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Theorem axrep1 4480
Description: The version of the Axiom of Replacement used in the Metamath Solitaire applet http://us.metamath.org/mmsolitaire/mms.html. Equivalence is shown via the path ax-rep 4479 
-> axrep1 4480 
-> axrep2 4481 
-> axrepnd 8970 
-> zfcndrep 8990 = ax-rep 4479. (Contributed by NM, 19-Nov-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Nov-2016.)
Assertion
Ref Expression
axrep1  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
Distinct variable groups:    ph, y    x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z)

Proof of Theorem axrep1
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elequ2 1877 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  y ) )
21anbi1d 709 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  w  /\  ph )  <->  ( x  e.  y  /\  ph )
) )
32exbidv 1762 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  ( E. x ( x  e.  w  /\  ph )  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph )
) )
43bibi2d 319 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
)  <->  ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph ) ) ) )
54albidv 1761 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  ( A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) )  <->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph )
) ) )
65exbidv 1762 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  ( E. x A. z ( z  e.  x  <->  E. x
( x  e.  w  /\  ph ) )  <->  E. x A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph ) ) ) )
76imbi2d 317 . . 3  |-  ( w  =  y  ->  (
( A. x E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  E. x A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) )  <->  ( A. x E. y A. z
( ph  ->  z  =  y )  ->  E. x A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph ) ) ) ) )
8 ax-rep 4479 . . . 4  |-  ( A. x E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )  ->  E. y A. z
( z  e.  y  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) )
9 19.3v 1806 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ph  <->  ph )
109imbi1i 326 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y ph  ->  z  =  y )  <->  ( ph  ->  z  =  y ) )
1110albii 1685 . . . . . 6  |-  ( A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  <->  A. z ( ph  ->  z  =  y ) )
1211exbii 1712 . . . . 5  |-  ( E. y A. z ( A. y ph  ->  z  =  y )  <->  E. y A. z ( ph  ->  z  =  y ) )
1312albii 1685 . . . 4  |-  ( A. x E. y A. z
( A. y ph  ->  z  =  y )  <->  A. x E. y A. z ( ph  ->  z  =  y ) )
14 nfv 1755 . . . . . . 7  |-  F/ x  z  e.  y
15 nfe1 1894 . . . . . . 7  |-  F/ x E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph )
1614, 15nfbi 1994 . . . . . 6  |-  F/ x
( z  e.  y  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) )
1716nfal 2007 . . . . 5  |-  F/ x A. z ( z  e.  y  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) )
18 nfv 1755 . . . . 5  |-  F/ y A. z ( z  e.  x  <->  E. x
( x  e.  w  /\  ph ) )
19 elequ2 1877 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  x ) )
209anbi2i 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  w  /\  A. y ph )  <->  ( x  e.  w  /\  ph )
)
2120exbii 1712 . . . . . . . 8  |-  ( E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph )  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) )
2221a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph )  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) )
2319, 22bibi12d 322 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( z  e.  y  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) )  <->  ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) ) )
2423albidv 1761 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  ( A. z ( z  e.  y  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) )  <->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) ) )
2517, 18, 24cbvex 2087 . . . 4  |-  ( E. y A. z ( z  e.  y  <->  E. x
( x  e.  w  /\  A. y ph )
)  <->  E. x A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) )
268, 13, 253imtr3i 268 . . 3  |-  ( A. x E. y A. z
( ph  ->  z  =  y )  ->  E. x A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) )
277, 26chvarv 2079 . 2  |-  ( A. x E. y A. z
( ph  ->  z  =  y )  ->  E. x A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
282719.35ri 1736 1  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-rep 4479
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662
This theorem is referenced by:  axrep2  4481
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