Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axpre-mulgt0 Structured version   Unicode version

Theorem axpre-mulgt0 9599
 Description: The product of two positive reals is positive. Axiom 21 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axmulgt0 9715. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-mulgt0 9623. (Contributed by NM, 13-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-mulgt0

Proof of Theorem axpre-mulgt0
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 9562 . 2
2 elreal 9562 . 2
3 breq2 4427 . . . 4
43anbi1d 709 . . 3
5 oveq1 6312 . . . 4
65breq2d 4435 . . 3
74, 6imbi12d 321 . 2
8 breq2 4427 . . . 4
98anbi2d 708 . . 3
10 oveq2 6313 . . . 4
1110breq2d 4435 . . 3
129, 11imbi12d 321 . 2
13 df-0 9553 . . . . . 6
1413breq1i 4430 . . . . 5
15 ltresr 9571 . . . . 5
1614, 15bitri 252 . . . 4
1713breq1i 4430 . . . . 5
18 ltresr 9571 . . . . 5
1917, 18bitri 252 . . . 4
20 mulgt0sr 9536 . . . 4
2116, 19, 20syl2anb 481 . . 3
2213a1i 11 . . . . 5
23 mulresr 9570 . . . . 5
2422, 23breq12d 4436 . . . 4
25 ltresr 9571 . . . 4
2624, 25syl6bb 264 . . 3
2721, 26syl5ibr 224 . 2
281, 2, 7, 12, 272gencl 3112 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  cop 4004   class class class wbr 4423  (class class class)co 6305  cnr 9297  c0r 9298   cmr 9302   cltr 9303  cr 9545  cc0 9546   cltrr 9550   cmul 9551 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-omul 7198  df-er 7374  df-ec 7376  df-qs 7380  df-ni 9304  df-pli 9305  df-mi 9306  df-lti 9307  df-plpq 9340  df-mpq 9341  df-ltpq 9342  df-enq 9343  df-nq 9344  df-erq 9345  df-plq 9346  df-mq 9347  df-1nq 9348  df-rq 9349  df-ltnq 9350  df-np 9413  df-1p 9414  df-plp 9415  df-mp 9416  df-ltp 9417  df-enr 9487  df-nr 9488  df-plr 9489  df-mr 9490  df-ltr 9491  df-0r 9492  df-m1r 9494  df-c 9552  df-0 9553  df-r 9556  df-mul 9558  df-lt 9559 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator