MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsegconlem9 Structured version   Unicode version

Theorem axsegconlem9 22994
Description: Lemma for axsegcon 22996. Show that  B F is congruent to  C D. (Contributed by Scott Fenton, 19-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axsegconlem2.1  |-  S  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p )
) ^ 2 )
axsegconlem7.2  |-  T  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p )
) ^ 2 )
axsegconlem8.3  |-  F  =  ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  k
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
Assertion
Ref Expression
axsegconlem9  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  i )  -  ( F `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    C, p    D, p    N, p    A, i, k    B, i, k    C, i, k    D, i, k    i, N, k    S, i, k    T, i, k    i, p
Allowed substitution hints:    S( p)    T( p)    F( i, k, p)

Proof of Theorem axsegconlem9
StepHypRef Expression
1 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  ( B `  k )  =  ( B `  i ) )
21oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  k
) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) ) )
3 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  ( A `  k )  =  ( A `  i ) )
43oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 k ) )  =  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )
52, 4oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  k )
) )  =  ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) ) )
65oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  k ) ) )  /  ( sqr `  S
) )  =  ( ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  i )
)  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i ) ) )  /  ( sqr `  S
) ) )
7 axsegconlem8.3 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  k
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
8 ovex 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  /  ( sqr `  S ) )  e.  _V
96, 7, 8fvmpt 5762 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  ( F `  i )  =  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
109adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  i )  =  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
1110oveq2d 6096 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( B `  i
)  -  ( F `
 i ) )  =  ( ( B `
 i )  -  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) ) )
12 axsegconlem2.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p )
) ^ 2 )
1312axsegconlem4 22989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( sqr `  S
)  e.  RR )
14133adant3 1001 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  ( sqr `  S )  e.  RR )
1514ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  S )  e.  RR )
16 simpl2 985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
17 fveere 22970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
1816, 17sylan 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
1915, 18remulcld 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( B `
 i ) )  e.  RR )
2019recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( B `
 i ) )  e.  CC )
21 axsegconlem7.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  T  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p )
) ^ 2 )
2221axsegconlem4 22989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( sqr `  T
)  e.  RR )
23 readdcl 9353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  S
)  e.  RR  /\  ( sqr `  T )  e.  RR )  -> 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  RR )
2414, 22, 23syl2an 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  RR )
2524adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  RR )
2625, 18remulcld 9402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  e.  RR )
2722ad2antlr 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  T )  e.  RR )
28 simpl1 984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
29 fveere 22970 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
3028, 29sylan 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
3127, 30remulcld 9402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  e.  RR )
3226, 31resubcld 9764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  e.  RR )
3332recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  e.  CC )
3415recnd 9400 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  S )  e.  CC )
3512axsegconlem6 22991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  0  <  ( sqr `  S
) )
3635gt0ne0d 9892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  ( sqr `  S )  =/=  0 )
3736ad2antrr 718 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  S )  =/=  0 )
3820, 33, 34, 37divsubdird 10134 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  x.  ( B `  i )
)  -  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )  /  ( sqr `  S ) )  =  ( ( ( ( sqr `  S
)  x.  ( B `
 i ) )  /  ( sqr `  S
) )  -  (
( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  i )
)  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i ) ) )  /  ( sqr `  S
) ) ) )
3926recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  e.  CC )
4031recnd 9400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  e.  CC )
4120, 39, 40subsubd 9735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  S )  x.  ( B `  i )
)  -  ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) ) )  +  ( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )
4227recnd 9400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  T )  e.  CC )
4318renegcld 9763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  -u ( B `  i )  e.  RR )
4443recnd 9400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  -u ( B `  i )  e.  CC )
4530recnd 9400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
4642, 44, 45adddid 9398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( -u ( B `  i )  +  ( A `  i ) ) )  =  ( ( ( sqr `  T )  x.  -u ( B `  i ) )  +  ( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )
4744, 45addcomd 9559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( -u ( B `  i
)  +  ( A `
 i ) )  =  ( ( A `
 i )  + 
-u ( B `  i ) ) )
4818recnd 9400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
4945, 48negsubd 9713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A `  i
)  +  -u ( B `  i )
)  =  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) )
5047, 49eqtrd 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( -u ( B `  i
)  +  ( A `
 i ) )  =  ( ( A `
 i )  -  ( B `  i ) ) )
5150oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( -u ( B `  i )  +  ( A `  i ) ) )  =  ( ( sqr `  T )  x.  (
( A `  i
)  -  ( B `
 i ) ) ) )
5225recnd 9400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  CC )
5352, 34negsubdi2d 9723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  -u (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  =  ( ( sqr `  S )  -  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) ) )
5434, 42pncan2d 9709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  =  ( sqr `  T ) )
5554negeqd 9592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  -u (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  =  -u ( sqr `  T ) )
5653, 55eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  -  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  = 
-u ( sqr `  T
) )
5756oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  -  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( B `  i
) )  =  (
-u ( sqr `  T
)  x.  ( B `
 i ) ) )
5834, 52, 48subdird 9789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  -  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( B `  i
) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  i )
) ) )
59 mulneg12 9771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( sqr `  T
)  e.  CC  /\  ( B `  i )  e.  CC )  -> 
( -u ( sqr `  T
)  x.  ( B `
 i ) )  =  ( ( sqr `  T )  x.  -u ( B `  i )
) )
6042, 48, 59syl2anc 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( -u ( sqr `  T
)  x.  ( B `
 i ) )  =  ( ( sqr `  T )  x.  -u ( B `  i )
) )
6157, 58, 603eqtr3rd 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  -u ( B `  i )
)  =  ( ( ( sqr `  S
)  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  i )
) ) )
6261oveq1d 6095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  -u ( B `  i )
)  +  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  S
)  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  i )
) )  +  ( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )
6346, 51, 623eqtr3rd 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  x.  ( B `  i )
)  -  ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) ) )  +  ( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) )  =  ( ( sqr `  T )  x.  ( ( A `
 i )  -  ( B `  i ) ) ) )
6441, 63eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( ( sqr `  T
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ) )
6564oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  x.  ( B `  i )
)  -  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )  /  ( sqr `  S ) )  =  ( ( ( sqr `  T )  x.  ( ( A `
 i )  -  ( B `  i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
6648, 34, 37divcan3d 10100 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  x.  ( B `
 i ) )  /  ( sqr `  S
) )  =  ( B `  i ) )
6766oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  x.  ( B `  i )
)  /  ( sqr `  S ) )  -  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )  =  ( ( B `
 i )  -  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) ) )
6838, 65, 673eqtr3rd 2474 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( B `  i
)  -  ( ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  /  ( sqr `  S ) ) )  =  ( ( ( sqr `  T
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) )  /  ( sqr `  S
) ) )
6911, 68eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( B `  i
)  -  ( F `
 i ) )  =  ( ( ( sqr `  T )  x.  ( ( A `
 i )  -  ( B `  i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
7069oveq1d 6095 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( B `  i )  -  ( F `  i )
) ^ 2 )  =  ( ( ( ( sqr `  T
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) )  /  ( sqr `  S
) ) ^ 2 ) )
7130, 18resubcld 9764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A `  i
)  -  ( B `
 i ) )  e.  RR )
7227, 71remulcld 9402 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) )  e.  RR )
7372recnd 9400 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) )  e.  CC )
7473, 34, 37sqdivd 12005 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  T )  x.  (
( A `  i
)  -  ( B `
 i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( sqr `  T )  x.  (
( A `  i
)  -  ( B `
 i ) ) ) ^ 2 )  /  ( ( sqr `  S ) ^ 2 ) ) )
7571recnd 9400 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( A `  i
)  -  ( B `
 i ) )  e.  CC )
7642, 75sqmuld 12004 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  T ) ^ 2 )  x.  ( ( ( A `  i
)  -  ( B `
 i ) ) ^ 2 ) ) )
7721axsegconlem2 22987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  ->  T  e.  RR )
7877ad2antlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  T  e.  RR )
7921axsegconlem3 22988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  -> 
0  <_  T )
8079ad2antlr 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  0  <_  T )
81 resqrth 12729 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  RR  /\  0  <_  T )  -> 
( ( sqr `  T
) ^ 2 )  =  T )
8278, 80, 81syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
) ^ 2 )  =  T )
8382oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
) ^ 2 )  x.  ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 ) )  =  ( T  x.  (
( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 ) ) )
8476, 83eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ) ^ 2 )  =  ( T  x.  (
( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 ) ) )
8512axsegconlem2 22987 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  ->  S  e.  RR )
8612axsegconlem3 22988 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  -> 
0  <_  S )
87 resqrth 12729 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  RR  /\  0  <_  S )  -> 
( ( sqr `  S
) ^ 2 )  =  S )
8885, 86, 87syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( ( sqr `  S
) ^ 2 )  =  S )
89883adant3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  (
( sqr `  S
) ^ 2 )  =  S )
9089ad2antrr 718 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
) ^ 2 )  =  S )
9184, 90oveq12d 6098 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  T )  x.  (
( A `  i
)  -  ( B `
 i ) ) ) ^ 2 )  /  ( ( sqr `  S ) ^ 2 ) )  =  ( ( T  x.  (
( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 ) )  /  S ) )
9270, 74, 913eqtrd 2469 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( B `  i )  -  ( F `  i )
) ^ 2 )  =  ( ( T  x.  ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 ) )  /  S ) )
9392sumeq2dv 13164 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  i )  -  ( F `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( T  x.  (
( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 ) )  /  S ) )
94 fzfid 11779 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
1 ... N )  e. 
Fin )
9577adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  T  e.  RR )
9695recnd 9400 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  T  e.  CC )
9771resqcld 12018 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 )  e.  RR )
9897recnd 9400 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 )  e.  CC )
9994, 96, 98fsummulc2 13234 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( T  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 ) )  = 
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( T  x.  (
( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 ) ) )
10099oveq1d 6095 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( T  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 ) )  /  S )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( T  x.  ( ( ( A `
 i )  -  ( B `  i ) ) ^ 2 ) )  /  S ) )
101 fveq2 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  i  ->  ( C `  p )  =  ( C `  i ) )
102 fveq2 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  i  ->  ( D `  p )  =  ( D `  i ) )
103101, 102oveq12d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  i  ->  (
( C `  p
)  -  ( D `
 p ) )  =  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) )
104103oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( p  =  i  ->  (
( ( C `  p )  -  ( D `  p )
) ^ 2 )  =  ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) )
105104cbvsumv 13157 . . . . . 6  |-  sum_ p  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 )
10621, 105eqtri 2453 . . . . 5  |-  T  = 
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 )
107 fveq2 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  p  ->  ( A `  i )  =  ( A `  p ) )
108 fveq2 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  p  ->  ( B `  i )  =  ( B `  p ) )
109107, 108oveq12d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  p  ->  (
( A `  i
)  -  ( B `
 i ) )  =  ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) )
110109oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( i  =  p  ->  (
( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 )  =  ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p ) ) ^
2 ) )
111110cbvsumv 13157 . . . . . 6  |-  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p
)  -  ( B `
 p ) ) ^ 2 )
112111, 12eqtr4i 2456 . . . . 5  |-  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 )  =  S
113106, 112oveq12i 6092 . . . 4  |-  ( T  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `
 i )  -  ( B `  i ) ) ^ 2 ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 )  x.  S )
114 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 )
115114axsegconlem2 22987 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 )  e.  RR )
1161153adant3 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 )  e.  RR )
117116adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 )  e.  RR )
11895, 117remulcld 9402 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( T  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 ) )  e.  RR )
119118recnd 9400 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( T  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 ) )  e.  CC )
120 eqid 2433 . . . . . . . 8  |-  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 )
121120axsegconlem2 22987 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 )  e.  RR )
122121adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 )  e.  RR )
123122recnd 9400 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 )  e.  CC )
124853adant3 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  S  e.  RR )
125124adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  S  e.  RR )
126125recnd 9400 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  S  e.  CC )
127863adant3 1001 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  0  <_  S )
128 sqr00 12737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  RR  /\  0  <_  S )  -> 
( ( sqr `  S
)  =  0  <->  S  =  0 ) )
129128necon3bid 2633 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  RR  /\  0  <_  S )  -> 
( ( sqr `  S
)  =/=  0  <->  S  =/=  0 ) )
130124, 127, 129syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  (
( sqr `  S
)  =/=  0  <->  S  =/=  0 ) )
13136, 130mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  S  =/=  0 )
132131adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  S  =/=  0 )
133119, 123, 126, 132divmul3d 10129 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( ( T  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 ) )  /  S )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 )  <-> 
( T  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 ) )  =  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 )  x.  S ) ) )
134113, 133mpbiri 233 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( T  x.  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i )
) ^ 2 ) )  /  S )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) )
13578, 97remulcld 9402 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( T  x.  ( (
( A `  i
)  -  ( B `
 i ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
136135recnd 9400 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( T  x.  ( (
( A `  i
)  -  ( B `
 i ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
13794, 126, 136, 132fsumdivc 13236 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( T  x.  ( ( ( A `  i
)  -  ( B `
 i ) ) ^ 2 ) )  /  S )  = 
sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( T  x.  ( ( ( A `
 i )  -  ( B `  i ) ) ^ 2 ) )  /  S ) )
138100, 134, 1373eqtr3rd 2474 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( T  x.  ( ( ( A `  i )  -  ( B `  i ) ) ^
2 ) )  /  S )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) )
13993, 138eqtrd 2465 1  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  i )  -  ( F `  i ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    <_ cle 9407    - cmin 9583   -ucneg 9584    / cdiv 9981   2c2 10359   ...cfz 11424   ^cexp 11849   sqrcsqr 12706   sum_csu 13147   EEcee 22957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-ico 11294  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-sum 13148  df-ee 22960
This theorem is referenced by:  axsegcon  22996
  Copyright terms: Public domain W3C validator