MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axrrecex Structured version   Unicode version

Theorem axrrecex 9538
Description: Existence of reciprocal of nonzero real number. Axiom 16 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-rrecex 9562. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axrrecex  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  ->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x
)  =  1 )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem axrrecex
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 9506 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  A )
2 df-rex 2720 . . . 4  |-  ( E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  A  <->  E. y ( y  e. 
R.  /\  <. y ,  0R >.  =  A
) )
31, 2bitri 252 . . 3  |-  ( A  e.  RR  <->  E. y
( y  e.  R.  /\ 
<. y ,  0R >.  =  A ) )
4 neeq1 2663 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( <. y ,  0R >.  =/=  0  <->  A  =/=  0 ) )
5 oveq1 6256 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  ( A  x.  x ) )
65eqeq1d 2430 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1  <-> 
( A  x.  x
)  =  1 ) )
76rexbidv 2878 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1  <->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x
)  =  1 ) )
84, 7imbi12d 321 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. y ,  0R >.  =/=  0  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  1 )  <-> 
( A  =/=  0  ->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x
)  =  1 ) ) )
9 df-0 9497 . . . . . . 7  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
109eqeq2i 2440 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  0  <->  <. y ,  0R >.  =  <. 0R ,  0R >. )
11 vex 3025 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
1211eqresr 9512 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  0R >.  = 
<. 0R ,  0R >.  <->  y  =  0R )
1310, 12bitri 252 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  0  <->  y  =  0R )
1413necon3bii 2653 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =/=  0  <->  y  =/=  0R )
15 recexsr 9482 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  R.  /\  y  =/=  0R )  ->  E. z  e.  R.  ( y  .R  z
)  =  1R )
1615ex 435 . . . . 5  |-  ( y  e.  R.  ->  (
y  =/=  0R  ->  E. z  e.  R.  (
y  .R  z )  =  1R ) )
17 opelreal 9505 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  0R >.  e.  RR  <->  z  e.  R. )
1817anbi1i 699 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 )  <->  ( z  e.  R.  /\  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 ) )
19 mulresr 9514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  <. (
y  .R  z ) ,  0R >. )
2019eqeq1d 2430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1  <->  <. ( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1 ) )
21 df-1 9498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =  <. 1R ,  0R >.
2221eqeq2i 2440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1  <->  <. ( y  .R  z ) ,  0R >.  =  <. 1R ,  0R >. )
23 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  .R  z )  e. 
_V
2423eqresr 9512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  = 
<. 1R ,  0R >.  <->  (
y  .R  z )  =  1R )
2522, 24bitri 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
( y  .R  z
) ,  0R >.  =  1  <->  ( y  .R  z )  =  1R )
2620, 25syl6bb 264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1  <-> 
( y  .R  z
)  =  1R )
)
2726pm5.32da 645 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( z  e.  R.  /\  ( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 )  <-> 
( z  e.  R.  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )
) )
2818, 27syl5bb 260 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( <. z ,  0R >.  e.  RR  /\  ( <. y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 )  <->  ( z  e.  R.  /\  ( y  .R  z )  =  1R ) ) )
29 oveq2 6257 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. ) )
3029eqeq1d 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. z ,  0R >.  ->  ( ( <.
y ,  0R >.  x.  x )  =  1  <-> 
( <. y ,  0R >.  x.  <. z ,  0R >. )  =  1 ) )
3130rspcev 3125 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. z ,  0R >.  e.  RR  /\  ( <.
y ,  0R >.  x. 
<. z ,  0R >. )  =  1 )  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 )
3228, 31syl6bir 232 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  R.  ->  (
( z  e.  R.  /\  ( y  .R  z
)  =  1R )  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) )
3332expd 437 . . . . . 6  |-  ( y  e.  R.  ->  (
z  e.  R.  ->  ( ( y  .R  z
)  =  1R  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) ) )
3433rexlimdv 2854 . . . . 5  |-  ( y  e.  R.  ->  ( E. z  e.  R.  ( y  .R  z
)  =  1R  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) )
3516, 34syld 45 . . . 4  |-  ( y  e.  R.  ->  (
y  =/=  0R  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x )  =  1 ) )
3614, 35syl5bi 220 . . 3  |-  ( y  e.  R.  ->  ( <. y ,  0R >.  =/=  0  ->  E. x  e.  RR  ( <. y ,  0R >.  x.  x
)  =  1 ) )
373, 8, 36gencl 3053 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =/=  0  ->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x )  =  1 ) )
3837imp 430 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  ->  E. x  e.  RR  ( A  x.  x
)  =  1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2599   E.wrex 2715   <.cop 3947  (class class class)co 6249   R.cnr 9241   0Rc0r 9242   1Rc1r 9243    .R cmr 9246   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    x. cmul 9495
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-omul 7142  df-er 7318  df-ec 7320  df-qs 7324  df-ni 9248  df-pli 9249  df-mi 9250  df-lti 9251  df-plpq 9284  df-mpq 9285  df-ltpq 9286  df-enq 9287  df-nq 9288  df-erq 9289  df-plq 9290  df-mq 9291  df-1nq 9292  df-rq 9293  df-ltnq 9294  df-np 9357  df-1p 9358  df-plp 9359  df-mp 9360  df-ltp 9361  df-enr 9431  df-nr 9432  df-plr 9433  df-mr 9434  df-ltr 9435  df-0r 9436  df-1r 9437  df-m1r 9438  df-c 9496  df-0 9497  df-1 9498  df-r 9500  df-mul 9502
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator