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Theorem axrep2 4510
Description: Axiom of Replacement expressed with the fewest number of different variables and without any restrictions on  ph. (Contributed by NM, 15-Aug-2003.)
Assertion
Ref Expression
axrep2  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem axrep2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfe1 1935 . . . . 5  |-  F/ w E. w A. z ( A. y ph  ->  z  =  w )
2 nfv 1769 . . . . 5  |-  F/ w A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) )
31, 2nfim 2023 . . . 4  |-  F/ w
( E. w A. z ( A. y ph  ->  z  =  w )  ->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
43nfex 2050 . . 3  |-  F/ w E. x ( E. w A. z ( A. y ph  ->  z  =  w )  ->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
5 elequ2 1918 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  y ) )
65anbi1d 719 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  w  /\  A. y ph )  <->  ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
76exbidv 1776 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  ( E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph )  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
87bibi2d 325 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) )  <->  ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
98albidv 1775 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  ( A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) )  <->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
109imbi2d 323 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( E. w A. z ( A. y ph  ->  z  =  w )  ->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) )  <->  ( E. w A. z ( A. y ph  ->  z  =  w )  ->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
1110exbidv 1776 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  ( E. x ( E. w A. z ( A. y ph  ->  z  =  w )  ->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) )  <->  E. x
( E. w A. z ( A. y ph  ->  z  =  w )  ->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) ) )
12 axrep1 4509 . . 3  |-  E. x
( E. w A. z ( A. y ph  ->  z  =  w )  ->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) )
134, 11, 12chvar 2119 . 2  |-  E. x
( E. w A. z ( A. y ph  ->  z  =  w )  ->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
14 sp 1957 . . . . . . 7  |-  ( A. y ph  ->  ph )
1514imim1i 59 . . . . . 6  |-  ( (
ph  ->  z  =  y )  ->  ( A. y ph  ->  z  =  y ) )
1615alimi 1692 . . . . 5  |-  ( A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( A. y ph  ->  z  =  y ) )
1716eximi 1715 . . . 4  |-  ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y ) )
18 nfv 1769 . . . . 5  |-  F/ w A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )
19 nfa1 1999 . . . . . . 7  |-  F/ y A. y ph
20 nfv 1769 . . . . . . 7  |-  F/ y  z  =  w
2119, 20nfim 2023 . . . . . 6  |-  F/ y ( A. y ph  ->  z  =  w )
2221nfal 2049 . . . . 5  |-  F/ y A. z ( A. y ph  ->  z  =  w )
23 equequ2 1876 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  (
z  =  y  <->  z  =  w ) )
2423imbi2d 323 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  (
( A. y ph  ->  z  =  y )  <-> 
( A. y ph  ->  z  =  w ) ) )
2524albidv 1775 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  ( A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  <->  A. z ( A. y ph  ->  z  =  w ) ) )
2618, 22, 25cbvex 2128 . . . 4  |-  ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  <->  E. w A. z ( A. y ph  ->  z  =  w ) )
2717, 26sylib 201 . . 3  |-  ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  E. w A. z ( A. y ph  ->  z  =  w ) )
2827imim1i 59 . 2  |-  ( ( E. w A. z
( A. y ph  ->  z  =  w )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  -> 
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) ) )
2913, 28eximii 1717 1  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450   E.wex 1671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-rep 4508
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-an 378  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676
This theorem is referenced by:  axrep3  4511  axrepndlem1  9035
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