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Theorem axrep3 4507
Description: Axiom of Replacement slightly strengthened from axrep2 4506; 
w may occur free in  ph. (Contributed by NM, 2-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
axrep3  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) )
Distinct variable group:    x, w, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem axrep3
StepHypRef Expression
1 nfe1 1780 . . . 4  |-  F/ y E. y A. z
( ph  ->  z  =  y )
2 nfv 1674 . . . . . 6  |-  F/ y  z  e.  x
3 nfv 1674 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  e.  w
4 nfa1 1833 . . . . . . . 8  |-  F/ y A. y ph
53, 4nfan 1863 . . . . . . 7  |-  F/ y ( x  e.  w  /\  A. y ph )
65nfex 1883 . . . . . 6  |-  F/ y E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph )
72, 6nfbi 1869 . . . . 5  |-  F/ y ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) )
87nfal 1882 . . . 4  |-  F/ y A. z ( z  e.  x  <->  E. x
( x  e.  w  /\  A. y ph )
)
91, 8nfim 1855 . . 3  |-  F/ y ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) )
109nfex 1883 . 2  |-  F/ y E. x ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) )
11 elequ2 1763 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  w ) )
1211anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  (
( x  e.  y  /\  A. y ph ) 
<->  ( x  e.  w  /\  A. y ph )
) )
1312exbidv 1681 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  ( E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph )  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) )
1413bibi2d 318 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) )  <->  ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) ) )
1514albidv 1680 . . . 4  |-  ( y  =  w  ->  ( A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) )  <->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) ) )
1615imbi2d 316 . . 3  |-  ( y  =  w  ->  (
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <-> 
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) ) ) )
1716exbidv 1681 . 2  |-  ( y  =  w  ->  ( E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <->  E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) ) ) )
18 axrep2 4506 . 2  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
1910, 17, 18chvar 1966 1  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-rep 4504
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591
This theorem is referenced by:  axrep4  4508
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