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Theorem axtg5seg 23988
Description: Five segments axiom, Axiom A5 of [Schwabhauser] p. 11. Take two triangles  X Z U and  A C V, a point  Y on  X Z, and a point  B on  A C. If all corresponding line segments except for  Z U and  C V are congruent ( i.e.,  X Y  .~  A B,  Y Z  .~  B C,  X U  .~  A V, and  Y U  .~  B V), then  Z U and  C V are also congruent. As noted in Axiom 5 of [Tarski1999] p. 178, "this axiom is similar in character to the well-known theorems of Euclidean geometry that allow one to conclude, from hypotheses about the congruence of certain corresponding sides and angles in two triangles, the congruence of other corresponding sides and angles." (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
axtrkg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
axtrkg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
axtrkg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
axtrkg.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
axtg5seg.1  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
axtg5seg.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
axtg5seg.3  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
axtg5seg.4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
axtg5seg.5  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
axtg5seg.6  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
axtg5seg.7  |-  ( ph  ->  U  e.  P )
axtg5seg.8  |-  ( ph  ->  V  e.  P )
axtg5seg.9  |-  ( ph  ->  X  =/=  Y )
axtg5seg.10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X I Z ) )
axtg5seg.11  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
axtg5seg.12  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B ) )
axtg5seg.13  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( B 
.-  C ) )
axtg5seg.14  |-  ( ph  ->  ( X  .-  U
)  =  ( A 
.-  V ) )
axtg5seg.15  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  U
)  =  ( B 
.-  V ) )
Assertion
Ref Expression
axtg5seg  |-  ( ph  ->  ( Z  .-  U
)  =  ( C 
.-  V ) )

Proof of Theorem axtg5seg
Dummy variables  f 
i  p  x  y  z  a  b  c  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-trkg 23976 . . . . . . 7  |- TarskiG  =  ( (TarskiGC  i^i TarskiGB )  i^i  (TarskiGCB  i^i  {
f  |  [. ( Base `  f )  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p  \  {
x } )  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } ) )
2 inss2 3715 . . . . . . . 8  |-  ( (TarskiGC  i^i TarskiGB )  i^i  (TarskiGCB  i^i  { f  | 
[. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p 
\  { x }
)  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } ) )  C_  (TarskiGCB  i^i  { f  |  [. ( Base `  f )  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p  \  {
x } )  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } )
3 inss1 3714 . . . . . . . 8  |-  (TarskiGCB  i^i  {
f  |  [. ( Base `  f )  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p  \  {
x } )  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } )  C_ TarskiGCB
42, 3sstri 3508 . . . . . . 7  |-  ( (TarskiGC  i^i TarskiGB )  i^i  (TarskiGCB  i^i  { f  | 
[. ( Base `  f
)  /  p ]. [. (Itv `  f )  /  i ]. (LineG `  f )  =  ( x  e.  p ,  y  e.  ( p 
\  { x }
)  |->  { z  e.  p  |  ( z  e.  ( x i y )  \/  x  e.  ( z i y )  \/  y  e.  ( x i z ) ) } ) } ) )  C_ TarskiGCB
51, 4eqsstri 3529 . . . . . 6  |- TarskiG  C_ TarskiGCB
6 axtrkg.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
75, 6sseldi 3497 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiGCB )
8 axtrkg.p . . . . . . . 8  |-  P  =  ( Base `  G
)
9 axtrkg.d . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( dist `  G )
10 axtrkg.i . . . . . . . 8  |-  I  =  (Itv `  G )
118, 9, 10istrkgcb 23979 . . . . . . 7  |-  ( G  e. TarskiGCB  <->  ( G  e.  _V  /\  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y 
.-  z )  =  ( a  .-  b
) ) ) ) )
1211simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( G  e. TarskiGCB 
->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a
I c ) )  /\  ( ( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  (
y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  -> 
( z  .-  u
)  =  ( c 
.-  v ) )  /\  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  E. z  e.  P  ( y  e.  ( x I z )  /\  ( y 
.-  z )  =  ( a  .-  b
) ) ) )
1312simpld 459 . . . . 5  |-  ( G  e. TarskiGCB 
->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) )
147, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) )
15 axtg5seg.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  P )
16 axtg5seg.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  P )
17 axtg5seg.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  P )
18 neeq1 2738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
x  =/=  y  <->  X  =/=  y ) )
19 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x I z )  =  ( X I z ) )
2019eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
y  e.  ( x I z )  <->  y  e.  ( X I z ) ) )
2118, 203anbi12d 1300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  =/=  y  /\  y  e.  (
x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  <->  ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) ) ) )
22 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .-  y )  =  ( X  .-  y ) )
2322eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .-  y
)  =  ( a 
.-  b )  <->  ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b ) ) )
2423anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  <->  ( ( X 
.-  y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) ) ) )
25 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .-  u )  =  ( X  .-  u ) )
2625eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .-  u
)  =  ( a 
.-  v )  <->  ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v ) ) )
2726anbi1d 704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) )  <->  ( ( X 
.-  u )  =  ( a  .-  v
)  /\  ( y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )
2824, 27anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ( x 
.-  y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) )  <-> 
( ( ( X 
.-  y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) ) )
2921, 28anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  <->  ( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) ) ) )
3029imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  ( ( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a
I c ) )  /\  ( ( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  (
y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  -> 
( z  .-  u
)  =  ( c 
.-  v ) ) ) )
3130ralbidv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  ( A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
32312ralbidv 2901 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
33322ralbidv 2901 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
34 neeq2 2740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  =/=  y  <->  X  =/=  Y ) )
35 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  e.  ( X I z )  <->  Y  e.  ( X I z ) ) )
3634, 353anbi12d 1300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  <->  ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) ) ) )
37 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .-  y )  =  ( X  .-  Y
) )
3837eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .-  y
)  =  ( a 
.-  b )  <->  ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b ) ) )
39 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .-  z )  =  ( Y  .-  z ) )
4039eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  (
( y  .-  z
)  =  ( b 
.-  c )  <->  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) ) )
4138, 40anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  <->  ( ( X 
.-  Y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) ) ) )
42 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  Y  ->  (
y  .-  u )  =  ( Y  .-  u ) )
4342eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  Y  ->  (
( y  .-  u
)  =  ( b 
.-  v )  <->  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) )
4443anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) )  <->  ( ( X 
.-  u )  =  ( a  .-  v
)  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )
4541, 44anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( ( X 
.-  y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) )  <-> 
( ( ( X 
.-  Y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) ) )
4636, 45anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  <->  ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) ) ) )
4746imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (
( ( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a
I c ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c
) )  /\  (
( X  .-  u
)  =  ( a 
.-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
4847ralbidv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
49482ralbidv 2901 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
50492ralbidv 2901 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  y  /\  y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  (
y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
51 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  Z  ->  ( X I z )  =  ( X I Z ) )
5251eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Z  ->  ( Y  e.  ( X I z )  <->  Y  e.  ( X I Z ) ) )
53523anbi2d 1304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  (
( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  <->  ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) ) ) )
54 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  Z  ->  ( Y  .-  z )  =  ( Y  .-  Z
) )
5554eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  Z  ->  (
( Y  .-  z
)  =  ( b 
.-  c )  <->  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) ) )
5655anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  <->  ( ( X 
.-  Y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) ) ) )
5756anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( ( X 
.-  Y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) )  <->  ( (
( X  .-  Y
)  =  ( a 
.-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) ) )
5853, 57anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( a 
.-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  <->  ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) ) ) )
59 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  (
z  .-  u )  =  ( Z  .-  u ) )
6059eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  (
( z  .-  u
)  =  ( c 
.-  v )  <->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) )
6158, 60imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  Z  ->  (
( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
6261ralbidv 2896 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  Z  ->  ( A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
63622ralbidv 2901 . . . . . . 7  |-  ( z  =  Z  ->  ( A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
64632ralbidv 2901 . . . . . 6  |-  ( z  =  Z  ->  ( A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
6533, 50, 64rspc3v 3222 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  P  /\  Y  e.  P  /\  Z  e.  P )  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a
I c ) )  /\  ( ( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  (
y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  -> 
( z  .-  u
)  =  ( c 
.-  v ) )  ->  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
6615, 16, 17, 65syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  P  A. y  e.  P  A. z  e.  P  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( x  =/=  y  /\  y  e.  ( x I z )  /\  b  e.  ( a
I c ) )  /\  ( ( ( x  .-  y )  =  ( a  .-  b )  /\  (
y  .-  z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( x  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  -> 
( z  .-  u
)  =  ( c 
.-  v ) )  ->  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
6714, 66mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) ) )
68 axtg5seg.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  P )
69 axtg5seg.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
70 axtg5seg.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
71 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  U  ->  ( X  .-  u )  =  ( X  .-  U
) )
7271eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  (
( X  .-  u
)  =  ( a 
.-  v )  <->  ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v ) ) )
73 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  U  ->  ( Y  .-  u )  =  ( Y  .-  U
) )
7473eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  U  ->  (
( Y  .-  u
)  =  ( b 
.-  v )  <->  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v ) ) )
7572, 74anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) )  <->  ( ( X 
.-  U )  =  ( a  .-  v
)  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v ) ) ) )
7675anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( ( X 
.-  Y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) )  <->  ( (
( X  .-  Y
)  =  ( a 
.-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v ) ) ) ) )
7776anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( a 
.-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  <->  ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) ) ) )
78 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  U  ->  ( Z  .-  u )  =  ( Z  .-  U
) )
7978eqeq1d 2459 . . . . . . 7  |-  ( u  =  U  ->  (
( Z  .-  u
)  =  ( c 
.-  v )  <->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) ) )
8077, 79imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( u  =  U  ->  (
( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
81802ralbidv 2901 . . . . 5  |-  ( u  =  U  ->  ( A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
82 oveq1 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  (
a I c )  =  ( A I c ) )
8382eleq2d 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  (
b  e.  ( a I c )  <->  b  e.  ( A I c ) ) )
84833anbi3d 1305 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  <->  ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( A I c ) ) ) )
85 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  (
a  .-  b )  =  ( A  .-  b ) )
8685eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  (
( X  .-  Y
)  =  ( a 
.-  b )  <->  ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  b ) ) )
8786anbi1d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  <->  ( ( X 
.-  Y )  =  ( A  .-  b
)  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) ) ) )
88 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  A  ->  (
a  .-  v )  =  ( A  .-  v ) )
8988eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  A  ->  (
( X  .-  U
)  =  ( a 
.-  v )  <->  ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v ) ) )
9089anbi1d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v ) )  <->  ( ( X 
.-  U )  =  ( A  .-  v
)  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v ) ) ) )
9187, 90anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ( X 
.-  Y )  =  ( a  .-  b
)  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) )  <->  ( (
( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v ) ) ) ) )
9284, 91anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( a 
.-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  <->  ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) ) ) )
9392imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  (
( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) )  <->  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
94932ralbidv 2901 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  ( A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
95 eleq1 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
b  e.  ( A I c )  <->  B  e.  ( A I c ) ) )
96953anbi3d 1305 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( A I c ) )  <->  ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) ) ) )
97 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  B  ->  ( A  .-  b )  =  ( A  .-  B
) )
9897eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  b )  <->  ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B ) ) )
99 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  B  ->  (
b  .-  c )  =  ( B  .-  c ) )
10099eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
( Y  .-  Z
)  =  ( b 
.-  c )  <->  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) ) )
10198, 100anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  <->  ( ( X 
.-  Y )  =  ( A  .-  B
)  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) ) ) )
102 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  B  ->  (
b  .-  v )  =  ( B  .-  v ) )
103102eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  (
( Y  .-  U
)  =  ( b 
.-  v )  <->  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v ) ) )
104103anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v ) )  <->  ( ( X 
.-  U )  =  ( A  .-  v
)  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v ) ) ) )
105101, 104anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( ( X 
.-  Y )  =  ( A  .-  b
)  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) )  <->  ( (
( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v ) ) ) ) )
10696, 105anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( A I c ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v ) ) ) )  <->  ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) ) ) )
107106imbi1d 317 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) )  <->  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
1081072ralbidv 2901 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) )  <->  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) ) ) )
10981, 94, 108rspc3v 3222 . . . 4  |-  ( ( U  e.  P  /\  A  e.  P  /\  B  e.  P )  ->  ( A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  ->  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( (
( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v ) ) ) )  -> 
( Z  .-  U
)  =  ( c 
.-  v ) ) ) )
11068, 69, 70, 109syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  P  A. a  e.  P  A. b  e.  P  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  b  e.  ( a I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( a  .-  b )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( b  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  u )  =  ( a  .-  v )  /\  ( Y  .-  u )  =  ( b  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  u )  =  ( c  .-  v ) )  ->  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( (
( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v ) ) ) )  -> 
( Z  .-  U
)  =  ( c 
.-  v ) ) ) )
11167, 110mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) ) )
112 axtg5seg.9 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  Y )
113 axtg5seg.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X I Z ) )
114 axtg5seg.11 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  ( A I C ) )
115112, 113, 1143jca 1176 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) ) )
116 axtg5seg.12 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B ) )
117 axtg5seg.13 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  Z
)  =  ( B 
.-  C ) )
118116, 117jca 532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) ) )
119 axtg5seg.14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  .-  U
)  =  ( A 
.-  V ) )
120 axtg5seg.15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  .-  U
)  =  ( B 
.-  V ) )
121119, 120jca 532 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  V )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V ) ) )
122115, 118, 121jca32 535 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  V )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V ) ) ) ) )
123 axtg5seg.6 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
124 axtg5seg.8 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  P )
125 oveq2 6304 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  ( A I c )  =  ( A I C ) )
126125eleq2d 2527 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  ( B  e.  ( A I c )  <->  B  e.  ( A I C ) ) )
1271263anbi3d 1305 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  <->  ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) ) ) )
128 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  ( B  .-  c )  =  ( B  .-  C
) )
129128eqeq2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
( Y  .-  Z
)  =  ( B 
.-  c )  <->  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) ) )
130129anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  <->  ( ( X 
.-  Y )  =  ( A  .-  B
)  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) ) ) )
131130anbi1d 704 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( ( X 
.-  Y )  =  ( A  .-  B
)  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) )  <->  ( (
( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v ) ) ) ) )
132127, 131anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v ) ) ) )  <->  ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) ) ) )
133 oveq1 6303 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  (
c  .-  v )  =  ( C  .-  v ) )
134133eqeq2d 2471 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  (
( Z  .-  U
)  =  ( c 
.-  v )  <->  ( Z  .-  U )  =  ( C  .-  v ) ) )
135132, 134imbi12d 320 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) )  <->  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( C  .-  v ) ) ) )
136 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  V  ->  ( A  .-  v )  =  ( A  .-  V
) )
137136eqeq2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  V  ->  (
( X  .-  U
)  =  ( A 
.-  v )  <->  ( X  .-  U )  =  ( A  .-  V ) ) )
138 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  V  ->  ( B  .-  v )  =  ( B  .-  V
) )
139138eqeq2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  V  ->  (
( Y  .-  U
)  =  ( B 
.-  v )  <->  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V ) ) )
140137, 139anbi12d 710 . . . . . . 7  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v ) )  <->  ( ( X 
.-  U )  =  ( A  .-  V
)  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V ) ) ) )
141140anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( ( X 
.-  Y )  =  ( A  .-  B
)  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) )  <->  ( (
( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  V )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V ) ) ) ) )
142141anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( X  =/= 
Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v ) ) ) )  <->  ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  V )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V
) ) ) ) ) )
143 oveq2 6304 . . . . . 6  |-  ( v  =  V  ->  ( C  .-  v )  =  ( C  .-  V
) )
144143eqeq2d 2471 . . . . 5  |-  ( v  =  V  ->  (
( Z  .-  U
)  =  ( C 
.-  v )  <->  ( Z  .-  U )  =  ( C  .-  V ) ) )
145142, 144imbi12d 320 . . . 4  |-  ( v  =  V  ->  (
( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( C  .-  v ) )  <->  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  V )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( C  .-  V ) ) ) )
146135, 145rspc2v 3219 . . 3  |-  ( ( C  e.  P  /\  V  e.  P )  ->  ( A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) )  ->  ( (
( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  V )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V ) ) ) )  -> 
( Z  .-  U
)  =  ( C 
.-  V ) ) ) )
147123, 124, 146syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. c  e.  P  A. v  e.  P  ( ( ( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I c ) )  /\  (
( ( X  .-  Y )  =  ( A  .-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  c ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  v )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  v
) ) ) )  ->  ( Z  .-  U )  =  ( c  .-  v ) )  ->  ( (
( X  =/=  Y  /\  Y  e.  ( X I Z )  /\  B  e.  ( A I C ) )  /\  ( ( ( X  .-  Y
)  =  ( A 
.-  B )  /\  ( Y  .-  Z )  =  ( B  .-  C ) )  /\  ( ( X  .-  U )  =  ( A  .-  V )  /\  ( Y  .-  U )  =  ( B  .-  V ) ) ) )  -> 
( Z  .-  U
)  =  ( C 
.-  V ) ) ) )
148111, 122, 147mp2d 45 1  |-  ( ph  ->  ( Z  .-  U
)  =  ( C 
.-  V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   [.wsbc 3327    \ cdif 3468    i^i cin 3470   {csn 4032   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   Basecbs 14644   distcds 14721  TarskiGcstrkg 23951  TarskiGCcstrkgc 23952  TarskiGBcstrkgb 23953  TarskiGCBcstrkgcb 23954  Itvcitv 23958  LineGclng 23959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-nul 4586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6299  df-trkgcb 23972  df-trkg 23976
This theorem is referenced by:  tgcgrextend  24002  tgsegconeq  24003  tgifscgr  24026  tgfscgr  24081  tgbtwnconn1lem2  24086  tgbtwnconn1lem3  24087  miriso  24176  midexlem  24195  ragcgr  24210  footex  24221  lmiisolem  24287  f1otrg  24301  tg5segofs  28750
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