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Theorem axregndlem2 8969
Description: Lemma for the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
axregndlem2  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) )
Distinct variable group:    y, z

Proof of Theorem axregndlem2
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axreg2 8011 . . . . . 6  |-  ( w  e.  y  ->  E. w
( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y
) ) )
21ax-gen 1623 . . . . 5  |-  A. w
( w  e.  y  ->  E. w ( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) ) )
3 nfnae 2062 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
4 nfnae 2062 . . . . . . 7  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  z
53, 4nfan 1933 . . . . . 6  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
6 nfcvd 2617 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x w )
7 nfcvf 2641 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x y )
87adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x y )
96, 8nfeld 2624 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  w  e.  y )
10 nfv 1712 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
11 nfnae 2062 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  y
12 nfnae 2062 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z  -.  A. x  x  =  z
1311, 12nfan 1933 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )
14 nfcvf 2641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ x z )
1514adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ x z )
1615, 6nfeld 2624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  z  e.  w )
1715, 8nfeld 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  z  e.  y )
1817nfnd 1907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x  -.  z  e.  y
)
1916, 18nfimd 1922 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) )
2013, 19nfald 1956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) )
219, 20nfand 1930 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y
) ) )
2210, 21nfexd 1957 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x E. w ( w  e.  y  /\  A. z
( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) ) )
239, 22nfimd 1922 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ x
( w  e.  y  ->  E. w ( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
24 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  w  =  x )
2524eleq1d 2523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
w  e.  y  <->  x  e.  y ) )
26 nfcvd 2617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ z w )
27 nfcvf2 2642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
A. x  x  =  z  ->  F/_ z x )
2827adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/_ z x )
2926, 28nfeqd 2623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  F/ z  w  =  x )
3013, 29nfan1 1932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )
3124eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  x ) )
3231imbi1d 315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y )  <->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
3330, 32albid 1890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y )  <->  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
3425, 33anbi12d 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y
) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
3534ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( ( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) ) )
365, 21, 35cbvexd 2031 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( E. w ( w  e.  y  /\  A. z
( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
3736adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  ( E. w ( w  e.  y  /\  A. z
( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) )  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
3825, 37imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  /\  w  =  x )  ->  (
( w  e.  y  ->  E. w ( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) ) )  <-> 
( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) ) )
3938ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( w  =  x  ->  ( ( w  e.  y  ->  E. w ( w  e.  y  /\  A. z
( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y ) ) )  <->  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) ) ) )
405, 23, 39cbvald 2030 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( A. w ( w  e.  y  ->  E. w
( w  e.  y  /\  A. z ( z  e.  w  ->  -.  z  e.  y
) ) )  <->  A. x
( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) ) )
412, 40mpbii 211 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  A. x
( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
424119.21bi 1874 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  -.  A. x  x  =  z )  ->  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
4342ex 432 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( -.  A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) ) )
44 elirrv 8015 . . . . 5  |-  -.  x  e.  x
45 elequ2 1828 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  x  e.  y ) )
4644, 45mtbii 300 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  -.  x  e.  y )
4746sps 1870 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  -.  x  e.  y )
4847pm2.21d 106 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
49 axregndlem1 8968 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
5043, 48, 49pm2.61ii 165 1  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1396   E.wex 1617   F/_wnfc 2602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-reg 8010
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-nul 3784  df-sn 4017  df-pr 4019
This theorem is referenced by:  axregnd  8970  axregndOLD  8971
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