Theorem axrnegex 5295

Description: Existence of negative of real number. Axiom 17 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axrnegex	|- (A e. RR -> E.x e. RR (A + x) = 0)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem axrnegex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 5262	. 2 |- (A e. RR <-> E.y(y e. R. /\ <.y, 0R>. = A))
2		opreq1 3974	. . . 4 |- (<.y, 0R>. = A -> (<.y, 0R>. + x) = (A + x))
3	2	eqeq1d 1486	. . 3 |- (<.y, 0R>. = A -> ((<.y, 0R>. + x) = 0 <-> (A + x) = 0))
4	3	rexbidv 1667	. 2 |- (<.y, 0R>. = A -> (E.x e. RR (<.y, 0R>. + x) = 0 <-> E.x e. RR (A + x) = 0))
5		negexsr 5223	. . 3 |- (y e. R. -> E.z(z e. R. /\ (y +R z) = 0R))
6		addresr 5268	. . . . . . . 8 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> (<.y, 0R>. + <.z, 0R>.) = <.(y +R z), 0R>.)
7	6	eqeq1d 1486	. . . . . . 7 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> ((<.y, 0R>. + <.z, 0R>.) = 0 <-> <.(y +R z), 0R>. = 0))
8		df-0 5253	. . . . . . . . 9 |- 0 = <.0R, 0R>.
9	8	eqeq2i 1488	. . . . . . . 8 |- (<.(y +R z), 0R>. = 0 <-> <.(y +R z), 0R>. = <.0R, 0R>.)
10		oprex 3989	. . . . . . . . 9 |- (y +R z) e. V
11	10	eqresr 5267	. . . . . . . 8 |- (<.(y +R z), 0R>. = <.0R, 0R>. <-> (y +R z) = 0R)
12	9, 11	bitr 173	. . . . . . 7 |- (<.(y +R z), 0R>. = 0 <-> (y +R z) = 0R)
13	7, 12	syl6bb 538	. . . . . 6 |- ((y e. R. /\ z e. R.) -> ((<.y, 0R>. + <.z, 0R>.) = 0 <-> (y +R z) = 0R))
14	13	pm5.32da 651	. . . . 5 |- (y e. R. -> ((z e. R. /\ (<.y, 0R>. + <.z, 0R>.) = 0) <-> (z e. R. /\ (y +R z) = 0R)))
15		opex 2788	. . . . . . . 8 |- <.z, 0R>. e. V
16		eleq1 1537	. . . . . . . . 9 |- (x = <.z, 0R>. -> (x e. RR <-> <.z, 0R>. e. RR))
17		opreq2 3975	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.z, 0R>. -> (<.y, 0R>. + x) = (<.y, 0R>. + <.z, 0R>.))
18	17	eqeq1d 1486	. . . . . . . . 9 |- (x = <.z, 0R>. -> ((<.y, 0R>. + x) = 0 <-> (<.y, 0R>. + <.z, 0R>.) = 0))
19	16, 18	anbi12d 630	. . . . . . . 8 |- (x = <.z, 0R>. -> ((x e. RR /\ (<.y, 0R>. + x) = 0) <-> (<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. + <.z, 0R>.) = 0)))
20	15, 19	cla4ev 1872	. . . . . . 7 |- ((<.z, 0R>. e. RR /\ (<.y, 0R>. + <.z, 0R>.) = 0) -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. + x) = 0))
21		opelreal 5261	. . . . . . 7 |- (<.z, 0R>. e. RR <-> z e. R.)
22	20, 21	sylanbr 452	. . . . . 6 |- ((z e. R. /\ (<.y, 0R>. + <.z, 0R>.) = 0) -> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. + x) = 0))
23		df-rex 1653	. . . . . 6 |- (E.x e. RR (<.y, 0R>. + x) = 0 <-> E.x(x e. RR /\ (<.y, 0R>. + x) = 0))
24	22, 23	sylibr 200	. . . . 5 |- ((z e. R. /\ (<.y, 0R>. + <.z, 0R>.) = 0) -> E.x e. RR (<.y, 0R>. + x) = 0)
25	14, 24	syl6bir 215	. . . 4 |- (y e. R. -> ((z e. R. /\ (y +R z) = 0R) -> E.x e. RR (<.y, 0R>. + x) = 0))
26	25	19.23adv 1216	. . 3 |- (y e. R. -> (E.z(z e. R. /\ (y +R z) = 0R) -> E.x e. RR (<.y, 0R>. + x) = 0))
27	5, 26	mpd 26	. 2 |- (y e. R. -> E.x e. RR (<.y, 0R>. + x) = 0)
28	1, 4, 27	gencl 1831	1 |- (A e. RR -> E.x e. RR (A + x) = 0)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  E.wrex 1649  <.cop 2415  (class class class)co 3969  R.cnr 5005  0Rc0r 5006   +R cplr 5009  RRcr 5245  0cc0 5246   + caddc 5249

This theorem is referenced by:  cnegextlem1 5357  cnegextlem2 5358  cnegextlem3 5359  cnegext 5360  renegcl 5428  0re 5452

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-r 5256  df-plus 5257

Copyright terms: Public domain