Theorem axrrecex 5296

Description: Existence of reciprocal of nonzero real number. Axiom 18 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axrrecex	|- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> E.x e. RR (A x. x) = 1)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem axrrecex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 5262	. . 3 |- (A e. RR <-> E.y(y e. R. /\ <.y, 0R>. = A))
2		neeq1 1593	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = A -> (<.y, 0R>. =/= 0 <-> A =/= 0))
3		opreq1 3974	. . . . . 6 |- (<.y, 0R>. = A -> (<.y, 0R>. x. x) = (A x. x))
4	3	eqeq1d 1486	. . . . 5 |- (<.y, 0R>. = A -> ((<.y, 0R>. x. x) = 1 <-> (A x. x) = 1))
5	4	rexbidv 1667	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = A -> (E.x e. RR (<.y, 0R>. x. x) = 1 <-> E.x e. RR (A x. x) = 1))
6	2, 5	imbi12d 628	. . 3 |- (<.y, 0R>. = A -> ((<.y, 0R>. =/= 0 -> E.x e. RR (<.y, 0R>. x. x) = 1) <-> (A =/= 0 -> E.x e. RR (A x. x) = 1)))
7		visset 1816	. . . . . . 7 |- y e. V
8	7	recexsr 5228	. . . . . 6 |- (y e. R. -> (-. y = 0R -> E.z(z e. R. /\ (y .R z) = 1R)))
9		visset 1816	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. V
10	9	mulresr 5269	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = <.(y .R z), 0R>.)
11	10	eqeq1d 1486	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> ((<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1 <-> <.(y .R z), 0R>. = 1))
12		df-1 5254	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 = <.1R, 0R>.
13	12	eqeq2i 1488	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.(y .R z), 0R>. = 1 <-> <.(y .R z), 0R>. = <.1R, 0R>.)
14		oprex 3989	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y .R z) e. V
15	14	eqresr 5267	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.(y .R z), 0R>. = <.1R, 0R>. <-> (y .R z) = 1R)
16	13, 15	bitr 173	. . . . . . . . . . 11 |- (<.(y .R z), 0R>. = 1 <-> (y .R z) = 1R)
17	11, 16	syl6bb 538	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> ((<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1 <-> (y .R z) = 1R))
18	17	pm5.32da 651	. . . . . . . . 9 |- (y e. R. -> ((z e. R. /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1) <-> (z e. R. /\ (y .R z) = 1R)))
19		opelreal 5261	. . . . . . . . . 10 |- (<.z, 0R>. e. RR <-> z e. R.)
20	19	anbi1i 483	. . . . . . . . 9 |- ((<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1) <-> (z e. R. /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1))
21	18, 20	syl5bb 534	. . . . . . . 8 |- (y e. R. -> ((<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1) <-> (z e. R. /\ (y .R z) = 1R)))
22		opex 2788	. . . . . . . . 9 |- <.z, 0R>. e. V
23		eleq1 1537	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.z, 0R>. -> (x e. RR <-> <.z, 0R>. e. RR))
24		opreq2 3975	. . . . . . . . . . 11 |- (x = <.z, 0R>. -> (<.y, 0R>. x. x) = (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.))
25	24	eqeq1d 1486	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.z, 0R>. -> ((<.y, 0R>. x. x) = 1 <-> (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1))
26	23, 25	anbi12d 630	. . . . . . . . 9 |- (x = <.z, 0R>. -> ((x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1) <-> (<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1)))
27	22, 26	cla4ev 1872	. . . . . . . 8 |- ((<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1) -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1))
28	21, 27	syl6bir 215	. . . . . . 7 |- (y e. R. -> ((z e. R. /\ (y .R z) = 1R) -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1)))
29	28	19.23adv 1216	. . . . . 6 |- (y e. R. -> (E.z(z e. R. /\ (y .R z) = 1R) -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1)))
30	8, 29	syld 27	. . . . 5 |- (y e. R. -> (-. y = 0R -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1)))
31		df-0 5253	. . . . . . . 8 |- 0 = <.0R, 0R>.
32	31	eqeq2i 1488	. . . . . . 7 |- (<.y, 0R>. = 0 <-> <.y, 0R>. = <.0R, 0R>.)
33	7	eqresr 5267	. . . . . . 7 |- (<.y, 0R>. = <.0R, 0R>. <-> y = 0R)
34	32, 33	bitr 173	. . . . . 6 |- (<.y, 0R>. = 0 <-> y = 0R)
35	34	negbii 187	. . . . 5 |- (-. <.y, 0R>. = 0 <-> -. y = 0R)
36	30, 35	syl5ib 206	. . . 4 |- (y e. R. -> (-. <.y, 0R>. = 0 -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1)))
37		df-ne 1590	. . . 4 |- (<.y, 0R>. =/= 0 <-> -. <.y, 0R>. = 0)
38		df-rex 1653	. . . 4 |- (E.x e. RR (<.y, 0R>. x. x) = 1 <-> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1))
39	36, 37, 38	3imtr4g 555	. . 3 |- (y e. R. -> (<.y, 0R>. =/= 0 -> E.x e. RR (<.y, 0R>. x. x) = 1))
40	1, 6, 39	gencl 1831	. 2 |- (A e. RR -> (A =/= 0 -> E.x e. RR (A x. x) = 1))
41	40	imp 350	1 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> E.x e. RR (A x. x) = 1)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982   =/= wne 1588  E.wrex 1649  <.cop 2415  (class class class)co 3969  R.cnr 5005  0Rc0r 5006  1Rc1r 5007   .R cmr 5010  RRcr 5245  0cc0 5246  1c1 5247   x. cmul 5251

This theorem is referenced by:  1re 5447  recext 5696  redivcl 5800

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-r 5256  df-mul 5258

Copyright terms: Public domain