Theorem axrrecex 6233

Description: Existence of reciprocal of nonzero real number. Axiom 18 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axrrecex	|- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> E.x e. RR (A x. x) = 1)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem axrrecex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 6198	. . 3 |- (A e. RR <-> E.y(y e. R. /\ <.y, 0R>. = A))
2		neeq1 1859	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = A -> (<.y, 0R>. =/= 0 <-> A =/= 0))
3		opreq1 4700	. . . . . 6 |- (<.y, 0R>. = A -> (<.y, 0R>. x. x) = (A x. x))
4	3	eqeq1d 1729	. . . . 5 |- (<.y, 0R>. = A -> ((<.y, 0R>. x. x) = 1 <-> (A x. x) = 1))
5	4	rexbidv 1958	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = A -> (E.x e. RR (<.y, 0R>. x. x) = 1 <-> E.x e. RR (A x. x) = 1))
6	2, 5	imbi12d 685	. . 3 |- (<.y, 0R>. = A -> ((<.y, 0R>. =/= 0 -> E.x e. RR (<.y, 0R>. x. x) = 1) <-> (A =/= 0 -> E.x e. RR (A x. x) = 1)))
7		visset 2128	. . . . . . 7 |- y e. _V
8	7	recexsr 6164	. . . . . 6 |- (y e. R. -> (-. y = 0R -> E.z(z e. R. /\ (y .R z) = 1R)))
9		visset 2128	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
10	9	mulresr 6205	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = <.(y .R z), 0R>.)
11	10	eqeq1d 1729	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> ((<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1 <-> <.(y .R z), 0R>. = 1))
12		df-1 6190	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 = <.1R, 0R>.
13	12	eqeq2i 1731	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.(y .R z), 0R>. = 1 <-> <.(y .R z), 0R>. = <.1R, 0R>.)
14		oprex 4718	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y .R z) e. _V
15	14	eqresr 6203	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.(y .R z), 0R>. = <.1R, 0R>. <-> (y .R z) = 1R)
16	13, 15	bitri 189	. . . . . . . . . . 11 |- (<.(y .R z), 0R>. = 1 <-> (y .R z) = 1R)
17	11, 16	syl6bb 592	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> ((<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1 <-> (y .R z) = 1R))
18	17	pm5.32da 708	. . . . . . . . 9 |- (y e. R. -> ((z e. R. /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1) <-> (z e. R. /\ (y .R z) = 1R)))
19		opelreal 6197	. . . . . . . . . 10 |- (<.z, 0R>. e. RR <-> z e. R.)
20	19	anbi1i 536	. . . . . . . . 9 |- ((<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1) <-> (z e. R. /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1))
21	18, 20	syl5bb 588	. . . . . . . 8 |- (y e. R. -> ((<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1) <-> (z e. R. /\ (y .R z) = 1R)))
22		opex 3342	. . . . . . . . 9 |- <.z, 0R>. e. _V
23		eleq1 1794	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.z, 0R>. -> (x e. RR <-> <.z, 0R>. e. RR))
24		opreq2 4701	. . . . . . . . . . 11 |- (x = <.z, 0R>. -> (<.y, 0R>. x. x) = (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.))
25	24	eqeq1d 1729	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.z, 0R>. -> ((<.y, 0R>. x. x) = 1 <-> (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1))
26	23, 25	anbi12d 687	. . . . . . . . 9 |- (x = <.z, 0R>. -> ((x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1) <-> (<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1)))
27	22, 26	cla4ev 2204	. . . . . . . 8 |- ((<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. x. <.z, 0R>.) = 1) -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1))
28	21, 27	syl6bir 231	. . . . . . 7 |- (y e. R. -> ((z e. R. /\ (y .R z) = 1R) -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1)))
29	28	19.23adv 1422	. . . . . 6 |- (y e. R. -> (E.z(z e. R. /\ (y .R z) = 1R) -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1)))
30	8, 29	syld 30	. . . . 5 |- (y e. R. -> (-. y = 0R -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1)))
31		df-0 6189	. . . . . . . 8 |- 0 = <.0R, 0R>.
32	31	eqeq2i 1731	. . . . . . 7 |- (<.y, 0R>. = 0 <-> <.y, 0R>. = <.0R, 0R>.)
33	7	eqresr 6203	. . . . . . 7 |- (<.y, 0R>. = <.0R, 0R>. <-> y = 0R)
34	32, 33	bitri 189	. . . . . 6 |- (<.y, 0R>. = 0 <-> y = 0R)
35	34	notbii 203	. . . . 5 |- (-. <.y, 0R>. = 0 <-> -. y = 0R)
36	30, 35	syl5ib 222	. . . 4 |- (y e. R. -> (-. <.y, 0R>. = 0 -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1)))
37		df-ne 1856	. . . 4 |- (<.y, 0R>. =/= 0 <-> -. <.y, 0R>. = 0)
38		df-rex 1944	. . . 4 |- (E.x e. RR (<.y, 0R>. x. x) = 1 <-> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. x. x) = 1))
39	36, 37, 38	3imtr4g 609	. . 3 |- (y e. R. -> (<.y, 0R>. =/= 0 -> E.x e. RR (<.y, 0R>. x. x) = 1))
40	1, 6, 39	gencl 2151	. 2 |- (A e. RR -> (A =/= 0 -> E.x e. RR (A x. x) = 1))
41	40	imp 375	1 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> E.x e. RR (A x. x) = 1)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 239   = wceq 1136   e. wcel 1138  E.wex 1164   =/= wne 1854  E.wrex 1940  <.cop 2870  (class class class)co 4695  R.cnr 5941  0Rc0r 5942  1Rc1r 5943   .R cmr 5946  RRcr 6181  0cc0 6182  1c1 6183   x. cmul 6187

This theorem is referenced by:  1re 6394  recex 6672  redivcli 6771

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-ltr 6118  df-0r 6119  df-1r 6120  df-m1r 6121  df-c 6188  df-0 6189  df-1 6190  df-r 6192  df-mul 6194

Copyright terms: Public domain