Theorem axregnd 6108

Description: A version of the Axiom of Regularity with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axregnd	|- (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))

Proof of Theorem axregnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hbnae 1507	. . . . . 6 |- (-. A.z z = x -> A.x -. A.z z = x)
2		hbnae 1507	. . . . . 6 |- (-. A.z z = y -> A.x -. A.z z = y)
3	1, 2	hban 1356	. . . . 5 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> A.x(-. A.z z = x /\ -. A.z z = y))
4		hbnae 1507	. . . . . . . 8 |- (-. A.z z = x -> A.z -. A.z z = x)
5		hbnae 1507	. . . . . . . 8 |- (-. A.z z = y -> A.z -. A.z z = y)
6	4, 5	hban 1356	. . . . . . 7 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> A.z(-. A.z z = x /\ -. A.z z = y))
7		dveel2 1748	. . . . . . . . 9 |- (-. A.z z = x -> (w e. x -> A.z w e. x))
8	7	adantr 425	. . . . . . . 8 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (w e. x -> A.z w e. x))
9		dveel2 1748	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.z z = y -> (w e. y -> A.z w e. y))
10	9	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (w e. y -> A.z w e. y))
11	6, 10	hbnd 1467	. . . . . . . 8 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (-. w e. y -> A.z -. w e. y))
12	6, 8, 11	hbimd 1468	. . . . . . 7 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> ((w e. x -> -. w e. y) -> A.z(w e. x -> -. w e. y)))
13		elequ1 1496	. . . . . . . . 9 |- (w = z -> (w e. x <-> z e. x))
14		elequ1 1496	. . . . . . . . . 10 |- (w = z -> (w e. y <-> z e. y))
15	14	notbid 673	. . . . . . . . 9 |- (w = z -> (-. w e. y <-> -. z e. y))
16	13, 15	imbi12d 688	. . . . . . . 8 |- (w = z -> ((w e. x -> -. w e. y) <-> (z e. x -> -. z e. y)))
17	16	a1i 8	. . . . . . 7 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (w = z -> ((w e. x -> -. w e. y) <-> (z e. x -> -. z e. y))))
18	6, 12, 17	cbvald 1702	. . . . . 6 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (A.w(w e. x -> -. w e. y) <-> A.z(z e. x -> -. z e. y)))
19	18	anbi2d 678	. . . . 5 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> ((x e. y /\ A.w(w e. x -> -. w e. y)) <-> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
20	3, 19	exbid 1460	. . . 4 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (E.x(x e. y /\ A.w(w e. x -> -. w e. y)) <-> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
21		axregndlem2 6107	. . . 4 |- (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.w(w e. x -> -. w e. y)))
22	20, 21	syl5bi 225	. . 3 |- ((-. A.z z = x /\ -. A.z z = y) -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
23	22	ex 402	. 2 |- (-. A.z z = x -> (-. A.z z = y -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))))
24		axregndlem1 6106	. . 3 |- (A.x x = z -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
25	24	alequcoms 1503	. 2 |- (A.z z = x -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
26		hbae 1505	. . . 4 |- (A.z z = y -> A.xA.z z = y)
27		elirrv 5700	. . . . . . . . . 10 |- -. z e. z
28		elequ2 1497	. . . . . . . . . 10 |- (z = y -> (z e. z <-> z e. y))
29	27, 28	mtbii 784	. . . . . . . . 9 |- (z = y -> -. z e. y)
30	29	a4s 1330	. . . . . . . 8 |- (A.z z = y -> -. z e. y)
31	30	a1d 15	. . . . . . 7 |- (A.z z = y -> (z e. x -> -. z e. y))
32	31	a5i 1335	. . . . . 6 |- (A.z z = y -> A.z(z e. x -> -. z e. y))
33	32	anim2i 362	. . . . 5 |- ((x e. y /\ A.z z = y) -> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))
34	33	expcom 403	. . . 4 |- (A.z z = y -> (x e. y -> (x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
35	26, 34	eximd 1410	. . 3 |- (A.z z = y -> (E.x x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
36		19.8a 1376	. . 3 |- (x e. y -> E.x x e. y)
37	35, 36	syl5 20	. 2 |- (A.z z = y -> (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y))))
38	23, 25, 37	pm2.61ii 144	1 |- (x e. y -> E.x(x e. y /\ A.z(z e. x -> -. z e. y)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326

This theorem is referenced by:  zfcndreg 6121  axregprim 13789

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-15 1751  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049

Copyright terms: Public domain