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Theorem axrepnd 8862
Description: A version of the Axiom of Replacement with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 2-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axrepnd  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )

Proof of Theorem axrepnd
StepHypRef Expression
1 axrepndlem2 8861 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
2 nfnae 2015 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
3 nfnae 2015 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
42, 3nfan 1863 . . . . . 6  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
5 nfnae 2015 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
64, 5nfan 1863 . . . . 5  |-  F/ x
( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )
7 nfnae 2015 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
8 nfnae 2015 . . . . . . . . 9  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  z
97, 8nfan 1863 . . . . . . . 8  |-  F/ z ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
10 nfnae 2015 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  z
119, 10nfan 1863 . . . . . . 7  |-  F/ z ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )
12 nfcvf 2637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ y z )
1312adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ y z )
14 nfcvf2 2638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ y x )
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ y x )
1613, 15nfeld 2621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y 
z  e.  x )
1716nfrd 1811 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( z  e.  x  ->  A. y 
z  e.  x ) )
18 sp 1796 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  z  e.  x  ->  z  e.  x )
1917, 18impbid1 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( z  e.  x  <->  A. y  z  e.  x ) )
20 nfcvf2 2638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ z x )
2120ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ z x )
22 nfcvf2 2638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ z y )
2322adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ z y )
2421, 23nfeld 2621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ z  x  e.  y )
2524nfrd 1811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( x  e.  y  ->  A. z  x  e.  y )
)
26 sp 1796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  x  e.  y  ->  x  e.  y )
2725, 26impbid1 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( x  e.  y  <->  A. z  x  e.  y ) )
2827anbi1d 704 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( (
x  e.  y  /\  A. y ph )  <->  ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )
) )
296, 28exbid 1822 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph )  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph )
) )
3019, 29bibi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( (
z  e.  x  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. y ph ) )  <->  ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
3111, 30albid 1821 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) )  <->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
3231imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <->  ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
336, 32exbid 1822 . . . 4  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <->  E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
341, 33mpbid 210 . . 3  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
3534exp31 604 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( -.  A. y  y  =  z  ->  E. x ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) ) )
36 nfae 2013 . . . . 5  |-  F/ z A. x  x  =  y
37 nd2 8856 . . . . . . 7  |-  ( A. y  y  =  x  ->  -.  A. y  z  e.  x )
3837aecoms 2009 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. y  z  e.  x )
39 nfae 2013 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  x  =  y
40 nd3 8857 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  A. z  x  e.  y )
4140intnanrd 908 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )
4239, 41nexd 1819 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )
4338, 422falsed 351 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
4436, 43alrimi 1813 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  A. z ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
4544a1d 25 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
46 19.8a 1795 . . 3  |-  ( ( E. y A. z
( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  ->  E. x ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
4745, 46syl 16 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  E. x ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
48 nfae 2013 . . . . 5  |-  F/ z A. x  x  =  z
49 nd4 8858 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  A. y  z  e.  x )
50 nfae 2013 . . . . . . 7  |-  F/ x A. x  x  =  z
51 nd1 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  z  =  x  ->  -.  A. z  x  e.  y )
5251aecoms 2009 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  A. z  x  e.  y )
5352intnanrd 908 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )
5450, 53nexd 1819 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )
5549, 542falsed 351 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
5648, 55alrimi 1813 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  z  ->  A. z ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
5756a1d 25 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
5857, 46syl 16 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  E. x ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
59 nfae 2013 . . . . 5  |-  F/ z A. y  y  =  z
60 nd1 8855 . . . . . 6  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  A. y  z  e.  x )
61 nfae 2013 . . . . . . 7  |-  F/ x A. y  y  =  z
62 nd2 8856 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  z  =  y  ->  -.  A. z  x  e.  y )
6362aecoms 2009 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  A. z  x  e.  y )
6463intnanrd 908 . . . . . . 7  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )
6561, 64nexd 1819 . . . . . 6  |-  ( A. y  y  =  z  ->  -.  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) )
6660, 652falsed 351 . . . . 5  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
6759, 66alrimi 1813 . . . 4  |-  ( A. y  y  =  z  ->  A. z ( A. y  z  e.  x  <->  E. x ( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
6867a1d 25 . . 3  |-  ( A. y  y  =  z  ->  ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
6968, 46syl 16 . 2  |-  ( A. y  y  =  z  ->  E. x ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( A. y  z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
7035, 47, 58, 69pm2.61iii 167 1  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y 
z  e.  x  <->  E. x
( A. z  x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587   F/_wnfc 2599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pr 4632  ax-reg 7911
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-v 3073  df-dif 3432  df-un 3434  df-nul 3739  df-sn 3979  df-pr 3981
This theorem is referenced by:  zfcndrep  8885  axrepprim  27490
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