Theorem axregndlem1 9027

Description: Lemma for the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
axregndlem1	|- ( A. x x = z -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )

Proof of Theorem axregndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.8a 1935	. 2 |- ( x e. y -> E. x x e. y )
2		nfae 2150	. . 3 |- F/ x A. x x = z
3		nfae 2150	. . . . . 6 |- F/ z A. x x = z
4		elirrv 8112	. . . . . . . . 9 |- -. x e. x
5		elequ1 1894	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( x e. x <-> z e. x ) )
6	4, 5	mtbii 304	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> -. z e. x )
7	6	sps 1943	. . . . . . 7 |- ( A. x x = z -> -. z e. x )
8	7	pm2.21d 110	. . . . . 6 |- ( A. x x = z -> ( z e. x -> -. z e. y ) )
9	3, 8	alrimi 1955	. . . . 5 |- ( A. x x = z -> A. z ( z e. x -> -. z e. y ) )
10	9	anim2i 573	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ A. x x = z ) -> ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
11	10	expcom 437	. . 3 |- ( A. x x = z -> ( x e. y -> ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
12	2, 11	eximd 1960	. 2 |- ( A. x x = z -> ( E. x x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
13	1, 12	syl5 33	1 |- ( A. x x = z -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   A.wal 1442   E.wex 1663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639  ax-reg 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-v 3047  df-dif 3407  df-un 3409  df-nul 3732  df-sn 3969  df-pr 3971

This theorem is referenced by:  axregndlem2  9028  axregnd  9029