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Theorem axrepndlem1 8968
Description: Lemma for the Axiom of Replacement with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axrepndlem1  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem axrepndlem1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axrep2 4481 . 2  |-  E. x
( E. y A. w ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  ->  A. w ( w  e.  x  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ]
ph ) ) )
2 nfnae 2124 . . 3  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
3 nfnae 2124 . . . . 5  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  z
4 nfnae 2124 . . . . . 6  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  z
5 nfs1v 2243 . . . . . . . 8  |-  F/ z [ w  /  z ] ph
65a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z [ w  /  z ] ph )
7 nfcvd 2570 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ z w )
8 nfcvf2 2593 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ z y )
97, 8nfeqd 2576 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z  w  =  y )
106, 9nfimd 1977 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z
( [ w  / 
z ] ph  ->  w  =  y ) )
11 sbequ12r 2058 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  ( [ w  /  z ] ph  <->  ph ) )
12 equequ1 1852 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
w  =  y  <->  z  =  y ) )
1311, 12imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
( [ w  / 
z ] ph  ->  w  =  y )  <->  ( ph  ->  z  =  y ) ) )
1413a1i 11 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( w  =  z  ->  ( ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  <->  ( ph  ->  z  =  y ) ) ) )
154, 10, 14cbvald 2090 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. w ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  <->  A. z ( ph  ->  z  =  y ) ) )
163, 15exbid 1941 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( E. y A. w ( [ w  /  z ]
ph  ->  w  =  y )  <->  E. y A. z
( ph  ->  z  =  y ) ) )
17 nfvd 1756 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z  w  e.  x )
188nfcrd 2575 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z  x  e.  y )
193, 6nfald 2011 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z A. y [ w  / 
z ] ph )
2018, 19nfand 1985 . . . . . . 7  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z
( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ]
ph ) )
212, 20nfexd 2012 . . . . . 6  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) )
2217, 21nfbid 1993 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ z
( w  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) ) )
23 elequ1 1875 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  x  <->  z  e.  x ) )
2423adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( w  e.  x  <->  z  e.  x ) )
25 nfeqf2 2107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/ y  w  =  z )
263, 25nfan1 1987 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( -.  A. y 
y  =  z  /\  w  =  z )
2711adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( [ w  / 
z ] ph  <->  ph ) )
2826, 27albid 1940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( A. y [ w  /  z ]
ph 
<-> 
A. y ph )
)
2928anbi2d 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph )  <->  ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
3029exbidv 1762 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  / 
z ] ph )  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
3124, 30bibi12d 322 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. y  y  =  z  /\  w  =  z )  -> 
( ( w  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) )  <->  ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
3231ex 435 . . . . 5  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( w  =  z  ->  ( ( w  e.  x  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ]
ph ) )  <->  ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
334, 22, 32cbvald 2090 . . . 4  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( A. w ( w  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) )  <->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
3416, 33imbi12d 321 . . 3  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( ( E. y A. w ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  ->  A. w
( w  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ] ph ) ) )  <-> 
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
352, 34exbid 1941 . 2  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  ( E. x ( E. y A. w ( [ w  /  z ] ph  ->  w  =  y )  ->  A. w ( w  e.  x  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. y [ w  /  z ]
ph ) ) )  <->  E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
361, 35mpbii 214 1  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1657   F/wnf 1661   [wsb 1790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558
This theorem is referenced by:  axrepndlem2  8969
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