MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axregndlem1 Structured version   Unicode version

Theorem axregndlem1 8878
Description: Lemma for the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axregndlem1  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )

Proof of Theorem axregndlem1
StepHypRef Expression
1 19.8a 1797 . 2  |-  ( x  e.  y  ->  E. x  x  e.  y )
2 nfae 2016 . . 3  |-  F/ x A. x  x  =  z
3 nfae 2016 . . . . . 6  |-  F/ z A. x  x  =  z
4 elirrv 7922 . . . . . . . . 9  |-  -.  x  e.  x
5 elequ1 1761 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  x  <->  z  e.  x ) )
64, 5mtbii 302 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  -.  z  e.  x )
76sps 1805 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  z  e.  x
)
87pm2.21d 106 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )
93, 8alrimi 1816 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y )
)
109anim2i 569 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. x  x  =  z )  ->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
1110expcom 435 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
122, 11eximd 1821 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( E. x  x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
131, 12syl5 32 1  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pr 4638  ax-reg 7917
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-v 3078  df-dif 3438  df-un 3440  df-nul 3745  df-sn 3985  df-pr 3987
This theorem is referenced by:  axregndlem2  8879  axregnd  8880  axregndOLD  8881
  Copyright terms: Public domain W3C validator