Theorem axregnd 8993

Description: A version of the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 18-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
axregnd	|- ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )

Proof of Theorem axregnd

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axregndlem2 8992	. . . 4 |- ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. w ( w e. x -> -. w e. y ) ) )
2		nfnae 2031	. . . . . 6 |- F/ x -. A. z z = x
3		nfnae 2031	. . . . . 6 |- F/ x -. A. z z = y
4	2, 3	nfan 1875	. . . . 5 |- F/ x ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y )
5		nfna1 1851	. . . . . . . 8 |- F/ z -. A. z z = x
6		nfna1 1851	. . . . . . . 8 |- F/ z -. A. z z = y
7	5, 6	nfan 1875	. . . . . . 7 |- F/ z ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y )
8		nfcvf 2654	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. z z = x -> F/_ z x )
9	8	nfcrd 2635	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. z z = x -> F/ z w e. x )
10	9	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/ z w e. x )
11		nfcvf 2654	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. z z = y -> F/_ z y )
12	11	nfcrd 2635	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. z z = y -> F/ z w e. y )
13	12	nfnd 1850	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. z z = y -> F/ z -. w e. y )
14	13	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/ z -. w e. y )
15	10, 14	nfimd 1864	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/ z ( w e. x -> -. w e. y ) )
16		elequ1 1770	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> ( w e. x <-> z e. x ) )
17		elequ1 1770	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( w e. y <-> z e. y ) )
18	17	notbid 294	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> ( -. w e. y <-> -. z e. y ) )
19	16, 18	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( w = z -> ( ( w e. x -> -. w e. y ) <-> ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( w = z -> ( ( w e. x -> -. w e. y ) <-> ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
21	7, 15, 20	cbvald 1998	. . . . . 6 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( A. w ( w e. x -> -. w e. y ) <-> A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
22	21	anbi2d 703	. . . . 5 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( ( x e. y /\ A. w ( w e. x -> -. w e. y ) ) <-> ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
23	4, 22	exbid 1834	. . . 4 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( E. x ( x e. y /\ A. w ( w e. x -> -. w e. y ) ) <-> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
24	1, 23	syl5ib 219	. . 3 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
25	24	ex 434	. 2 |- ( -. A. z z = x -> ( -. A. z z = y -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) ) )
26		axregndlem1 8991	. . 3 |- ( A. x x = z -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
27	26	aecoms 2025	. 2 |- ( A. z z = x -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
28		19.8a 1806	. . 3 |- ( x e. y -> E. x x e. y )
29		nfae 2029	. . . 4 |- F/ x A. z z = y
30		elirrv 8035	. . . . . . . . 9 |- -. z e. z
31		elequ2 1772	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( z e. z <-> z e. y ) )
32	30, 31	mtbii 302	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> -. z e. y )
33	32	a1d 25	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( z e. x -> -. z e. y ) )
34	33	alimi 1614	. . . . . 6 |- ( A. z z = y -> A. z ( z e. x -> -. z e. y ) )
35	34	anim2i 569	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ A. z z = y ) -> ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
36	35	expcom 435	. . . 4 |- ( A. z z = y -> ( x e. y -> ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
37	29, 36	eximd 1830	. . 3 |- ( A. z z = y -> ( E. x x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
38	28, 37	syl5 32	. 2 |- ( A. z z = y -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
39	25, 27, 38	pm2.61ii 165	1 |- ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1377   E.wex 1596   F/wnf 1599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692  ax-reg 8030

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-nul 3791  df-sn 4034  df-pr 4036

This theorem is referenced by:  zfcndreg  9007  axregprim  28902