Theorem axregprim 13789

Description: ax-reg 5695 without distinct variable conditions or defined symbols.

Assertion

Ref	Expression
axregprim	|- (x e. y -> -. A.x(x e. y -> -. A.z(z e. x -> -. z e. y)))

Proof of Theorem axregprim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axregnd 6108	. 2 |- (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))
2		df-an 242	. . . 4 |- ((x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)) <-> -. (x e. y -> -. A.z(z e. x -> -. z e. y)))
3	2	exbii 1398	. . 3 |- (E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)) <-> E.x -. (x e. y -> -. A.z(z e. x -> -. z e. y)))
4		exnal 1385	. . 3 |- (E.x -. (x e. y -> -. A.z(z e. x -> -. z e. y)) <-> -. A.x(x e. y -> -. A.z(z e. x -> -. z e. y)))
5	3, 4	bitri 190	. 2 |- (E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)) <-> -. A.x(x e. y -> -. A.z(z e. x -> -. z e. y)))
6	1, 5	sylib 215	1 |- (x e. y -> -. A.x(x e. y -> -. A.z(z e. x -> -. z e. y)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   e. wcel 1300  E.wex 1326

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-15 1751  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049

Copyright terms: Public domain