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Theorem axsegconlem10 24646
Description: Lemma for axsegcon 24647. Show that the scaling constant from axsegconlem7 24643 produces the betweenness condition for  A,  B and  F. (Contributed by Scott Fenton, 21-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axsegconlem2.1  |-  S  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p )
) ^ 2 )
axsegconlem7.2  |-  T  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p )
) ^ 2 )
axsegconlem8.3  |-  F  =  ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  k
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
Assertion
Ref Expression
axsegconlem10  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( ( sqr `  S )  /  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )  x.  ( F `  i ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    C, p    D, p    N, p    A, i, k    B, i, k    C, i, k    D, i, k    i, N, k    S, i, k    T, i, k    i, p
Allowed substitution hints:    S( p)    T( p)    F( i, k, p)

Proof of Theorem axsegconlem10
StepHypRef Expression
1 axsegconlem7.2 . . . . . . . 8  |-  T  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( C `  p )  -  ( D `  p )
) ^ 2 )
21axsegconlem4 24640 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( sqr `  T
)  e.  RR )
32ad2antlr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  T )  e.  RR )
4 simpl1 1000 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A  e.  ( EE `  N
) )
5 fveere 24621 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
64, 5sylan 469 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  i )  e.  RR )
73, 6remulcld 9654 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  e.  RR )
87recnd 9652 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  e.  CC )
9 axsegconlem2.1 . . . . . . . . 9  |-  S  = 
sum_ p  e.  (
1 ... N ) ( ( ( A `  p )  -  ( B `  p )
) ^ 2 )
109axsegconlem4 24640 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( sqr `  S
)  e.  RR )
11103adant3 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  ( sqr `  S )  e.  RR )
1211ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  S )  e.  RR )
13 axsegconlem8.3 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  k
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 k ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
149, 1, 13axsegconlem8 24644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  F  e.  ( EE `  N
) )
15 fveere 24621 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
1614, 15sylan 469 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  i )  e.  RR )
1712, 16remulcld 9654 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) )  e.  RR )
1817recnd 9652 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) )  e.  CC )
19 readdcl 9605 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  S
)  e.  RR  /\  ( sqr `  T )  e.  RR )  -> 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  RR )
2011, 2, 19syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  RR )
2120adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  RR )
2221recnd 9652 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  e.  CC )
23 0red 9627 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  0  e.  RR )
2411adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( sqr `  S )  e.  RR )
259axsegconlem6 24642 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  0  <  ( sqr `  S
) )
2625adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  0  <  ( sqr `  S
) )
271axsegconlem5 24641 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  T ) )
2827adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  0  <_  ( sqr `  T
) )
29 addge01 10103 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  S
)  e.  RR  /\  ( sqr `  T )  e.  RR )  -> 
( 0  <_  ( sqr `  T )  <->  ( sqr `  S )  <_  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) ) )
3011, 2, 29syl2an 475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
0  <_  ( sqr `  T )  <->  ( sqr `  S )  <_  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) ) )
3128, 30mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  ( sqr `  S )  <_ 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )
3223, 24, 20, 26, 31ltletrd 9776 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  0  <  ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )
3332gt0ne0d 10157 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  =/=  0 )
3433adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  =/=  0 )
358, 18, 22, 34divdird 10399 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i ) ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  +  ( ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i )
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) ) )
36 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( B `  k )  =  ( B `  i ) )
3736oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  k
) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) ) )
38 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( A `  k )  =  ( A `  i ) )
3938oveq2d 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  i  ->  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 k ) )  =  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )
4037, 39oveq12d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 k ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  k )
) )  =  ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) ) )
4140oveq1d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  i  ->  (
( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  k )
)  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  k ) ) )  /  ( sqr `  S
) )  =  ( ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  i )
)  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i ) ) )  /  ( sqr `  S
) ) )
42 ovex 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  /  ( sqr `  S ) )  e.  _V
4341, 13, 42fvmpt 5932 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  ( F `  i )  =  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
4443adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  i )  =  ( ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) )  /  ( sqr `  S ) ) )
4544oveq2d 6294 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) )  =  ( ( sqr `  S )  x.  (
( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) )  x.  ( B `  i )
)  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i ) ) )  /  ( sqr `  S
) ) ) )
46 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  B  e.  ( EE `  N
) )
47 fveere 24621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
4846, 47sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
4921, 48remulcld 9654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  e.  RR )
5049, 7resubcld 10028 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  e.  RR )
5150recnd 9652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  e.  CC )
5212recnd 9652 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  S )  e.  CC )
5325gt0ne0d 10157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  ( sqr `  S )  =/=  0 )
5453ad2antrr 724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  S )  =/=  0 )
5551, 52, 54divcan2d 10363 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( ( ( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `
 i ) )  -  ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
) )  /  ( sqr `  S ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )
5645, 55eqtrd 2443 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) )  =  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )
5756oveq2d 6294 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i )
) )  =  ( ( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) ) )
5849recnd 9652 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  e.  CC )
598, 58pncan3d 9970 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) )  -  (
( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) ) ) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) ) )
6057, 59eqtrd 2443 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i )
) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) ) )
617, 17readdcld 9653 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i )
) )  e.  RR )
6261recnd 9652 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i )
) )  e.  CC )
6348recnd 9652 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
6462, 63, 22, 34divmul2d 10394 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  =  ( B `  i
)  <->  ( ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) ) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  x.  ( B `  i
) ) ) )
6560, 64mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
)  +  ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i ) ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( B `  i ) )
662recnd 9652 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  -> 
( sqr `  T
)  e.  CC )
6766ad2antlr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( sqr `  T )  e.  CC )
686recnd 9652 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( A `  i )  e.  CC )
6967, 68, 22, 34div23d 10398 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( ( ( sqr `  T
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( A `  i
) ) )
7022, 52, 22, 34divsubdird 10400 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  / 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( ( ( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  / 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )  -  ( ( sqr `  S )  /  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) ) ) )
7111recnd 9652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ( EE
`  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B )  ->  ( sqr `  S )  e.  CC )
72 pncan2 9863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  S
)  e.  CC  /\  ( sqr `  T )  e.  CC )  -> 
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  =  ( sqr `  T
) )
7371, 66, 72syl2an 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  =  ( sqr `  T ) )
7473adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  =  ( sqr `  T ) )
7574oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  -  ( sqr `  S ) )  / 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( ( sqr `  T )  /  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) ) )
7622, 34dividd 10359 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) )  / 
( ( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )  =  1 )
7776oveq1d 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  -  ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) )  =  ( 1  -  ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) ) )
7870, 75, 773eqtr3d 2451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( sqr `  T
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  =  ( 1  -  (
( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) ) )
7978oveq1d 6293 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( A `  i
) )  =  ( ( 1  -  (
( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) )  x.  ( A `  i ) ) )
8069, 79eqtrd 2443 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  T
)  x.  ( A `
 i ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( ( 1  -  (
( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) )  x.  ( A `  i ) ) )
8116recnd 9652 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( F `  i )  e.  CC )
8252, 81, 22, 34div23d 10398 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( sqr `  S
)  x.  ( F `
 i ) )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) )  =  ( ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( F `  i
) ) )
8380, 82oveq12d 6296 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( ( sqr `  T )  x.  ( A `  i )
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  +  ( ( ( sqr `  S )  x.  ( F `  i )
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  S )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) ) )  x.  ( A `  i
) )  +  ( ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( F `  i
) ) ) )
8435, 65, 833eqtr3d 2451 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  S )  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T ) ) ) )  x.  ( A `  i
) )  +  ( ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) )  x.  ( F `  i
) ) ) )
8584ralrimiva 2818 1  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N )  /\  A  =/=  B
)  /\  ( C  e.  ( EE `  N
)  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  ( ( sqr `  S
)  /  ( ( sqr `  S )  +  ( sqr `  T
) ) ) )  x.  ( A `  i ) )  +  ( ( ( sqr `  S )  /  (
( sqr `  S
)  +  ( sqr `  T ) ) )  x.  ( F `  i ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525    x. cmul 9527    < clt 9658    <_ cle 9659    - cmin 9841    / cdiv 10247   2c2 10626   ...cfz 11726   ^cexp 12210   sqrcsqrt 13215   sum_csu 13657   EEcee 24608
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-ico 11588  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-ee 24611
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