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Theorem axsegconlem10 23170
Description: Lemma for axsegcon 23171. Show that the scaling constant from axsegconlem7 23167 produces the betweenness condition for  A,  B and  F. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axsegconlem2.1  |-  S  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p )
) ^ 2 )
axsegconlem7.2  |-  T  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p )
) ^ 2 )
axsegconlem8.3  |-  F  =  ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  k
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
Assertion
Ref Expression
axsegconlem10  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( ( sqr `  S )  /  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )  x.  ( F `  i ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    C, p    D, p    N, p    A, i, k    B, i, k    C, i, k    D, i, k    i, N, k    S, i, k    T, i, k    i, p
Allowed substitution hints:    S( p)    T( p)    F( i, k, p)

Proof of Theorem axsegconlem10
StepHypRef Expression
1 axsegconlem7.2 . . . . . . . 8  |-  T  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p )
) ^ 2 )
21axsegconlem4 23164 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( sqr `  T
)  e.  RR )
32ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  T )  e.  RR )
4 simpl1 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
5 fveere 23145 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
64, 5sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
73, 6remulcld 9412 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  e.  RR )
87recnd 9410 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  e.  CC )
9 axsegconlem2.1 . . . . . . . . 9  |-  S  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p )
) ^ 2 )
109axsegconlem4 23164 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( sqr `  S
)  e.  RR )
11103adant3 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  ( sqr `  S )  e.  RR )
1211ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  S )  e.  RR )
13 axsegconlem8.3 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  k
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
149, 1, 13axsegconlem8 23168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  F  e.  ( EE `  N
) )
15 fveere 23145 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
1614, 15sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
1712, 16remulcld 9412 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) )  e.  RR )
1817recnd 9410 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) )  e.  CC )
19 readdcl 9363 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  S
)  e.  RR  /\  ( sqr `  T )  e.  RR )  -> 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  RR )
2011, 2, 19syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  RR )
2120adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  RR )
2221recnd 9410 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  CC )
23 0re 9384 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2423a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  0  e.  RR )
2511adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( sqr `  S )  e.  RR )
269axsegconlem6 23166 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  0  <  ( sqr `  S
) )
2726adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  0  <  ( sqr `  S
) )
281axsegconlem5 23165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  T ) )
2928adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  0  <_  ( sqr `  T
) )
30 addge01 9847 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  S
)  e.  RR  /\  ( sqr `  T )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( sqr `  T )  <->  ( sqr `  S )  <_  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) ) )
3111, 2, 30syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
0  <_  ( sqr `  T )  <->  ( sqr `  S )  <_  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) ) )
3229, 31mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( sqr `  S )  <_ 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )
3324, 25, 20, 27, 32ltletrd 9529 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  0  <  ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )
3433gt0ne0d 9902 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  =/=  0 )
3534adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  =/=  0 )
368, 18, 22, 35divdird 10143 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i ) ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  +  ( ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i )
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) ) )
37 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( B `  k )  =  ( B `  i ) )
3837oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  k
) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) ) )
39 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( A `  k )  =  ( A `  i ) )
4039oveq2d 6105 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 k ) )  =  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )
4138, 40oveq12d 6107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  k )
) )  =  ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) ) )
4241oveq1d 6104 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  k ) ) )  /  ( sqr `  S
) )  =  ( ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  i )
)  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i ) ) )  /  ( sqr `  S
) ) )
43 ovex 6114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  /  ( sqr `  S ) )  e.  _V
4442, 13, 43fvmpt 5772 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  ( F `  i )  =  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
4544adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  i )  =  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
4645oveq2d 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) )  =  ( ( sqr `  S )  x.  (
( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  i )
)  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i ) ) )  /  ( sqr `  S
) ) ) )
47 simpl2 992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
48 fveere 23145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
4947, 48sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
5021, 49remulcld 9412 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  e.  RR )
5150, 7resubcld 9774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  e.  RR )
5251recnd 9410 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  e.  CC )
5312recnd 9410 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  S )  e.  CC )
5426gt0ne0d 9902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  ( sqr `  S )  =/=  0 )
5554ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  S )  =/=  0 )
5652, 53, 55divcan2d 10107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  /  ( sqr `  S ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )
5746, 56eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) )  =  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )
5857oveq2d 6105 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i )
) )  =  ( ( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) ) )
5950recnd 9410 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  e.  CC )
608, 59pncan3d 9720 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) ) )
6158, 60eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i )
) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) ) )
627, 17readdcld 9411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i )
) )  e.  RR )
6362recnd 9410 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i )
) )  e.  CC )
6449recnd 9410 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
6563, 64, 22, 35divmul2d 10138 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  =  ( B `  i
)  <->  ( ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) ) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) ) ) )
6661, 65mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i ) ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( B `  i ) )
672recnd 9410 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( sqr `  T
)  e.  CC )
6867ad2antlr 726 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  T )  e.  CC )
696recnd 9410 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
7068, 69, 22, 35div23d 10142 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( ( ( sqr `  T
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( A `  i
) ) )
7122, 53, 22, 35divsubdird 10144 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  / 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  / 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )  -  ( ( sqr `  S )  /  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) ) ) )
7211recnd 9410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  ( sqr `  S )  e.  CC )
73 pncan2 9615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  S
)  e.  CC  /\  ( sqr `  T )  e.  CC )  -> 
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  =  ( sqr `  T
) )
7472, 67, 73syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  =  ( sqr `  T ) )
7574adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  =  ( sqr `  T ) )
7675oveq1d 6104 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  / 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( ( sqr `  T )  /  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) ) )
7722, 35dividd 10103 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  / 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )  =  1 )
7877oveq1d 6104 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  -  ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) )  =  ( 1  -  ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) ) )
7971, 76, 783eqtr3d 2481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  =  ( 1  -  (
( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) ) )
8079oveq1d 6104 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( A `  i
) )  =  ( ( 1  -  (
( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) )  x.  ( A `  i ) ) )
8170, 80eqtrd 2473 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( ( 1  -  (
( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) )  x.  ( A `  i ) ) )
8216recnd 9410 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  i )  e.  CC )
8353, 82, 22, 35div23d 10142 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( F `  i
) ) )
8481, 83oveq12d 6107 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  +  ( ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i )
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  S )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) ) )  x.  ( A `  i
) )  +  ( ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( F `  i
) ) ) )
8536, 66, 843eqtr3d 2481 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  S )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) ) )  x.  ( A `  i
) )  +  ( ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( F `  i
) ) ) )
8685ralrimiva 2797 1  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( ( sqr `  S )  /  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )  x.  ( F `  i ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   A.wral 2713   class class class wbr 4290    e. cmpt 4348   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   CCcc 9278   RRcr 9279   0cc0 9280   1c1 9281    + caddc 9283    x. cmul 9285    < clt 9416    <_ cle 9417    - cmin 9593    / cdiv 9991   2c2 10369   ...cfz 11435   ^cexp 11863   sqrcsqr 12720   sum_csu 13161   EEcee 23132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-rp 10990  df-ico 11304  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-clim 12964  df-sum 13162  df-ee 23135
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