Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axpre-sup Structured version   Unicode version

Theorem axpre-sup 9601
 Description: A nonempty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 22 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version with ordering on extended reals is axsup 9717. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-sup 9625. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-sup
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem axpre-sup
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal2 9564 . . . . . . 7
21simplbi 461 . . . . . 6
32adantl 467 . . . . 5
4 fo1st 6828 . . . . . . . . . . . 12
5 fof 5810 . . . . . . . . . . . 12
6 ffn 5746 . . . . . . . . . . . 12
74, 5, 6mp2b 10 . . . . . . . . . . 11
8 ssv 3484 . . . . . . . . . . 11
9 fvelimab 5938 . . . . . . . . . . 11
107, 8, 9mp2an 676 . . . . . . . . . 10
11 r19.29 2960 . . . . . . . . . . . 12
12 ssel2 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13 ltresr2 9573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
14 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1513, 14sylan9bb 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1615biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1716exp31 607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1812, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1918imp4b 593 . . . . . . . . . . . . . . 15
2019ancomsd 455 . . . . . . . . . . . . . 14
2120an32s 811 . . . . . . . . . . . . 13
2221rexlimdva 2914 . . . . . . . . . . . 12
2311, 22syl5 33 . . . . . . . . . . 11
2423expd 437 . . . . . . . . . 10
2510, 24syl7bi 233 . . . . . . . . 9
2625impr 623 . . . . . . . 8
2726adantlr 719 . . . . . . 7
2827ralrimiv 2834 . . . . . 6
2928expr 618 . . . . 5
30 breq2 4427 . . . . . . 7
3130ralbidv 2861 . . . . . 6
3231rspcev 3182 . . . . 5
333, 29, 32syl6an 547 . . . 4
3433rexlimdva 2914 . . 3
35 n0 3771 . . . . . 6
36 fnfvima 6159 . . . . . . . . 9
377, 8, 36mp3an12 1350 . . . . . . . 8
38 ne0i 3767 . . . . . . . 8
3937, 38syl 17 . . . . . . 7
4039exlimiv 1770 . . . . . 6
4135, 40sylbi 198 . . . . 5
42 supsr 9544 . . . . . 6
4342ex 435 . . . . 5
4441, 43syl 17 . . . 4
46 breq2 4427 . . . . . . . . . . . 12
4746notbid 295 . . . . . . . . . . 11
4847rspccv 3179 . . . . . . . . . 10
4937, 48syl5com 31 . . . . . . . . 9
5049adantl 467 . . . . . . . 8
51 elreal2 9564 . . . . . . . . . . . . 13
5251simprbi 465 . . . . . . . . . . . 12
5352breq2d 4435 . . . . . . . . . . 11
54 ltresr 9572 . . . . . . . . . . 11
5553, 54syl6bb 264 . . . . . . . . . 10
5612, 55syl 17 . . . . . . . . 9
5756notbid 295 . . . . . . . 8
5850, 57sylibrd 237 . . . . . . 7
5958ralrimdva 2840 . . . . . 6
6059ad2antrr 730 . . . . 5
6152breq1d 4433 . . . . . . . . . . . . . 14
62 ltresr 9572 . . . . . . . . . . . . . 14
6361, 62syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . 13
6451simplbi 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
65 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
66 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6766rexbidv 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6865, 67imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968rspccv 3179 . . . . . . . . . . . . . . 15
7064, 69syl5 33 . . . . . . . . . . . . . 14
7170com3l 84 . . . . . . . . . . . . 13
7263, 71sylbid 218 . . . . . . . . . . . 12
7372adantr 466 . . . . . . . . . . 11
74 fvelimab 5938 . . . . . . . . . . . . . . . 16
757, 8, 74mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . 15
76 ssel2 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
77 ltresr2 9573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7876, 77sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
79 breq2 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8078, 79sylan9bb 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8180exbiri 626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8281expr 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8382com4r 89 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8483imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8584reximdvai 2894 . . . . . . . . . . . . . . 15
8675, 85syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14
8786expcom 436 . . . . . . . . . . . . 13
8887com23 81 . . . . . . . . . . . 12
8988rexlimdv 2912 . . . . . . . . . . 11
9073, 89syl6d 71 . . . . . . . . . 10
9190com23 81 . . . . . . . . 9
9291ex 435 . . . . . . . 8
9392com3l 84 . . . . . . 7
9493ad2antrr 730 . . . . . 6
9594ralrimdv 2838 . . . . 5
96 opelreal 9562 . . . . . . . 8
9796biimpri 209 . . . . . . 7
9897adantl 467 . . . . . 6
99 breq1 4426 . . . . . . . . . . 11
10099notbid 295 . . . . . . . . . 10
101100ralbidv 2861 . . . . . . . . 9
102 breq2 4427 . . . . . . . . . . 11
103102imbi1d 318 . . . . . . . . . 10
104103ralbidv 2861 . . . . . . . . 9
105101, 104anbi12d 715 . . . . . . . 8
106105rspcev 3182 . . . . . . 7
107106ex 435 . . . . . 6
10898, 107syl 17 . . . . 5
10960, 95, 108syl2and 485 . . . 4
110109rexlimdva 2914 . . 3
11134, 45, 1103syld 57 . 2
1121113impia 1202 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437  wex 1657   wcel 1872   wne 2614  wral 2771  wrex 2772  cvv 3080   wss 3436  c0 3761  cop 4004   class class class wbr 4423  cima 4856   wfn 5596  wf 5597  wfo 5599  cfv 5601  c1st 6806  cnr 9298  c0r 9299   cltr 9304  cr 9546   cltrr 9551 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-oadd 7198  df-omul 7199  df-er 7375  df-ec 7377  df-qs 7381  df-ni 9305  df-pli 9306  df-mi 9307  df-lti 9308  df-plpq 9341  df-mpq 9342  df-ltpq 9343  df-enq 9344  df-nq 9345  df-erq 9346  df-plq 9347  df-mq 9348  df-1nq 9349  df-rq 9350  df-ltnq 9351  df-np 9414  df-1p 9415  df-plp 9416  df-mp 9417  df-ltp 9418  df-enr 9488  df-nr 9489  df-plr 9490  df-mr 9491  df-ltr 9492  df-0r 9493  df-1r 9494  df-m1r 9495  df-r 9557  df-lt 9560 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator