )  <->  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
1051042ralbidv 2778 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
106 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
b  e.  ( A I c )  <->  B  e.  ( A I c ) ) )
1071063anbi3d 1295 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( A I c ) )  <->  ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) ) ) )
108 oveq2 6120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  B  ->  ( A  .-  b )  =  ( A  .-  B
) )
109108eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  B  ->  (
( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  b )  <->  ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B ) ) )
110 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  B  ->  (
b  .-  c )  =  ( B  .-  c ) )
111110eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  B  ->  (
( Y  .-  Z
)  =  ( b 
.-  c )  <->  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) ) )
112109, 111anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  <->  ( ( X 
.-  Y )  =  ( A  .-  B
)  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) ) ) )
113 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  B  ->  (
b  .-  v )  =  ( B  .-  v ) )
114113eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  B  ->  (
( Y  .-  U
)  =  ( b 
.-  v )  <->  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v ) ) )
115114anbi2d 703 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v ) )  <->  ( ( X 
.-  U )  =  ( A  .-  v
)  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v ) ) ) )
116112, 115anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( ( X 
.-  Y )  =  ( A  .-  b
)  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) )  <->  ( (
( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v ) ) ) ) )
117107, 116anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( A I c ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  <->  ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) ) ) )
118117imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) )  <->  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
1191182ralbidv 2778 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  ( A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
12092, 105, 119rspc3v 3103 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  P  /\  A  e.  P  /\  B  e.  P )  ->  ( A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  ->  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( (
( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v ) ) ) )  -> 
( Z  .-  U
)  =  ( c 
.-  v ) ) ) )
12179, 80, 81, 120syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  ->  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( (
( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v ) ) ) )  -> 
( Z  .-  U
)  =  ( c 
.-  v ) ) ) )
12278, 121mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) ) )
123 axtg5seg.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
124 axtg5seg.8 . . . 4  |-  ( ph  ->  V  e.  P )
125 oveq2 6120 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  ( A I c )  =  ( A I C ) )
126125eleq2d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  ( B  e.  ( A I c )  <->  B  e.  ( A I C ) ) )
1271263anbi3d 1295 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  <->  ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) ) ) )
128 oveq2 6120 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  C  ->  ( B  .-  c )  =  ( B  .-  C
) )
129128eqeq2d 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  (
( Y  .-  Z
)  =  ( B 
.-  c )  <->  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) ) )
130129anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  <->  ( ( X 
.-  Y )  =  ( A  .-  B
)  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) ) ) )
131130anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( ( X 
.-  Y )  =  ( A  .-  B
)  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) )  <->  ( (
( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v ) ) ) ) )
132127, 131anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v ) ) ) )  <->  ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) ) ) )
133 oveq1 6119 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
c  .-  v )  =  ( C  .-  v ) )
134133eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
( Z  .-  U
)  =  ( c 
.-  v )  <->  ( Z  .-  U )  =  ( C  .-  v ) ) )
135132, 134imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) )  <->  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( C  .-  v ) ) ) )
136 oveq2 6120 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  V  ->  ( A  .-  v )  =  ( A  .-  V
) )
137136eqeq2d 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  V  ->  (
( X  .-  U
)  =  ( A 
.-  v )  <->  ( X  .-  U )  =  ( A  .-  V ) ) )
138 oveq2 6120 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  V  ->  ( B  .-  v )  =  ( B  .-  V
) )
139138eqeq2d 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  V  ->  (
( Y  .-  U
)  =  ( B 
.-  v )  <->  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V ) ) )
140137, 139anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v ) )  <->  ( ( X 
.-  U )  =  ( A  .-  V
)  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V ) ) ) )
141140anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( ( X 
.-  Y )  =  ( A  .-  B
)  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) )  <->  ( (
( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  V )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V ) ) ) ) )
142141anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v ) ) ) )  <->  ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  V )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V
) ) ) ) ) )
143 oveq2 6120 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  ( C  .-  v )  =  ( C  .-  V
) )
144143eqeq2d 2454 . . . . . 6  |-  ( v  =  V  ->  (
( Z  .-  U
)  =  ( C 
.-  v )  <->  ( Z  .-  U )  =  ( C  .-  V ) ) )
145142, 144imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( C  .-  v ) )  <->  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  V )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( C  .-  V ) ) ) )
146135, 145rspc2v 3100 . . . 4  |-  ( ( C  e.  P  /\  V  e.  P )  ->  ( A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) )  ->  ( (
( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  V )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V ) ) ) )  -> 
( Z  .-  U
)  =  ( C 
.-  V ) ) ) )
147123, 124, 146syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) )  ->  ( (
( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  V )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V ) ) ) )  -> 
( Z  .-  U
)  =  ( C 
.-  V ) ) ) )
148122, 147mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  V )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( C  .-  V ) ) )
14911, 148mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( Z  .-  U
)  =  ( C 
.-  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 2993   [.wsbc 3207    \ cdif 3346    i^i cin 3348   {csn 3898   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    e. cmpt2 6114   Basecbs 14195   distcds 14268  TarskiGcstrkg 22911  TarskiGCcstrkgc 22912  TarskiGBcstrkgb 22913  TarskiGCBcstrkgcb 22914  Itvcitv 22919  LineGclng 22920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-nul 4442
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-iota 5402  df-fv 5447  df-ov 6115  df-trkgcb 22933  df-trkg 22938
This theorem is referenced by:  tgcgrextend  22961  tgsegconeq  22962  tgifscgr  22983  tgfscgr  23022  tgbtwnconn1lem2  23027  tgbtwnconn1lem3  23028  miriso  23095  midexlem  23108  ragcgr  23123  footex  23131  f1otrg  23139  tg5segofs  27019
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