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Theorem axregnd 9054
Description: A version of the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 3-Jan-2002.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 18-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
axregnd  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) )

Proof of Theorem axregnd
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axregndlem2 9053 . . . 4  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. w ( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y
) ) )
2 nfnae 2162 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  x
3 nfnae 2162 . . . . . 6  |-  F/ x  -.  A. z  z  =  y
42, 3nfan 2021 . . . . 5  |-  F/ x
( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )
5 nfnae 2162 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. z  z  =  x
6 nfnae 2162 . . . . . . . 8  |-  F/ z  -.  A. z  z  =  y
75, 6nfan 2021 . . . . . . 7  |-  F/ z ( -.  A. z 
z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )
8 nfcvf 2625 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  F/_ z x )
98nfcrd 2608 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  F/ z  w  e.  x )
109adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  w  e.  x )
11 nfcvf 2625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  F/_ z y )
1211nfcrd 2608 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  F/ z  w  e.  y )
1312nfnd 1994 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. z  z  =  y  ->  F/ z  -.  w  e.  y
)
1413adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z  -.  w  e.  y
)
1510, 14nfimd 2010 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  F/ z
( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y ) )
16 elequ1 1904 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  x  <->  z  e.  x ) )
17 elequ1 1904 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
w  e.  y  <->  z  e.  y ) )
1817notbid 300 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  ( -.  w  e.  y  <->  -.  z  e.  y ) )
1916, 18imbi12d 326 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  (
( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y )  <->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( w  =  z  ->  ( ( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y
)  <->  ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
217, 15, 20cbvald 2128 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( A. w ( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y )  <->  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
2221anbi2d 715 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( (
x  e.  y  /\  A. w ( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y ) )  <->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
234, 22exbid 1974 . . . 4  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( E. x ( x  e.  y  /\  A. w
( w  e.  x  ->  -.  w  e.  y ) )  <->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
241, 23syl5ib 227 . . 3  |-  ( ( -.  A. z  z  =  x  /\  -.  A. z  z  =  y )  ->  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
2524ex 440 . 2  |-  ( -. 
A. z  z  =  x  ->  ( -.  A. z  z  =  y  ->  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) ) )
26 axregndlem1 9052 . . 3  |-  ( A. x  x  =  z  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
2726aecoms 2156 . 2  |-  ( A. z  z  =  x  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
28 19.8a 1945 . . 3  |-  ( x  e.  y  ->  E. x  x  e.  y )
29 nfae 2160 . . . 4  |-  F/ x A. z  z  =  y
30 elirrv 8137 . . . . . . . . 9  |-  -.  z  e.  z
31 elequ2 1911 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  z  e.  y ) )
3230, 31mtbii 308 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  -.  z  e.  y )
3332a1d 26 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) )
3433alimi 1694 . . . . . 6  |-  ( A. z  z  =  y  ->  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y )
)
3534anim2i 577 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  y  /\  A. z  z  =  y )  ->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) )
3635expcom 441 . . . 4  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  y  /\  A. z
( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
3729, 36eximd 1970 . . 3  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( E. x  x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) ) )
3828, 37syl5 33 . 2  |-  ( A. z  z  =  y  ->  ( x  e.  y  ->  E. x ( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y ) ) ) )
3925, 27, 38pm2.61ii 170 1  |-  ( x  e.  y  ->  E. x
( x  e.  y  /\  A. z ( z  e.  x  ->  -.  z  e.  y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1452   E.wex 1673   F/wnf 1677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pr 4652  ax-reg 8132
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-nul 3743  df-sn 3980  df-pr 3982
This theorem is referenced by:  zfcndreg  9067  axregprim  30380
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