MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axregndOLD Structured version   Unicode version

Theorem axregndOLD 8999
Description: Obsolete proof of axregnd 8998 as of 18-Aug-2019. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axregndOLD  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) )

Proof of Theorem axregndOLD
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axregndlem2 8997 . . . 4  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. w ( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y
) ) )
2 nfnae 2059 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  x
3 nfnae 2059 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  y
42, 3nfan 1929 . . . . 5  |-  F/ x
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )
5 nfnae 2059 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. z  z  =  x
6 nfnae 2059 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. z  z  =  y
75, 6nfan 1929 . . . . . . 7  |-  F/ z ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )
8 nfcvf 2644 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  F/_ z x )
98adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/_ z x )
109nfcrd 2625 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  w  e.  x )
11 nfcvf 2644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  F/_ z y )
1211adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/_ z y )
1312nfcrd 2625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  w  e.  y )
1413nfnd 1903 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  -.  w  e.  y
)
1510, 14nfimd 1918 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z
( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y ) )
16 elequ1 1822 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  x  <->  z  e.  x ) )
17 elequ1 1822 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  y  <->  z  e.  y ) )
1817notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  ( -.  w  e.  y  <->  -.  z  e.  y ) )
1916, 18imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y )  <->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( w  =  z  ->  ( ( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y
)  <->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
217, 15, 20cbvald 2026 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. w ( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y )  <->  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
2221anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( (
x  e.  y  /\  A. w ( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
234, 22exbid 1887 . . . 4  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( E. x ( x  e.  y  /\  A. w
( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y ) )  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
241, 23syl5ib 219 . . 3  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
2524ex 434 . 2  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) ) )
26 axregndlem1 8996 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
2726aecoms 2053 . 2  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
28 19.8a 1858 . . 3  |-  ( x  e.  y  ->  E. x  x  e.  y )
29 nfae 2057 . . . 4  |-  F/ x A. z  z  =  y
30 elirrv 8041 . . . . . . . . . 10  |-  -.  z  e.  z
31 elequ2 1824 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  z  e.  y ) )
3230, 31mtbii 302 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  -.  z  e.  y )
3332sps 1866 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  z  =  y  ->  -.  z  e.  y )
3433a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )
3534axc4i 1899 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  y  ->  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y )
)
3635anim2i 569 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  z  =  y )  ->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
3736expcom 435 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
3829, 37eximd 1883 . . 3  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( E. x  x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
3928, 38syl5 32 . 2  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
4025, 27, 39pm2.61ii 165 1  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1393   E.wex 1613   F/_wnfc 2605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695  ax-reg 8036
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-nul 3794  df-sn 4033  df-pr 4035
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator