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Theorem axregndOLD 8792
Description: Obsolete proof of axregnd 8791 as of 18-Aug-2019. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axregndOLD  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) )

Proof of Theorem axregndOLD
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axregndlem2 8790 . . . 4  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. w ( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y
) ) )
2 nfnae 2005 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  x
3 nfnae 2005 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  y
42, 3nfan 1861 . . . . 5  |-  F/ x
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )
5 nfnae 2005 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. z  z  =  x
6 nfnae 2005 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. z  z  =  y
75, 6nfan 1861 . . . . . . 7  |-  F/ z ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )
8 nfcvf 2613 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  F/_ z x )
98adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/_ z x )
109nfcrd 2595 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  w  e.  x )
11 nfcvf 2613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  F/_ z y )
1211adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/_ z y )
1312nfcrd 2595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  w  e.  y )
1413nfnd 1836 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  -.  w  e.  y
)
1510, 14nfimd 1850 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z
( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y ) )
16 elequ1 1759 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  x  <->  z  e.  x ) )
17 elequ1 1759 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  y  <->  z  e.  y ) )
1817notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  ( -.  w  e.  y  <->  -.  z  e.  y ) )
1916, 18imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y )  <->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( w  =  z  ->  ( ( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y
)  <->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
217, 15, 20cbvald 1973 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. w ( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y )  <->  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
2221anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( (
x  e.  y  /\  A. w ( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
234, 22exbid 1820 . . . 4  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( E. x ( x  e.  y  /\  A. w
( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y ) )  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
241, 23syl5ib 219 . . 3  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
2524ex 434 . 2  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) ) )
26 axregndlem1 8789 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
2726aecoms 1999 . 2  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
28 19.8a 1793 . . 3  |-  ( x  e.  y  ->  E. x  x  e.  y )
29 nfae 2003 . . . 4  |-  F/ x A. z  z  =  y
30 elirrv 7833 . . . . . . . . . 10  |-  -.  z  e.  z
31 elequ2 1761 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  z  e.  y ) )
3230, 31mtbii 302 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  -.  z  e.  y )
3332sps 1800 . . . . . . . 8  |-  ( A. z  z  =  y  ->  -.  z  e.  y )
3433a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) )
3534axc4i 1832 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  y  ->  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y )
)
3635anim2i 569 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  z  =  y )  ->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
3736expcom 435 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
3829, 37eximd 1816 . . 3  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( E. x  x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
3928, 38syl5 32 . 2  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
4025, 27, 39pm2.61ii 165 1  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367   E.wex 1586   F/_wnfc 2575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pr 4552  ax-reg 7828
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-v 2995  df-dif 3352  df-un 3354  df-nul 3659  df-sn 3899  df-pr 3901
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