Theorem axregnd 8970

Description: A version of the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 18-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
axregnd	|- ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )

Proof of Theorem axregnd

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axregndlem2 8969	. . . 4 |- ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. w ( w e. x -> -. w e. y ) ) )
2		nfnae 2062	. . . . . 6 |- F/ x -. A. z z = x
3		nfnae 2062	. . . . . 6 |- F/ x -. A. z z = y
4	2, 3	nfan 1933	. . . . 5 |- F/ x ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y )
5		nfnae 2062	. . . . . . . 8 |- F/ z -. A. z z = x
6		nfnae 2062	. . . . . . . 8 |- F/ z -. A. z z = y
7	5, 6	nfan 1933	. . . . . . 7 |- F/ z ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y )
8		nfcvf 2641	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. z z = x -> F/_ z x )
9	8	nfcrd 2622	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. z z = x -> F/ z w e. x )
10	9	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/ z w e. x )
11		nfcvf 2641	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. z z = y -> F/_ z y )
12	11	nfcrd 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. z z = y -> F/ z w e. y )
13	12	nfnd 1907	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. z z = y -> F/ z -. w e. y )
14	13	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/ z -. w e. y )
15	10, 14	nfimd 1922	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/ z ( w e. x -> -. w e. y ) )
16		elequ1 1826	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> ( w e. x <-> z e. x ) )
17		elequ1 1826	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( w e. y <-> z e. y ) )
18	17	notbid 292	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> ( -. w e. y <-> -. z e. y ) )
19	16, 18	imbi12d 318	. . . . . . . 8 |- ( w = z -> ( ( w e. x -> -. w e. y ) <-> ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( w = z -> ( ( w e. x -> -. w e. y ) <-> ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
21	7, 15, 20	cbvald 2030	. . . . . 6 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( A. w ( w e. x -> -. w e. y ) <-> A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
22	21	anbi2d 701	. . . . 5 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( ( x e. y /\ A. w ( w e. x -> -. w e. y ) ) <-> ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
23	4, 22	exbid 1891	. . . 4 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( E. x ( x e. y /\ A. w ( w e. x -> -. w e. y ) ) <-> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
24	1, 23	syl5ib 219	. . 3 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
25	24	ex 432	. 2 |- ( -. A. z z = x -> ( -. A. z z = y -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) ) )
26		axregndlem1 8968	. . 3 |- ( A. x x = z -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
27	26	aecoms 2056	. 2 |- ( A. z z = x -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
28		19.8a 1862	. . 3 |- ( x e. y -> E. x x e. y )
29		nfae 2060	. . . 4 |- F/ x A. z z = y
30		elirrv 8015	. . . . . . . . 9 |- -. z e. z
31		elequ2 1828	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( z e. z <-> z e. y ) )
32	30, 31	mtbii 300	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> -. z e. y )
33	32	a1d 25	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( z e. x -> -. z e. y ) )
34	33	alimi 1638	. . . . . 6 |- ( A. z z = y -> A. z ( z e. x -> -. z e. y ) )
35	34	anim2i 567	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ A. z z = y ) -> ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
36	35	expcom 433	. . . 4 |- ( A. z z = y -> ( x e. y -> ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
37	29, 36	eximd 1887	. . 3 |- ( A. z z = y -> ( E. x x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
38	28, 37	syl5 32	. 2 |- ( A. z z = y -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
39	25, 27, 38	pm2.61ii 165	1 |- ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   A.wal 1396   E.wex 1617   F/wnf 1621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-reg 8010

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-v 3108  df-dif 3464  df-un 3466  df-nul 3784  df-sn 4017  df-pr 4019

This theorem is referenced by:  zfcndreg  8984  axregprim  29321