Theorem axsup 6676

Description: A non-empty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 27 of 27 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates pre-axsup 6444 with ordering on the extended reals.)

Assertion

Ref	Expression
axsup	|- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y < x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem axsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pre-axsup 6444	. . . 4 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y <R x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
2	1	3expia 1069	. . 3 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> (E.x e. RR A.y e. A y <R x -> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
3		ltxrlt 6669	. . . . . . . 8 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> (y < x <-> y <R x))
4		ssel2 2616	. . . . . . . 8 |- ((A C_ RR /\ y e. A) -> y e. RR)
5	3, 4	sylan 497	. . . . . . 7 |- (((A C_ RR /\ y e. A) /\ x e. RR) -> (y < x <-> y <R x))
6	5	an1rs 547	. . . . . 6 |- (((A C_ RR /\ x e. RR) /\ y e. A) -> (y < x <-> y <R x))
7	6	ralbidva 2119	. . . . 5 |- ((A C_ RR /\ x e. RR) -> (A.y e. A y < x <-> A.y e. A y <R x))
8	7	rexbidva 2120	. . . 4 |- (A C_ RR -> (E.x e. RR A.y e. A y < x <-> E.x e. RR A.y e. A y <R x))
9	8	adantr 425	. . 3 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> (E.x e. RR A.y e. A y < x <-> E.x e. RR A.y e. A y <R x))
10		ltxrlt 6669	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (x < y <-> x <R y))
11	10	ancoms 484	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> (x < y <-> x <R y))
12	11, 4	sylan 497	. . . . . . . . 9 |- (((A C_ RR /\ y e. A) /\ x e. RR) -> (x < y <-> x <R y))
13	12	an1rs 547	. . . . . . . 8 |- (((A C_ RR /\ x e. RR) /\ y e. A) -> (x < y <-> x <R y))
14	13	notbid 673	. . . . . . 7 |- (((A C_ RR /\ x e. RR) /\ y e. A) -> (-. x < y <-> -. x <R y))
15	14	ralbidva 2119	. . . . . 6 |- ((A C_ RR /\ x e. RR) -> (A.y e. A -. x < y <-> A.y e. A -. x <R y))
16	3	ancoms 484	. . . . . . . . 9 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (y < x <-> y <R x))
17	16	adantll 428	. . . . . . . 8 |- (((A C_ RR /\ x e. RR) /\ y e. RR) -> (y < x <-> y <R x))
18		ltxrlt 6669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. RR /\ z e. RR) -> (y < z <-> y <R z))
19	18	ancoms 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. RR /\ y e. RR) -> (y < z <-> y <R z))
20		ssel2 2616	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A C_ RR /\ z e. A) -> z e. RR)
21	19, 20	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- (((A C_ RR /\ z e. A) /\ y e. RR) -> (y < z <-> y <R z))
22	21	an1rs 547	. . . . . . . . . 10 |- (((A C_ RR /\ y e. RR) /\ z e. A) -> (y < z <-> y <R z))
23	22	rexbidva 2120	. . . . . . . . 9 |- ((A C_ RR /\ y e. RR) -> (E.z e. A y < z <-> E.z e. A y <R z))
24	23	adantlr 429	. . . . . . . 8 |- (((A C_ RR /\ x e. RR) /\ y e. RR) -> (E.z e. A y < z <-> E.z e. A y <R z))
25	17, 24	imbi12d 688	. . . . . . 7 |- (((A C_ RR /\ x e. RR) /\ y e. RR) -> ((y < x -> E.z e. A y < z) <-> (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
26	25	ralbidva 2119	. . . . . 6 |- ((A C_ RR /\ x e. RR) -> (A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z) <-> A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z)))
27	15, 26	anbi12d 690	. . . . 5 |- ((A C_ RR /\ x e. RR) -> ((A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
28	27	rexbidva 2120	. . . 4 |- (A C_ RR -> (E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
29	28	adantr 425	. . 3 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> (E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)) <-> E.x e. RR (A.y e. A -. x <R y /\ A.y e. RR (y <R x -> E.z e. A y <R z))))
30	2, 9, 29	3imtr4d 602	. 2 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/)) -> (E.x e. RR A.y e. A y < x -> E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z))))
31	30	3impia 1064	1 |- ((A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E.x e. RR A.y e. A y < x) -> E.x e. RR (A.y e. A -. x < y /\ A.y e. RR (y < x -> E.z e. A y < z)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  RRcr 6385   <R cltrr 6390   < clt 6653

This theorem is referenced by:  sup2 7260  sqrlem7 7929  sqrlem8 7930  sqrlem13 7935  sqrlem18 7940

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657

Copyright terms: Public domain