Theorem axregndlem2 6107

Description: Lemma for the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axregndlem2	|- (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))

Distinct variable group:   y,z

Proof of Theorem axregndlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axreg 5696	. . . . . 6 |- (w e. y -> E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)))
2	1	ax-gen 1305	. . . . 5 |- A.w(w e. y -> E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)))
3		hbnae 1507	. . . . . . 7 |- (-. A.x x = y -> A.x -. A.x x = y)
4		hbnae 1507	. . . . . . 7 |- (-. A.x x = z -> A.x -. A.x x = z)
5	3, 4	hban 1356	. . . . . 6 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> A.x(-. A.x x = y /\ -. A.x x = z))
6		dveel2 1748	. . . . . . . 8 |- (-. A.x x = y -> (w e. y -> A.x w e. y))
7	6	adantr 425	. . . . . . 7 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (w e. y -> A.x w e. y))
8		ax-17 1317	. . . . . . . 8 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> A.w(-. A.x x = y /\ -. A.x x = z))
9		hbnae 1507	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.x x = y -> A.z -. A.x x = y)
10		hbnae 1507	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.x x = z -> A.z -. A.x x = z)
11	9, 10	hban 1356	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> A.z(-. A.x x = y /\ -. A.x x = z))
12		dveel1 1747	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.x x = z -> (z e. w -> A.x z e. w))
13	12	adantl 424	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (z e. w -> A.x z e. w))
14		ax-15 1751	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.x x = z -> (-. A.x x = y -> (z e. y -> A.x z e. y)))
15	14	impcom 378	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (z e. y -> A.x z e. y))
16	5, 15	hbnd 1467	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (-. z e. y -> A.x -. z e. y))
17	5, 13, 16	hbimd 1468	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> ((z e. w -> -. z e. y) -> A.x(z e. w -> -. z e. y)))
18	11, 17	hbald 1471	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (A.z(z e. w -> -. z e. y) -> A.xA.z(z e. w -> -. z e. y)))
19	7, 18	hband 1469	. . . . . . . 8 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> ((w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)) -> A.x(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y))))
20	8, 19	hbexd 1472	. . . . . . 7 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)) -> A.xE.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y))))
21	5, 7, 20	hbimd 1468	. . . . . 6 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> ((w e. y -> E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y))) -> A.x(w e. y -> E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)))))
22		elequ1 1496	. . . . . . . . 9 |- (w = x -> (w e. y <-> x e. y))
23	22	adantl 424	. . . . . . . 8 |- (((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ w = x) -> (w e. y <-> x e. y))
24	22	adantl 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.x x = z /\ w = x) -> (w e. y <-> x e. y))
25		nd5 6094	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. A.x x = z -> (w = x -> A.z w = x))
26	25	imdistani 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.x x = z /\ w = x) -> (-. A.x x = z /\ A.z w = x))
27		hba1 1350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.z w = x -> A.zA.z w = x)
28	10, 27	hban 1356	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-. A.x x = z /\ A.z w = x) -> A.z(-. A.x x = z /\ A.z w = x))
29		elequ2 1497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (w = x -> (z e. w <-> z e. x))
30	29	imbi1d 675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w = x -> ((z e. w -> -. z e. y) <-> (z e. x -> -. z e. y)))
31	30	a4s 1330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A.z w = x -> ((z e. w -> -. z e. y) <-> (z e. x -> -. z e. y)))
32	31	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((-. A.x x = z /\ A.z w = x) -> ((z e. w -> -. z e. y) <-> (z e. x -> -. z e. y)))
33	28, 32	albid 1459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.x x = z /\ A.z w = x) -> (A.z(z e. w -> -. z e. y) <-> A.z(z e. x -> -. z e. y)))
34	26, 33	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((-. A.x x = z /\ w = x) -> (A.z(z e. w -> -. z e. y) <-> A.z(z e. x -> -. z e. y)))
35	24, 34	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.x x = z /\ w = x) -> ((w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)) <-> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
36	35	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A.x x = z -> (w = x -> ((w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)) <-> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))))
37	36	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (w = x -> ((w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)) <-> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))))
38	5, 19, 37	cbvexd 1704	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)) <-> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
39	38	adantr 425	. . . . . . . 8 |- (((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ w = x) -> (E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y)) <-> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
40	23, 39	imbi12d 688	. . . . . . 7 |- (((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) /\ w = x) -> ((w e. y -> E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y))) <-> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))))
41	40	ex 402	. . . . . 6 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (w = x -> ((w e. y -> E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y))) <-> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))))
42	5, 21, 41	cbvald 1702	. . . . 5 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (A.w(w e. y -> E.w(w e. y /\ A.z(z e. w -> -. z e. y))) <-> A.x(x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))))
43	2, 42	mpbii 210	. . . 4 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> A.x(x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
44	43	19.21bi 1408	. . 3 |- ((-. A.x x = y /\ -. A.x x = z) -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
45	44	ex 402	. 2 |- (-. A.x x = y -> (-. A.x x = z -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))))
46		elirrv 5700	. . . . 5 |- -. x e. x
47		elequ2 1497	. . . . 5 |- (x = y -> (x e. x <-> x e. y))
48	46, 47	mtbii 784	. . . 4 |- (x = y -> -. x e. y)
49	48	a4s 1330	. . 3 |- (A.x x = y -> -. x e. y)
50	49	pm2.21d 94	. 2 |- (A.x x = y -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
51		axregndlem1 6106	. 2 |- (A.x x = z -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
52	45, 50, 51	pm2.61ii 144	1 |- (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326

This theorem is referenced by:  axregnd 6108

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-15 1751  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049

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