MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axpre-lttri Structured version   Unicode version

Theorem axpre-lttri 9545
Description: Ordering on reals satisfies strict trichotomy. Axiom 18 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axlttri 9659. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-lttri 9569. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-lttri  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <RR  A ) ) )

Proof of Theorem axpre-lttri
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 9511 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 9511 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 breq1 4440 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  A  <RR  <. y ,  0R >. ) )
4 eqeq1 2447 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  <->  A  =  <. y ,  0R >. ) )
5 breq2 4441 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.  <->  <. y ,  0R >. 
<RR  A ) )
64, 5orbi12d 709 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  = 
<. y ,  0R >.  \/ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. )  <-> 
( A  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A ) ) )
76notbid 294 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( -.  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  <. x ,  0R >. )  <->  -.  ( A  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  A ) ) )
83, 7bibi12d 321 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  -.  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  <. x ,  0R >. ) )  <->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  -.  ( A  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A ) ) ) )
9 breq2 4441 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  A  <RR  B ) )
10 eqeq2 2458 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  =  <. y ,  0R >.  <-> 
A  =  B ) )
11 breq1 4440 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( <. y ,  0R >.  <RR  A  <->  B  <RR  A ) )
1210, 11orbi12d 709 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A )  <-> 
( A  =  B  \/  B  <RR  A ) ) )
1312notbid 294 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( -.  ( A  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A )  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <RR  A ) ) )
149, 13bibi12d 321 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  <RR  <. y ,  0R >.  <->  -.  ( A  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >.  <RR  A ) )  <->  ( A  <RR  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <RR  A ) ) ) )
15 ltsosr 9474 . . . 4  |-  <R  Or  R.
16 sotric 4816 . . . 4  |-  ( ( 
<R  Or  R.  /\  (
x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( x  <R  y  <->  -.  ( x  =  y  \/  y  <R  x ) ) )
1715, 16mpan 670 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( x  <R  y  <->  -.  ( x  =  y  \/  y  <R  x
) ) )
18 ltresr 9520 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  x  <R  y )
19 vex 3098 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
2019eqresr 9517 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  = 
<. y ,  0R >.  <->  x  =  y )
21 ltresr 9520 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >.  <->  y  <R  x )
2220, 21orbi12i 521 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  0R >.  = 
<. y ,  0R >.  \/ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. x ,  0R >. )  <-> 
( x  =  y  \/  y  <R  x
) )
2322notbii 296 . . 3  |-  ( -.  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  <. x ,  0R >. )  <->  -.  ( x  =  y  \/  y  <R  x ) )
2417, 18, 233bitr4g 288 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >.  <->  -.  ( <. x ,  0R >.  =  <. y ,  0R >.  \/  <. y ,  0R >. 
<RR  <. x ,  0R >. ) ) )
251, 2, 8, 14, 242gencl 3126 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  <->  -.  ( A  =  B  \/  B  <RR  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   <.cop 4020   class class class wbr 4437    Or wor 4789   R.cnr 9246   0Rc0r 9247    <R cltr 9252   RRcr 9494    <RR cltrr 9499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-ec 7315  df-qs 7319  df-ni 9253  df-pli 9254  df-mi 9255  df-lti 9256  df-plpq 9289  df-mpq 9290  df-ltpq 9291  df-enq 9292  df-nq 9293  df-erq 9294  df-plq 9295  df-mq 9296  df-1nq 9297  df-rq 9298  df-ltnq 9299  df-np 9362  df-1p 9363  df-plp 9364  df-ltp 9366  df-enr 9436  df-nr 9437  df-ltr 9440  df-0r 9441  df-r 9505  df-lt 9508
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator