MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axregndlem1 Structured version   Unicode version

Theorem axregndlem1 8991
Description: Lemma for the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
axregndlem1  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )

Proof of Theorem axregndlem1
StepHypRef Expression
1 19.8a 1806 . 2  |-  ( x  e.  y  ->  E. x  x  e.  y )
2 nfae 2029 . . 3  |-  F/ x A. x  x  =  z
3 nfae 2029 . . . . . 6  |-  F/ z A. x  x  =  z
4 elirrv 8035 . . . . . . . . 9  |-  -.  x  e.  x
5 elequ1 1770 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  x  <->  z  e.  x ) )
64, 5mtbii 302 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  -.  z  e.  x )
76sps 1814 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  z  ->  -.  z  e.  x
)
87pm2.21d 106 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )
93, 8alrimi 1825 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  z  ->  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y )
)
109anim2i 569 . . . 4  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. x  x  =  z )  ->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
1110expcom 435 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
122, 11eximd 1830 . 2  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( E. x  x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
131, 12syl5 32 1  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369   A.wal 1377   E.wex 1596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692  ax-reg 8030
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-nul 3791  df-sn 4034  df-pr 4036
This theorem is referenced by:  axregndlem2  8992  axregnd  8993  axregndOLD  8994
  Copyright terms: Public domain W3C validator