MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axpre-mulgt0 Structured version   Unicode version

Theorem axpre-mulgt0 9599
Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 21 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axmulgt0 9715. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 9623. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-mulgt0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <RR  A  /\  0  <RR  B )  ->  0  <RR  ( A  x.  B ) ) )

Proof of Theorem axpre-mulgt0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 9562 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 9562 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 breq2 4427 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( 0 
<RR  <. x ,  0R >.  <->  0  <RR  A ) )
43anbi1d 709 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( (
0  <RR  <. x ,  0R >.  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  <->  ( 0 
<RR  A  /\  0  <RR  <.
y ,  0R >. ) ) )
5 oveq1 6312 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  =  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) )
65breq2d 4435 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( 0 
<RR  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  <->  0  <RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) ) )
74, 6imbi12d 321 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( (
( 0  <RR  <. x ,  0R >.  /\  0  <RR 
<. y ,  0R >. )  ->  0  <RR  ( <.
x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. ) )  <->  ( ( 0 
<RR  A  /\  0  <RR  <.
y ,  0R >. )  ->  0  <RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) ) ) )
8 breq2 4427 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  0  <RR  B ) )
98anbi2d 708 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( (
0  <RR  A  /\  0  <RR 
<. y ,  0R >. )  <-> 
( 0  <RR  A  /\  0  <RR  B ) ) )
10 oveq2 6313 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  x.  <. y ,  0R >. )  =  ( A  x.  B ) )
1110breq2d 4435 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( 0 
<RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. )  <->  0 
<RR  ( A  x.  B
) ) )
129, 11imbi12d 321 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( (
( 0  <RR  A  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  ->  0  <RR  ( A  x.  <. y ,  0R >. ) )  <->  ( (
0  <RR  A  /\  0  <RR  B )  ->  0  <RR  ( A  x.  B
) ) ) )
13 df-0 9553 . . . . . 6  |-  0  =  <. 0R ,  0R >.
1413breq1i 4430 . . . . 5  |-  ( 0 
<RR  <. x ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. )
15 ltresr 9571 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.  <->  0R  <R  x )
1614, 15bitri 252 . . . 4  |-  ( 0 
<RR  <. x ,  0R >.  <-> 
0R  <R  x )
1713breq1i 4430 . . . . 5  |-  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >. )
18 ltresr 9571 . . . . 5  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  0R  <R  y )
1917, 18bitri 252 . . . 4  |-  ( 0 
<RR  <. y ,  0R >.  <-> 
0R  <R  y )
20 mulgt0sr 9536 . . . 4  |-  ( ( 0R  <R  x  /\  0R  <R  y )  ->  0R  <R  ( x  .R  y ) )
2116, 19, 20syl2anb 481 . . 3  |-  ( ( 0  <RR  <. x ,  0R >.  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  ->  0R  <R  ( x  .R  y
) )
2213a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  0  =  <. 0R ,  0R >. )
23 mulresr 9570 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  x.  <. y ,  0R >. )  =  <. (
x  .R  y ) ,  0R >. )
2422, 23breq12d 4436 . . . 4  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( 0  <RR  ( <.
x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. )  <->  <. 0R ,  0R >.  <RR  <. ( x  .R  y
) ,  0R >. ) )
25 ltresr 9571 . . . 4  |-  ( <. 0R ,  0R >.  <RR  <. (
x  .R  y ) ,  0R >.  <->  0R  <R  ( x  .R  y ) )
2624, 25syl6bb 264 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( 0  <RR  ( <.
x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. )  <-> 
0R  <R  ( x  .R  y ) ) )
2721, 26syl5ibr 224 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( ( 0  <RR  <.
x ,  0R >.  /\  0  <RR  <. y ,  0R >. )  ->  0  <RR  (
<. x ,  0R >.  x. 
<. y ,  0R >. ) ) )
281, 2, 7, 12, 272gencl 3112 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <RR  A  /\  0  <RR  B )  ->  0  <RR  ( A  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   <.cop 4004   class class class wbr 4423  (class class class)co 6305   R.cnr 9297   0Rc0r 9298    .R cmr 9302    <R cltr 9303   RRcr 9545   0cc0 9546    <RR cltrr 9550    x. cmul 9551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-omul 7198  df-er 7374  df-ec 7376  df-qs 7380  df-ni 9304  df-pli 9305  df-mi 9306  df-lti 9307  df-plpq 9340  df-mpq 9341  df-ltpq 9342  df-enq 9343  df-nq 9344  df-erq 9345  df-plq 9346  df-mq 9347  df-1nq 9348  df-rq 9349  df-ltnq 9350  df-np 9413  df-1p 9414  df-plp 9415  df-mp 9416  df-ltp 9417  df-enr 9487  df-nr 9488  df-plr 9489  df-mr 9490  df-ltr 9491  df-0r 9492  df-m1r 9494  df-c 9552  df-0 9553  df-r 9556  df-mul 9558  df-lt 9559
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator