MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axrepnd Structured version   Unicode version

Theorem axrepnd 9026
Description: A version of the Axiom of Replacement with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axrepnd  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )

Proof of Theorem axrepnd
StepHypRef Expression
1 axrepndlem2 9025 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
2 nfnae 2117 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
3 nfnae 2117 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
42, 3nfan 1988 . . . . . 6  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
5 nfnae 2117 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
64, 5nfan 1988 . . . . 5  |-  F/ x
( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )
7 nfnae 2117 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
8 nfnae 2117 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  z
97, 8nfan 1988 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
10 nfnae 2117 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  z
119, 10nfan 1988 . . . . . . 7  |-  F/ z ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )
12 nfcvf 2605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ y z )
1312adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ y z )
14 nfcvf2 2606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y x )
1514ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ y x )
1613, 15nfeld 2588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y 
z  e.  x )
1716nfrd 1930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( z  e.  x  ->  A. y 
z  e.  x ) )
18 sp 1914 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  z  e.  x  ->  z  e.  x )
1917, 18impbid1 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( z  e.  x  <->  A. y  z  e.  x ) )
20 nfcvf2 2606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ z x )
2120ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ z x )
22 nfcvf2 2606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ z y )
2322adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ z y )
2421, 23nfeld 2588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ z  x  e.  y )
2524nfrd 1930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( x  e.  y  ->  A. z  x  e.  y )
)
26 sp 1914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  x  e.  y  ->  x  e.  y )
2725, 26impbid1 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( x  e.  y  <->  A. z  x  e.  y ) )
2827anbi1d 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( (
x  e.  y  /\  A. y ph )  <->  ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )
) )
296, 28exbid 1941 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph )  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )
) )
3019, 29bibi12d 322 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( (
z  e.  x  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. y ph ) )  <->  ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
3111, 30albid 1940 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) )  <->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
3231imbi2d 317 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <->  ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
336, 32exbid 1941 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <->  E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
341, 33mpbid 213 . . 3  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
3534exp31 607 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. y  y  =  z  ->  E. x ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) ) )
36 nfae 2115 . . . . 5  |-  F/ z A. x  x  =  y
37 nd2 9020 . . . . . . 7  |-  ( A. y  y  =  x  ->  -.  A. y  z  e.  x )
3837aecoms 2111 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. y  z  e.  x )
39 nfae 2115 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  x  =  y
40 nd3 9021 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. z  x  e.  y )
4140intnanrd 925 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )
4239, 41nexd 1938 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )
4338, 422falsed 352 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
4436, 43alrimi 1932 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. z ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
4544a1d 26 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
46 19.8a 1912 . . 3  |-  ( ( E. y A. z
( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  ->  E. x ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
4745, 46syl 17 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  E. x ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
48 nfae 2115 . . . . 5  |-  F/ z A. x  x  =  z
49 nd4 9022 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  A. y  z  e.  x )
50 nfae 2115 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  x  =  z
51 nd1 9019 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  z  =  x  ->  -.  A. z  x  e.  y )
5251aecoms 2111 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  A. z  x  e.  y )
5352intnanrd 925 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )
5450, 53nexd 1938 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )
5549, 542falsed 352 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
5648, 55alrimi 1932 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  A. z ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
5756a1d 26 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
5857, 46syl 17 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  E. x ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
59 nfae 2115 . . . . 5  |-  F/ z A. y  y  =  z
60 nd1 9019 . . . . . 6  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  A. y  z  e.  x )
61 nfae 2115 . . . . . . 7  |-  F/ x A. y  y  =  z
62 nd2 9020 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  z  =  y  ->  -.  A. z  x  e.  y )
6362aecoms 2111 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  A. z  x  e.  y )
6463intnanrd 925 . . . . . . 7  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )
6561, 64nexd 1938 . . . . . 6  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )
6660, 652falsed 352 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
6759, 66alrimi 1932 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  z  ->  A. z ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
6867a1d 26 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
6968, 46syl 17 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  E. x ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
7035, 47, 58, 69pm2.61iii 170 1  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1657   F/_wnfc 2566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pr 4660  ax-reg 8116
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-v 3082  df-dif 3439  df-un 3441  df-nul 3762  df-sn 3999  df-pr 4001
This theorem is referenced by:  zfcndrep  9046  axrepprim  30337
  Copyright terms: Public domain W3C validator