Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axrrecex Structured version   Unicode version

Theorem axrrecex 9538
 Description: Existence of reciprocal of nonzero real number. Axiom 16 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-rrecex 9562. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axrrecex
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem axrrecex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 9506 . . . 4
2 df-rex 2720 . . . 4
31, 2bitri 252 . . 3
4 neeq1 2663 . . . 4
5 oveq1 6256 . . . . . 6
65eqeq1d 2430 . . . . 5
76rexbidv 2878 . . . 4
84, 7imbi12d 321 . . 3
9 df-0 9497 . . . . . . 7
109eqeq2i 2440 . . . . . 6
11 vex 3025 . . . . . . 7
1211eqresr 9512 . . . . . 6
1310, 12bitri 252 . . . . 5
1413necon3bii 2653 . . . 4
15 recexsr 9482 . . . . . 6
1615ex 435 . . . . 5
17 opelreal 9505 . . . . . . . . . 10
1817anbi1i 699 . . . . . . . . 9
19 mulresr 9514 . . . . . . . . . . . 12
2019eqeq1d 2430 . . . . . . . . . . 11
21 df-1 9498 . . . . . . . . . . . . 13
2221eqeq2i 2440 . . . . . . . . . . . 12
23 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . 13
2423eqresr 9512 . . . . . . . . . . . 12
2522, 24bitri 252 . . . . . . . . . . 11
2620, 25syl6bb 264 . . . . . . . . . 10
2726pm5.32da 645 . . . . . . . . 9
2818, 27syl5bb 260 . . . . . . . 8
29 oveq2 6257 . . . . . . . . . 10
3029eqeq1d 2430 . . . . . . . . 9
3130rspcev 3125 . . . . . . . 8
3228, 31syl6bir 232 . . . . . . 7
3332expd 437 . . . . . 6
3433rexlimdv 2854 . . . . 5
3516, 34syld 45 . . . 4
3614, 35syl5bi 220 . . 3
373, 8, 36gencl 3053 . 2
3837imp 430 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437  wex 1657   wcel 1872   wne 2599  wrex 2715  cop 3947  (class class class)co 6249  cnr 9241  c0r 9242  c1r 9243   cmr 9246  cr 9489  cc0 9490  c1 9491   cmul 9495 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-omul 7142  df-er 7318  df-ec 7320  df-qs 7324  df-ni 9248  df-pli 9249  df-mi 9250  df-lti 9251  df-plpq 9284  df-mpq 9285  df-ltpq 9286  df-enq 9287  df-nq 9288  df-erq 9289  df-plq 9290  df-mq 9291  df-1nq 9292  df-rq 9293  df-ltnq 9294  df-np 9357  df-1p 9358  df-plp 9359  df-mp 9360  df-ltp 9361  df-enr 9431  df-nr 9432  df-plr 9433  df-mr 9434  df-ltr 9435  df-0r 9436  df-1r 9437  df-m1r 9438  df-c 9496  df-0 9497  df-1 9498  df-r 9500  df-mul 9502 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator