MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsegconlem2 Structured version   Unicode version

Theorem axsegconlem2 23296
Description: Lemma for axsegcon 23305. Show that the square of the distance between two points is a real number. (Contributed by Scott Fenton, 17-Sep-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axsegconlem2.1  |-  S  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p )
) ^ 2 )
Assertion
Ref Expression
axsegconlem2  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  ->  S  e.  RR )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    N, p
Allowed substitution hint:    S( p)

Proof of Theorem axsegconlem2
StepHypRef Expression
1 axsegconlem2.1 . 2  |-  S  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p )
) ^ 2 )
2 fzfid 11893 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( 1 ... N
)  e.  Fin )
3 fveere 23279 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  p  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  p )  e.  RR )
4 fveere 23279 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  p  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  p )  e.  RR )
5 resubcl 9771 . . . . . 6  |-  ( ( ( A `  p
)  e.  RR  /\  ( B `  p )  e.  RR )  -> 
( ( A `  p )  -  ( B `  p )
)  e.  RR )
65resqcld 12132 . . . . 5  |-  ( ( ( A `  p
)  e.  RR  /\  ( B `  p )  e.  RR )  -> 
( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 )  e.  RR )
73, 4, 6syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  p  e.  ( 1 ... N ) )  /\  ( B  e.  ( EE `  N )  /\  p  e.  ( 1 ... N
) ) )  -> 
( ( ( A `
 p )  -  ( B `  p ) ) ^ 2 )  e.  RR )
87anandirs 827 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  p  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( A `  p )  -  ( B `  p )
) ^ 2 )  e.  RR )
92, 8fsumrecl 13310 . 2  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  ->  sum_ p  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p )
) ^ 2 )  e.  RR )
101, 9syl5eqel 2541 1  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  ->  S  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   RRcr 9379   1c1 9381    - cmin 9693   2c2 10469   ...cfz 11535   ^cexp 11963   sum_csu 13262   EEcee 23266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4498  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-inf2 7945  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457  ax-pre-sup 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-int 4224  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-se 4775  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-1st 6674  df-2nd 6675  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-1o 7017  df-oadd 7021  df-er 7198  df-map 7313  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-fin 7411  df-sup 7789  df-oi 7822  df-card 8207  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-div 10092  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-n0 10678  df-z 10745  df-uz 10960  df-rp 11090  df-fz 11536  df-fzo 11647  df-seq 11905  df-exp 11964  df-hash 12202  df-cj 12687  df-re 12688  df-im 12689  df-sqr 12823  df-abs 12824  df-clim 13065  df-sum 13263  df-ee 23269
This theorem is referenced by:  axsegconlem4  23298  axsegconlem5  23299  axsegconlem6  23300  axsegconlem9  23303
  Copyright terms: Public domain W3C validator