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Theorem axsegconlem1 24951
Description: Lemma for axsegcon 24961. Handle the degenerate case. (Contributed by Scott Fenton, 7-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axsegconlem1  |-  ( ( A  =  B  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
Distinct variable groups:    t, N, i, x    t, A, i, x    t, B, i, x    t, C, i, x    t, D, i, x

Proof of Theorem axsegconlem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveere 24935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
213ad2antl1 1168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
3 fveere 24935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  k )  e.  RR )
433ad2antl2 1169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( C `  k )  e.  RR )
5 fveere 24935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( EE
`  N )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( D `  k )  e.  RR )
653ad2antl3 1170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( D `  k )  e.  RR )
74, 6resubcld 10060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) )  e.  RR )
82, 7resubcld 10060 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  k  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) )  e.  RR )
98ralrimiva 2841 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  ->  A. k  e.  ( 1 ... N
) ( ( B `
 k )  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k )
) )  e.  RR )
10 eleenn 24930 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( EE `  N )  ->  N  e.  NN )
11 mptelee 24929 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) )  e.  ( EE `  N )  <->  A. k  e.  (
1 ... N ) ( ( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) )  e.  RR ) )
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( EE `  N )  ->  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) )  e.  ( EE `  N )  <->  A. k  e.  (
1 ... N ) ( ( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) )  e.  RR ) )
13123ad2ant1 1027 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) )  e.  ( EE `  N )  <->  A. k  e.  (
1 ... N ) ( ( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) )  e.  RR ) )
149, 13mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  ->  (
k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) ) )  e.  ( EE
`  N ) )
15 fveecn 24936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
16153ad2antl1 1168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  e.  CC )
17 fveecn 24936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( C `  i )  e.  CC )
18173ad2antl2 1169 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( C `  i )  e.  CC )
19 fveecn 24936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( EE
`  N )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( D `  i )  e.  CC )
20193ad2antl3 1170 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( D `  i )  e.  CC )
21 1m0e1 10733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  -  0 )  =  1
2221oveq1i 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i ) )  =  ( 1  x.  ( B `  i )
)
23 mulid2 9654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B `  i )  e.  CC  ->  (
1  x.  ( B `
 i ) )  =  ( B `  i ) )
24233ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  (
1  x.  ( B `
 i ) )  =  ( B `  i ) )
2522, 24syl5eq 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  (
( 1  -  0 )  x.  ( B `
 i ) )  =  ( B `  i ) )
26 subcl 9887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( C `  i
)  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  -> 
( ( C `  i )  -  ( D `  i )
)  e.  CC )
27 subcl 9887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
)  e.  CC )  ->  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) )  e.  CC )
2826, 27sylan2 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i
)  e.  CC ) )  ->  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) )  e.  CC )
29283impb 1202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) )  e.  CC )
3029mul02d 9844 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  (
0  x.  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ) )  =  0 )
3125, 30oveq12d 6329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  (
( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i )
)  +  ( 0  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) )  =  ( ( B `
 i )  +  0 ) )
32 addid1 9826 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B `  i )  e.  CC  ->  (
( B `  i
)  +  0 )  =  ( B `  i ) )
33323ad2ant1 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  (
( B `  i
)  +  0 )  =  ( B `  i ) )
3431, 33eqtr2d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B `  i
)  e.  CC  /\  ( C `  i )  e.  CC  /\  ( D `  i )  e.  CC )  ->  ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i ) )  +  ( 0  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ) )
3516, 18, 20, 34syl3anc 1265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i ) )  +  ( 0  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ) )
3635ralrimiva 2841 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  ->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i )
)  +  ( 0  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ) )
3718, 20subcld 9999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( C `  i
)  -  ( D `
 i ) )  e.  CC )
3816, 37nncand 10004 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( B `  i
)  -  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ) )  =  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) )
3938oveq1d 6326 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( EE `  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N
) )  ->  (
( ( B `  i )  -  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) )
4039sumeq2dv 13774 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  i )  -  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) )
41 0elunit 11763 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
42 fveq1 5886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 k )  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k )
) ) )  -> 
( x `  i
)  =  ( ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) ) ) `  i ) )
43 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  i  ->  ( B `  k )  =  ( B `  i ) )
44 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  ( C `  k )  =  ( C `  i ) )
45 fveq2 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  i  ->  ( D `  k )  =  ( D `  i ) )
4644, 45oveq12d 6329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  i  ->  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) )  =  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) )
4743, 46oveq12d 6329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  i  ->  (
( B `  k
)  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k ) ) )  =  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) )
48 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  =  ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) )
49 ovex 6339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) )  e.  _V
5047, 48, 49fvmpt 5970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... N )  ->  (
( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) ) `  i
)  =  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ) )
5142, 50sylan9eq 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( x `  i )  =  ( ( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) )
5251oveq2d 6327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( t  x.  ( x `  i
) )  =  ( t  x.  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ) ) )
5352oveq2d 6327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
x `  i )
) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ) )
5453eqeq2d 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( B `
 i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i
) )  +  ( t  x.  ( x `
 i ) ) )  <->  ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ) ) )
5554ralbidva 2863 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 k )  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k )
) ) )  -> 
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  <->  A. i  e.  (
1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ) ) )
5651oveq2d 6327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) )  =  ( ( B `  i
)  -  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ) ) )
5756oveq1d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N )  |->  ( ( B `  k )  -  ( ( C `
 k )  -  ( D `  k ) ) ) )  /\  i  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( ( B `  i )  -  ( x `  i ) ) ^
2 )  =  ( ( ( B `  i )  -  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ^ 2 ) )
5857sumeq2dv 13774 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 k )  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k )
) ) )  ->  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( B `  i )  -  (
( C `  i
)  -  ( D `
 i ) ) ) ) ^ 2 ) )
5958eqeq1d 2425 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 k )  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k )
) ) )  -> 
( sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 )  <->  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( B `  i )  -  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ^
2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ^ 2 ) ) )
6055, 59anbi12d 716 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( k  e.  ( 1 ... N
)  |->  ( ( B `
 k )  -  ( ( C `  k )  -  ( D `  k )
) ) )  -> 
( ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) ) )
61 oveq2 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  0  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  0 ) )
6261oveq1d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  0  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  =  ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i
) ) )
63 oveq1 6318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  0  ->  (
t  x.  ( ( B `  i )  -  ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ) )  =  ( 0  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) )
6462, 63oveq12d 6329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  0  ->  (
( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i ) )  +  ( 0  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ) )
6564eqeq2d 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  0  ->  (
( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( ( B `  i )  -  (
( C `  i
)  -  ( D `
 i ) ) ) ) )  <->  ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i )
)  +  ( 0  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ) ) )
6665ralbidv 2866 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  0  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i )
)  +  ( 0  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) ) ) )
6766anbi1d 710 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  0  ->  (
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( B `  i )  -  (
( C `  i
)  -  ( D `
 i ) ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i ) )  +  ( 0  x.  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
( B `  i
)  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) ) )
6860, 67rspc2ev 3199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) )  e.  ( EE `  N )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i )
)  +  ( 0  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( B `  i )  -  (
( C `  i
)  -  ( D `
 i ) ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
6941, 68mp3an2 1349 . . . . . 6  |-  ( ( ( k  e.  ( 1 ... N ) 
|->  ( ( B `  k )  -  (
( C `  k
)  -  ( D `
 k ) ) ) )  e.  ( EE `  N )  /\  ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  0 )  x.  ( B `  i )
)  +  ( 0  x.  ( ( B `
 i )  -  ( ( C `  i )  -  ( D `  i )
) ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( ( B `  i )  -  (
( C `  i
)  -  ( D `
 i ) ) ) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
7014, 36, 40, 69syl12anc 1263 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N
) E. t  e.  ( 0 [,] 1
) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
71703expb 1207 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( EE
`  N )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
7271adantll 719 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( EE `  N )  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( B `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) )
73 fveq1 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  B  ->  ( A `  i )  =  ( B `  i ) )
7473oveq2d 6327 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  B  ->  (
( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  =  ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i
) ) )
7574oveq1d 6326 . . . . . . 7  |-  ( A  =  B  ->  (
( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
x `  i )
) ) )
7675eqeq2d 2437 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  (
( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  <->  ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) ) ) )
7776ralbidv 2866 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( A. i  e.  (
1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i ) )  +  ( t  x.  (
x `  i )
) )  <->  A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) ) ) )
7877anbi1d 710 . . . 4  |-  ( A  =  B  ->  (
( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) )  <->  ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i ) )  +  ( t  x.  (
x `  i )
) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) ) )
79782rexbidv 2948 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  ( E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) )  <->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( B `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) ) )
8072, 79syl5ibr 225 . 2  |-  ( A  =  B  ->  (
( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N ) ( B `  i
)  =  ( ( ( 1  -  t
)  x.  ( A `
 i ) )  +  ( t  x.  ( x `  i
) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `  i )  -  (
x `  i )
) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( C `
 i )  -  ( D `  i ) ) ^ 2 ) ) ) )
8180imp 431 1  |-  ( ( A  =  B  /\  ( ( A  e.  ( EE `  N
)  /\  B  e.  ( EE `  N ) )  /\  ( C  e.  ( EE `  N )  /\  D  e.  ( EE `  N
) ) ) )  ->  E. x  e.  ( EE `  N ) E. t  e.  ( 0 [,] 1 ) ( A. i  e.  ( 1 ... N
) ( B `  i )  =  ( ( ( 1  -  t )  x.  ( A `  i )
)  +  ( t  x.  ( x `  i ) ) )  /\  sum_ i  e.  ( 1 ... N ) ( ( ( B `
 i )  -  ( x `  i
) ) ^ 2 )  =  sum_ i  e.  ( 1 ... N
) ( ( ( C `  i )  -  ( D `  i ) ) ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1873   A.wral 2776   E.wrex 2777    |-> cmpt 4488   ` cfv 5607  (class class class)co 6311   CCcc 9550   RRcr 9551   0cc0 9552   1c1 9553    + caddc 9555    x. cmul 9557    - cmin 9873   NNcn 10622   2c2 10672   [,]cicc 11651   ...cfz 11797   ^cexp 12284   sum_csu 13757   EEcee 24922
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1664  ax-4 1677  ax-5 1753  ax-6 1799  ax-7 1844  ax-8 1875  ax-9 1877  ax-10 1892  ax-11 1897  ax-12 1910  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-sep 4552  ax-nul 4561  ax-pow 4608  ax-pr 4666  ax-un 6603  ax-cnex 9608  ax-resscn 9609  ax-1cn 9610  ax-icn 9611  ax-addcl 9612  ax-addrcl 9613  ax-mulcl 9614  ax-mulrcl 9615  ax-mulcom 9616  ax-addass 9617  ax-mulass 9618  ax-distr 9619  ax-i2m1 9620  ax-1ne0 9621  ax-1rid 9622  ax-rnegex 9623  ax-rrecex 9624  ax-cnre 9625  ax-pre-lttri 9626  ax-pre-lttrn 9627  ax-pre-ltadd 9628  ax-pre-mulgt0 9629
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1659  df-nf 1663  df-sb 1792  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3087  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3918  df-pw 3989  df-sn 4005  df-pr 4007  df-tp 4009  df-op 4011  df-uni 4226  df-iun 4307  df-br 4430  df-opab 4489  df-mpt 4490  df-tr 4525  df-eprel 4770  df-id 4774  df-po 4780  df-so 4781  df-fr 4818  df-we 4820  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-pred 5405  df-ord 5451  df-on 5452  df-lim 5453  df-suc 5454  df-iota 5571  df-fun 5609  df-fn 5610  df-f 5611  df-f1 5612  df-fo 5613  df-f1o 5614  df-fv 5615  df-riota 6273  df-ov 6314  df-oprab 6315  df-mpt2 6316  df-om 6713  df-1st 6813  df-2nd 6814  df-wrecs 7045  df-recs 7107  df-rdg 7145  df-er 7380  df-map 7491  df-en 7587  df-dom 7588  df-sdom 7589  df-pnf 9690  df-mnf 9691  df-xr 9692  df-ltxr 9693  df-le 9694  df-sub 9875  df-neg 9876  df-nn 10623  df-n0 10883  df-z 10951  df-uz 11173  df-icc 11655  df-fz 11798  df-seq 12226  df-sum 13758  df-ee 24925
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