Theorem axregnd 9054

Description: A version of the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 18-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
axregnd	|- ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )

Proof of Theorem axregnd

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axregndlem2 9053	. . . 4 |- ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. w ( w e. x -> -. w e. y ) ) )
2		nfnae 2162	. . . . . 6 |- F/ x -. A. z z = x
3		nfnae 2162	. . . . . 6 |- F/ x -. A. z z = y
4	2, 3	nfan 2021	. . . . 5 |- F/ x ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y )
5		nfnae 2162	. . . . . . . 8 |- F/ z -. A. z z = x
6		nfnae 2162	. . . . . . . 8 |- F/ z -. A. z z = y
7	5, 6	nfan 2021	. . . . . . 7 |- F/ z ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y )
8		nfcvf 2625	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. z z = x -> F/_ z x )
9	8	nfcrd 2608	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. z z = x -> F/ z w e. x )
10	9	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/ z w e. x )
11		nfcvf 2625	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. z z = y -> F/_ z y )
12	11	nfcrd 2608	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. z z = y -> F/ z w e. y )
13	12	nfnd 1994	. . . . . . . . 9 |- ( -. A. z z = y -> F/ z -. w e. y )
14	13	adantl 472	. . . . . . . 8 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/ z -. w e. y )
15	10, 14	nfimd 2010	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> F/ z ( w e. x -> -. w e. y ) )
16		elequ1 1904	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> ( w e. x <-> z e. x ) )
17		elequ1 1904	. . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( w e. y <-> z e. y ) )
18	17	notbid 300	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> ( -. w e. y <-> -. z e. y ) )
19	16, 18	imbi12d 326	. . . . . . . 8 |- ( w = z -> ( ( w e. x -> -. w e. y ) <-> ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( w = z -> ( ( w e. x -> -. w e. y ) <-> ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
21	7, 15, 20	cbvald 2128	. . . . . 6 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( A. w ( w e. x -> -. w e. y ) <-> A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
22	21	anbi2d 715	. . . . 5 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( ( x e. y /\ A. w ( w e. x -> -. w e. y ) ) <-> ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
23	4, 22	exbid 1974	. . . 4 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( E. x ( x e. y /\ A. w ( w e. x -> -. w e. y ) ) <-> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
24	1, 23	syl5ib 227	. . 3 |- ( ( -. A. z z = x /\ -. A. z z = y ) -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
25	24	ex 440	. 2 |- ( -. A. z z = x -> ( -. A. z z = y -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) ) )
26		axregndlem1 9052	. . 3 |- ( A. x x = z -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
27	26	aecoms 2156	. 2 |- ( A. z z = x -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
28		19.8a 1945	. . 3 |- ( x e. y -> E. x x e. y )
29		nfae 2160	. . . 4 |- F/ x A. z z = y
30		elirrv 8137	. . . . . . . . 9 |- -. z e. z
31		elequ2 1911	. . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( z e. z <-> z e. y ) )
32	30, 31	mtbii 308	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> -. z e. y )
33	32	a1d 26	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( z e. x -> -. z e. y ) )
34	33	alimi 1694	. . . . . 6 |- ( A. z z = y -> A. z ( z e. x -> -. z e. y ) )
35	34	anim2i 577	. . . . 5 |- ( ( x e. y /\ A. z z = y ) -> ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
36	35	expcom 441	. . . 4 |- ( A. z z = y -> ( x e. y -> ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
37	29, 36	eximd 1970	. . 3 |- ( A. z z = y -> ( E. x x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
38	28, 37	syl5 33	. 2 |- ( A. z z = y -> ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) ) )
39	25, 27, 38	pm2.61ii 170	1 |- ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   A.wal 1452   E.wex 1673   F/wnf 1677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652  ax-reg 8132

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-nul 3743  df-sn 3980  df-pr 3982

This theorem is referenced by:  zfcndreg  9067  axregprim  30380