Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axregprim Structured version   Unicode version

Theorem axregprim 27520
Description: ax-reg 7921 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axregprim  |-  ( x  e.  y  ->  -.  A. x ( x  e.  y  ->  -.  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )

Proof of Theorem axregprim
StepHypRef Expression
1 axregnd 8884 . 2  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) )
2 df-an 371 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  -.  (
x  e.  y  ->  -.  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y )
) )
32exbii 1635 . . 3  |-  ( E. x ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  E. x  -.  ( x  e.  y  ->  -.  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
4 exnal 1619 . . 3  |-  ( E. x  -.  ( x  e.  y  ->  -.  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  -.  A. x
( x  e.  y  ->  -.  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
53, 4bitri 249 . 2  |-  ( E. x ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  -.  A. x
( x  e.  y  ->  -.  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
61, 5sylib 196 1  |-  ( x  e.  y  ->  -.  A. x ( x  e.  y  ->  -.  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642  ax-reg 7921
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-v 3080  df-dif 3442  df-un 3444  df-nul 3749  df-sn 3989  df-pr 3991
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator