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Theorem axsegconlem1 24346
Description: Lemma for axsegcon 24356. Handle the degenerate case. (Contributed by Scott Fenton, 7-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axsegconlem1  |-  ( ( A  =  B  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
Distinct variable groups:    t, N, i, x    t, A, i, x    t, B, i, x    t, C, i, x    t, D, i, x

Proof of Theorem axsegconlem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveere 24330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
213ad2antl1 1158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
3 fveere 24330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  k )  e.  RR )
433ad2antl2 1159 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( C `  k )  e.  RR )
5 fveere 24330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( EE
`  N )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( D `  k )  e.  RR )
653ad2antl3 1160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( D `  k )  e.  RR )
74, 6resubcld 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) )  e.  RR )
82, 7resubcld 10008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) )  e.  RR )
98ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  ->  A. k  e.  ( 1 ... N
) ( ( B `
 k )  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k )
) )  e.  RR )
10 eleenn 24325 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( EE `  N )  ->  N  e.  NN )
11 mptelee 24324 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) )  e.  ( EE `  N )  <->  A. k  e.  (
1 ... N ) ( ( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) )  e.  RR ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( EE `  N )  ->  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) )  e.  ( EE `  N )  <->  A. k  e.  (
1 ... N ) ( ( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) )  e.  RR ) )
13123ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) )  e.  ( EE `  N )  <->  A. k  e.  (
1 ... N ) ( ( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) )  e.  RR ) )
149, 13mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) ) )  e.  ( EE
`  N ) )
15 fveecn 24331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
16153ad2antl1 1158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
17 fveecn 24331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  i )  e.  CC )
18173ad2antl2 1159 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( C `  i )  e.  CC )
19 fveecn 24331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( D `  i )  e.  CC )
20193ad2antl3 1160 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( D `  i )  e.  CC )
21 1m0e1 10667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  -  0 )  =  1
2221oveq1i 6306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i ) )  =  ( 1  x.  ( B `  i )
)
23 mulid2 9611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B `  i )  e.  CC  ->  (
1  x.  ( B `
 i ) )  =  ( B `  i ) )
24233ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  (
1  x.  ( B `
 i ) )  =  ( B `  i ) )
2522, 24syl5eq 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  (
( 1  -  0 )  x.  ( B `
 i ) )  =  ( B `  i ) )
26 subcl 9838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C `  i
)  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  -> 
( ( C `  i )  -  ( D `  i )
)  e.  CC )
27 subcl 9838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
)  e.  CC )  ->  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) )  e.  CC )
2826, 27sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i
)  e.  CC ) )  ->  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) )  e.  CC )
29283impb 1192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) )  e.  CC )
3029mul02d 9795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  (
0  x.  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ) )  =  0 )
3125, 30oveq12d 6314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  (
( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i )
)  +  ( 0  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) )  =  ( ( B `
 i )  +  0 ) )
32 addid1 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B `  i )  e.  CC  ->  (
( B `  i
)  +  0 )  =  ( B `  i ) )
33323ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  (
( B `  i
)  +  0 )  =  ( B `  i ) )
3431, 33eqtr2d 2499 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i ) )  +  ( 0  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ) )
3516, 18, 20, 34syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i ) )  +  ( 0  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ) )
3635ralrimiva 2871 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i )
)  +  ( 0  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ) )
3718, 20subcld 9950 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( C `  i
)  -  ( D `
 i ) )  e.  CC )
3816, 37nncand 9955 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( B `  i
)  -  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ) )  =  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) )
3938oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( B `  i )  -  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) )
4039sumeq2dv 13536 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  i )  -  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) )
41 0elunit 11663 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
42 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 k )  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k )
) ) )  -> 
( x `  i
)  =  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) ) ) `  i ) )
43 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  i  ->  ( B `  k )  =  ( B `  i ) )
44 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  ( C `  k )  =  ( C `  i ) )
45 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  ( D `  k )  =  ( D `  i ) )
4644, 45oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  i  ->  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) )  =  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) )
4743, 46oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  i  ->  (
( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) )  =  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) )
48 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) )
49 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) )  e.  _V
5047, 48, 49fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) ) `  i
)  =  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ) )
5142, 50sylan9eq 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( x `  i )  =  ( ( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) )
5251oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( t  x.  ( x `  i
) )  =  ( t  x.  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ) ) )
5352oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
x `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ) )
5453eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( B `
 i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i
) )  +  ( t  x.  ( x `
 i ) ) )  <->  ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ) ) )
5554ralbidva 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 k )  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k )
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  <->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ) ) )
5651oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) )  =  ( ( B `  i
)  -  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ) ) )
5756oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( B `  i )  -  ( x `  i ) ) ^
2 )  =  ( ( ( B `  i )  -  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ^ 2 ) )
5857sumeq2dv 13536 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 k )  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k )
) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( B `  i )  -  (
( C `  i
)  -  ( D `
 i ) ) ) ) ^ 2 ) )
5958eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 k )  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k )
) ) )  -> 
( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 )  <->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  i )  -  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) ) )
6055, 59anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 k )  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k )
) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) ) )
61 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  0  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  0 ) )
6261oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  0  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  =  ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i
) ) )
63 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  0  ->  (
t  x.  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ) )  =  ( 0  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) )
6462, 63oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  0  ->  (
( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i ) )  +  ( 0  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ) )
6564eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  0  ->  (
( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( B `  i )  -  (
( C `  i
)  -  ( D `
 i ) ) ) ) )  <->  ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i )
)  +  ( 0  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ) ) )
6665ralbidv 2896 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  0  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i )
)  +  ( 0  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ) ) )
6766anbi1d 704 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  0  ->  (
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( B `  i )  -  (
( C `  i
)  -  ( D `
 i ) ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i ) )  +  ( 0  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) ) )
6860, 67rspc2ev 3221 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) )  e.  ( EE `  N )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i )
)  +  ( 0  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( B `  i )  -  (
( C `  i
)  -  ( D `
 i ) ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
6941, 68mp3an2 1312 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) )  e.  ( EE `  N )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i )
)  +  ( 0  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( B `  i )  -  (
( C `  i
)  -  ( D `
 i ) ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
7014, 36, 40, 69syl12anc 1226 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
71703expb 1197 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
7271adantll 713 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) )
73 fveq1 5871 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  ( A `  i )  =  ( B `  i ) )
7473oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  =  ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i
) ) )
7574oveq1d 6311 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (
( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
x `  i )
) ) )
7675eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  (
( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  <->  ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) ) ) )
7776ralbidv 2896 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i ) )  +  ( t  x.  (
x `  i )
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) ) ) )
7877anbi1d 704 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  (
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
x `  i )
) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) ) )
79782rexbidv 2975 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) )  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) ) )
8072, 79syl5ibr 221 . 2  |-  ( A  =  B  ->  (
( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) ) )
8180imp 429 1  |-  ( ( A  =  B  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    - cmin 9824   NNcn 10556   2c2 10606   [,]cicc 11557   ...cfz 11697   ^cexp 12168   sum_csu 13519   EEcee 24317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-icc 11561  df-fz 11698  df-seq 12110  df-sum 13520  df-ee 24320
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