Theorem axrepprim 13786

Description: ax-rep 3428 without distinct variable conditions or defined symbols.

Assertion

Ref	Expression
axrepprim	|- -. A.x -. (-. A.y -. A.z(ph -> z = y) -> A.z -. ((A.y z e. x -> -. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph)) -> -. (-. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph) -> A.y z e. x)))

Proof of Theorem axrepprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axrepnd 6098	. 2 |- E.x(E.yA.z(ph -> z = y) -> A.z(A.y z e. x <-> E.x(A.z x e. y /\ A.yph)))
2		df-ex 1327	. . . . 5 |- (E.yA.z(ph -> z = y) <-> -. A.y -. A.z(ph -> z = y))
3		df-an 242	. . . . . . . . . 10 |- ((A.z x e. y /\ A.yph) <-> -. (A.z x e. y -> -. A.yph))
4	3	exbii 1398	. . . . . . . . 9 |- (E.x(A.z x e. y /\ A.yph) <-> E.x -. (A.z x e. y -> -. A.yph))
5		exnal 1385	. . . . . . . . 9 |- (E.x -. (A.z x e. y -> -. A.yph) <-> -. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph))
6	4, 5	bitri 190	. . . . . . . 8 |- (E.x(A.z x e. y /\ A.yph) <-> -. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph))
7	6	bibi2i 669	. . . . . . 7 |- ((A.y z e. x <-> E.x(A.z x e. y /\ A.yph)) <-> (A.y z e. x <-> -. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph)))
8		dfbi1 175	. . . . . . 7 |- ((A.y z e. x <-> -. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph)) <-> -. ((A.y z e. x -> -. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph)) -> -. (-. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph) -> A.y z e. x)))
9	7, 8	bitri 190	. . . . . 6 |- ((A.y z e. x <-> E.x(A.z x e. y /\ A.yph)) <-> -. ((A.y z e. x -> -. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph)) -> -. (-. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph) -> A.y z e. x)))
10	9	albii 1346	. . . . 5 |- (A.z(A.y z e. x <-> E.x(A.z x e. y /\ A.yph)) <-> A.z -. ((A.y z e. x -> -. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph)) -> -. (-. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph) -> A.y z e. x)))
11	2, 10	imbi12i 205	. . . 4 |- ((E.yA.z(ph -> z = y) -> A.z(A.y z e. x <-> E.x(A.z x e. y /\ A.yph))) <-> (-. A.y -. A.z(ph -> z = y) -> A.z -. ((A.y z e. x -> -. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph)) -> -. (-. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph) -> A.y z e. x))))
12	11	exbii 1398	. . 3 |- (E.x(E.yA.z(ph -> z = y) -> A.z(A.y z e. x <-> E.x(A.z x e. y /\ A.yph))) <-> E.x(-. A.y -. A.z(ph -> z = y) -> A.z -. ((A.y z e. x -> -. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph)) -> -. (-. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph) -> A.y z e. x))))
13		df-ex 1327	. . 3 |- (E.x(-. A.y -. A.z(ph -> z = y) -> A.z -. ((A.y z e. x -> -. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph)) -> -. (-. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph) -> A.y z e. x))) <-> -. A.x -. (-. A.y -. A.z(ph -> z = y) -> A.z -. ((A.y z e. x -> -. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph)) -> -. (-. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph) -> A.y z e. x))))
14	12, 13	bitri 190	. 2 |- (E.x(E.yA.z(ph -> z = y) -> A.z(A.y z e. x <-> E.x(A.z x e. y /\ A.yph))) <-> -. A.x -. (-. A.y -. A.z(ph -> z = y) -> A.z -. ((A.y z e. x -> -. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph)) -> -. (-. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph) -> A.y z e. x))))
15	1, 14	mpbi 206	1 |- -. A.x -. (-. A.y -. A.z(ph -> z = y) -> A.z -. ((A.y z e. x -> -. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph)) -> -. (-. A.x(A.z x e. y -> -. A.yph) -> A.y z e. x)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-15 1751  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049

Copyright terms: Public domain