MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axpre-mulgt0 Structured version   Unicode version

Theorem axpre-mulgt0 9335
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 21 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axmulgt0 9449. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 9359. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-mulgt0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <RR  A  /\  0  <RR  B )  ->  0  <RR  ( A  x.  B ) ) )

Proof of Theorem axpre-mulgt0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 9298 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 9298 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 breq2 4296 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( 0 
<RR  <. x ,  0R >.  <->  0  <RR  A ) )
43anbi1d 704 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( (
0  <RR  <. x ,  0R >.  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  <->  ( 0 
<RR  A  /\  0  <RR  <.
y ,  0R >. ) ) )
5 oveq1 6098 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  =  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) )
65breq2d 4304 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( 0 
<RR  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  <->  0  <RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) ) )
74, 6imbi12d 320 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( (
( 0  <RR  <. x ,  0R >.  /\  0  <RR 
<. y ,  0R >. )  ->  0  <RR  ( <.
x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. ) )  <->  ( ( 0 
<RR  A  /\  0  <RR  <.
y ,  0R >. )  ->  0  <RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) ) ) )
8 breq2 4296 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  0  <RR  B ) )
98anbi2d 703 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( (
0  <RR  A  /\  0  <RR 
<. y ,  0R >. )  <-> 
( 0  <RR  A  /\  0  <RR  B ) ) )
10 oveq2 6099 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  x.  <. y ,  0R >. )  =  ( A  x.  B ) )
1110breq2d 4304 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( 0 
<RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. )  <->  0 
<RR  ( A  x.  B
) ) )
129, 11imbi12d 320 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( (
( 0  <RR  A  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  ->  0  <RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) )  <->  ( (
0  <RR  A  /\  0  <RR  B )  ->  0  <RR  ( A  x.  B
) ) ) )
13 df-0 9289 . . . . . 6  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
1413breq1i 4299 . . . . 5  |-  ( 0 
<RR  <. x ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. )
15 ltresr 9307 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.  <->  0R  <R  x )
1614, 15bitri 249 . . . 4  |-  ( 0 
<RR  <. x ,  0R >.  <-> 
0R  <R  x )
1713breq1i 4299 . . . . 5  |-  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >. )
18 ltresr 9307 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  0R  <R  y )
1917, 18bitri 249 . . . 4  |-  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <-> 
0R  <R  y )
20 mulgt0sr 9272 . . . 4  |-  ( ( 0R  <R  x  /\  0R  <R  y )  ->  0R  <R  ( x  .R  y ) )
2116, 19, 20syl2anb 479 . . 3  |-  ( ( 0  <RR  <. x ,  0R >.  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  ->  0R  <R  ( x  .R  y
) )
2213a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  0  =  <. 0R ,  0R >. )
23 mulresr 9306 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  =  <. (
x  .R  y ) ,  0R >. )
2422, 23breq12d 4305 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( 0  <RR  ( <.
x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. )  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. ( x  .R  y
) ,  0R >. ) )
25 ltresr 9307 . . . 4  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. (
x  .R  y ) ,  0R >.  <->  0R  <R  ( x  .R  y ) )
2624, 25syl6bb 261 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( 0  <RR  ( <.
x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. )  <-> 
0R  <R  ( x  .R  y ) ) )
2721, 26syl5ibr 221 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( ( 0  <RR  <.
x ,  0R >.  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  ->  0  <RR  (
<. x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. ) ) )
281, 2, 7, 12, 272gencl 3003 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <RR  A  /\  0  <RR  B )  ->  0  <RR  ( A  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   <.cop 3883   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   R.cnr 9034   0Rc0r 9035    .R cmr 9039    <R cltr 9040   RRcr 9281   0cc0 9282    <RR cltrr 9286    x. cmul 9287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-er 7101  df-ec 7103  df-qs 7107  df-ni 9041  df-pli 9042  df-mi 9043  df-lti 9044  df-plpq 9077  df-mpq 9078  df-ltpq 9079  df-enq 9080  df-nq 9081  df-erq 9082  df-plq 9083  df-mq 9084  df-1nq 9085  df-rq 9086  df-ltnq 9087  df-np 9150  df-1p 9151  df-plp 9152  df-mp 9153  df-ltp 9154  df-plpr 9224  df-mpr 9225  df-enr 9226  df-nr 9227  df-plr 9228  df-mr 9229  df-ltr 9230  df-0r 9231  df-m1r 9233  df-c 9288  df-0 9289  df-r 9292  df-mul 9294  df-lt 9295
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator