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Theorem axregndlem2 9017
Description: Lemma for the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
axregndlem2  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) )
Distinct variable group:    y, z

Proof of Theorem axregndlem2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axreg2 8099 . . . . . 6  |-  ( w  e.  y  ->  E. w
( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y
) ) )
21ax-gen 1665 . . . . 5  |-  A. w
( w  e.  y  ->  E. w ( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) ) )
3 nfnae 2111 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
4 nfnae 2111 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
53, 4nfan 1983 . . . . . 6  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
6 nfcvd 2583 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x w )
7 nfcvf 2607 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x y )
87adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x y )
96, 8nfeld 2590 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  w  e.  y )
10 nfv 1751 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
11 nfnae 2111 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
12 nfnae 2111 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  z
1311, 12nfan 1983 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
14 nfcvf 2607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ x z )
1514adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x z )
1615, 6nfeld 2590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  z  e.  w )
1715, 8nfeld 2590 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  z  e.  y )
1817nfnd 1956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  -.  z  e.  y
)
1916, 18nfimd 1972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) )
2013, 19nfald 2006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) )
219, 20nfand 1980 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y
) ) )
2210, 21nfexd 2007 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x E. w ( w  e.  y  /\  A. z
( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) ) )
239, 22nfimd 1972 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( w  e.  y  ->  E. w ( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
24 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  w  =  x )
2524eleq1d 2489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
w  e.  y  <->  x  e.  y ) )
26 nfcvd 2583 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ z w )
27 nfcvf2 2608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ z x )
2827adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ z x )
2926, 28nfeqd 2589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ z  w  =  x )
3013, 29nfan1 1982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )
3124eleq2d 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  x ) )
3231imbi1d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y )  <->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
3330, 32albid 1935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y )  <->  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
3425, 33anbi12d 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y
) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
3534ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( ( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) ) )
365, 21, 35cbvexd 2079 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( E. w ( w  e.  y  /\  A. z
( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
3736adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( E. w ( w  e.  y  /\  A. z
( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
3825, 37imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( w  e.  y  ->  E. w ( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) ) )  <-> 
( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) ) )
3938ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( ( w  e.  y  ->  E. w ( w  e.  y  /\  A. z
( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) ) )  <->  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) ) ) )
405, 23, 39cbvald 2078 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. w ( w  e.  y  ->  E. w
( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y
) ) )  <->  A. x
( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) ) )
412, 40mpbii 214 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  A. x
( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
424119.21bi 1919 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
4342ex 435 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) ) )
44 elirrv 8103 . . . . 5  |-  -.  x  e.  x
45 elequ2 1872 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  x  e.  y ) )
4644, 45mtbii 303 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  -.  x  e.  y )
4746sps 1915 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  x  e.  y )
4847pm2.21d 109 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
49 axregndlem1 9016 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
5043, 48, 49pm2.61ii 168 1  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435   E.wex 1659   F/_wnfc 2568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pr 4652  ax-reg 8098
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-v 3080  df-dif 3436  df-un 3438  df-nul 3759  df-sn 3994  df-pr 3996
This theorem is referenced by:  axregnd  9018
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