Theorem axregndlem1 8991

Description: Lemma for the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
axregndlem1	|- ( A. x x = z -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )

Proof of Theorem axregndlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.8a 1806	. 2 |- ( x e. y -> E. x x e. y )
2		nfae 2029	. . 3 |- F/ x A. x x = z
3		nfae 2029	. . . . . 6 |- F/ z A. x x = z
4		elirrv 8035	. . . . . . . . 9 |- -. x e. x
5		elequ1 1770	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( x e. x <-> z e. x ) )
6	4, 5	mtbii 302	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> -. z e. x )
7	6	sps 1814	. . . . . . 7 |- ( A. x x = z -> -. z e. x )
8	7	pm2.21d 106	. . . . . 6 |- ( A. x x = z -> ( z e. x -> -. z e. y ) )
9	3, 8	alrimi 1825	. . . . 5 |- ( A. x x = z -> A. z ( z e. x -> -. z e. y ) )
10	9	anim2i 569	. . . 4 |- ( ( x e. y /\ A. x x = z ) -> ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
11	10	expcom 435	. . 3 |- ( A. x x = z -> ( x e. y -> ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
12	2, 11	eximd 1830	. 2 |- ( A. x x = z -> ( E. x x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
13	1, 12	syl5 32	1 |- ( A. x x = z -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1377   E.wex 1596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692  ax-reg 8030

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-nul 3791  df-sn 4034  df-pr 4036

This theorem is referenced by:  axregndlem2  8992  axregnd  8993  axregndOLD  8994