Theorem axregndlem1 8878

Description: Lemma for the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
axregndlem1	|- ( A. x x = z -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )

Proof of Theorem axregndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.8a 1797	. 2 |- ( x e. y -> E. x x e. y )
2		nfae 2016	. . 3 |- F/ x A. x x = z
3		nfae 2016	. . . . . 6 |- F/ z A. x x = z
4		elirrv 7922	. . . . . . . . 9 |- -. x e. x
5		elequ1 1761	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( x e. x <-> z e. x ) )
6	4, 5	mtbii 302	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> -. z e. x )
7	6	sps 1805	. . . . . . 7 |- ( A. x x = z -> -. z e. x )
8	7	pm2.21d 106	. . . . . 6 |- ( A. x x = z -> ( z e. x -> -. z e. y ) )
9	3, 8	alrimi 1816	. . . . 5 |- ( A. x x = z -> A. z ( z e. x -> -. z e. y ) )
10	9	anim2i 569	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ A. x x = z ) -> ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
11	10	expcom 435	. . 3 |- ( A. x x = z -> ( x e. y -> ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
12	2, 11	eximd 1821	. 2 |- ( A. x x = z -> ( E. x x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
13	1, 12	syl5 32	1 |- ( A. x x = z -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1368   E.wex 1587

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pr 4638  ax-reg 7917

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-v 3078  df-dif 3438  df-un 3440  df-nul 3745  df-sn 3985  df-pr 3987

This theorem is referenced by:  axregndlem2  8879  axregnd  8880  axregndOLD  8881