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Theorem axrepprim 30331
Description: ax-rep 4534 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axrepprim  |-  -.  A. x  -.  ( -.  A. y  -.  A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  ( ( A. y 
z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) )

Proof of Theorem axrepprim
StepHypRef Expression
1 axrepnd 9021 . 2  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
2 df-ex 1661 . . . . 5  |-  ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  <->  -.  A. y  -.  A. z ( ph  ->  z  =  y ) )
3 df-an 373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )  <->  -.  ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )
43exbii 1713 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )  <->  E. x  -.  ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )
5 exnal 1696 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  -.  ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) 
<->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )
64, 5bitri 253 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )  <->  -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )
76bibi2i 315 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )
)  <->  ( A. y 
z  e.  x  <->  -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) ) )
8 dfbi1 195 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  z  e.  x  <->  -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  <->  -.  ( ( A. y 
z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) )
97, 8bitri 253 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )
)  <->  -.  ( ( A. y  z  e.  x  ->  -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -. 
A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) )
109albii 1688 . . . . 5  |-  ( A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )  <->  A. z  -.  ( ( A. y 
z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) )
112, 10imbi12i 328 . . . 4  |-  ( ( E. y A. z
( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <-> 
( -.  A. y  -.  A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  (
( A. y  z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -. 
A. y ph )
)  ->  -.  ( -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) ) )
1211exbii 1713 . . 3  |-  ( E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <->  E. x ( -.  A. y  -.  A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  ( ( A. y 
z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) ) )
13 df-ex 1661 . . 3  |-  ( E. x ( -.  A. y  -.  A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  ( ( A. y 
z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) )  <->  -.  A. x  -.  ( -.  A. y  -.  A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  (
( A. y  z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -. 
A. y ph )
)  ->  -.  ( -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) ) )
1412, 13bitri 253 . 2  |-  ( E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <->  -.  A. x  -.  ( -.  A. y  -.  A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  (
( A. y  z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -. 
A. y ph )
)  ->  -.  ( -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) ) )
151, 14mpbi 212 1  |-  -.  A. x  -.  ( -.  A. y  -.  A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z  -.  ( ( A. y 
z  e.  x  ->  -.  A. x ( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph ) )  ->  -.  ( -.  A. x
( A. z  x  e.  y  ->  -.  A. y ph )  ->  A. y  z  e.  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1436   E.wex 1660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pr 4658  ax-reg 8111
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-v 3084  df-dif 3440  df-un 3442  df-nul 3763  df-sn 3998  df-pr 4000
This theorem is referenced by: (None)
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