MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axresscn Structured version   Unicode version

Theorem axresscn 9524
Description: The real numbers are a subset of the complex numbers. Axiom 1 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-resscn 9548. (Contributed by NM, 1-Mar-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axresscn  |-  RR  C_  CC

Proof of Theorem axresscn
StepHypRef Expression
1 0r 9456 . . 3  |-  0R  e.  R.
2 snssi 4171 . . 3  |-  ( 0R  e.  R.  ->  { 0R }  C_  R. )
3 xpss2 5111 . . 3  |-  ( { 0R }  C_  R.  ->  ( R.  X.  { 0R } )  C_  ( R.  X.  R. ) )
41, 2, 3mp2b 10 . 2  |-  ( R. 
X.  { 0R }
)  C_  ( R.  X.  R. )
5 df-r 9501 . 2  |-  RR  =  ( R.  X.  { 0R } )
6 df-c 9497 . 2  |-  CC  =  ( R.  X.  R. )
74, 5, 63sstr4i 3543 1  |-  RR  C_  CC
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767    C_ wss 3476   {csn 4027    X. cxp 4997   R.cnr 9242   0Rc0r 9243   CCcc 9489   RRcr 9490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-ec 7313  df-qs 7317  df-ni 9249  df-pli 9250  df-mi 9251  df-lti 9252  df-plpq 9285  df-mpq 9286  df-ltpq 9287  df-enq 9288  df-nq 9289  df-erq 9290  df-plq 9291  df-mq 9292  df-1nq 9293  df-rq 9294  df-ltnq 9295  df-np 9358  df-1p 9359  df-enr 9432  df-nr 9433  df-0r 9437  df-c 9497  df-r 9501
This theorem is referenced by:  ax1cn  9525  bj-rrhatsscchat  33720
  Copyright terms: Public domain W3C validator