MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axpre-ltadd Structured version   Unicode version

Theorem axpre-ltadd 9533
Description: Ordering property of addition on reals. Axiom 20 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Note: The more general version for extended reals is axltadd 9647. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-ltadd 9557. (Contributed by NM, 11-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-ltadd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  ->  ( C  +  A )  <RR  ( C  +  B
) ) )

Proof of Theorem axpre-ltadd
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 9497 . . 3  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 9497 . . 3  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 elreal 9497 . . 3  |-  ( C  e.  RR  <->  E. z  e.  R.  <. z ,  0R >.  =  C )
4 breq1 4442 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  A  <RR  <. y ,  0R >. ) )
5 oveq2 6278 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. x ,  0R >. )  =  ( <. z ,  0R >.  +  A
) )
65breq1d 4449 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. z ,  0R >.  + 
<. x ,  0R >. ) 
<RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  <->  ( <. z ,  0R >.  +  A
)  <RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. ) ) )
74, 6bibi12d 319 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  ( <. z ,  0R >.  + 
<. x ,  0R >. ) 
<RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. ) )  <->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  ( <. z ,  0R >.  +  A )  <RR  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. y ,  0R >. ) ) ) )
8 breq2 4443 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  A  <RR  B ) )
9 oveq2 6278 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  =  ( <. z ,  0R >.  +  B
) )
109breq2d 4451 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( <. z ,  0R >.  +  A )  <RR  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. y ,  0R >. )  <-> 
( <. z ,  0R >.  +  A )  <RR  (
<. z ,  0R >.  +  B ) ) )
118, 10bibi12d 319 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  <RR  <. y ,  0R >.  <-> 
( <. z ,  0R >.  +  A )  <RR  (
<. z ,  0R >.  + 
<. y ,  0R >. ) )  <->  ( A  <RR  B  <-> 
( <. z ,  0R >.  +  A )  <RR  (
<. z ,  0R >.  +  B ) ) ) )
12 oveq1 6277 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( <. z ,  0R >.  +  A
)  =  ( C  +  A ) )
13 oveq1 6277 . . . . 5  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( <. z ,  0R >.  +  B
)  =  ( C  +  B ) )
1412, 13breq12d 4452 . . . 4  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( ( <. z ,  0R >.  +  A )  <RR  ( <.
z ,  0R >.  +  B )  <->  ( C  +  A )  <RR  ( C  +  B ) ) )
1514bibi2d 316 . . 3  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( ( A  <RR  B  <->  ( <. z ,  0R >.  +  A
)  <RR  ( <. z ,  0R >.  +  B
) )  <->  ( A  <RR  B  <->  ( C  +  A )  <RR  ( C  +  B ) ) ) )
16 ltasr 9466 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  R.  ->  (
x  <R  y  <->  ( z  +R  x )  <R  (
z  +R  y ) ) )
1716adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  R.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( x  <R  y  <->  ( z  +R  x )  <R  (
z  +R  y ) ) )
18 ltresr 9506 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  x  <R  y )
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  R.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  x  <R  y ) )
20 addresr 9504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  R.  /\  x  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. x ,  0R >. )  =  <. (
z  +R  x ) ,  0R >. )
21 addresr 9504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  R.  /\  y  e.  R. )  ->  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  =  <. (
z  +R  y ) ,  0R >. )
2220, 21breqan12d 4454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  R.  /\  x  e.  R. )  /\  ( z  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( ( <. z ,  0R >.  + 
<. x ,  0R >. ) 
<RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  <->  <. ( z  +R  x ) ,  0R >. 
<RR  <. ( z  +R  y ) ,  0R >. ) )
2322anandis 828 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  R.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( ( <. z ,  0R >.  + 
<. x ,  0R >. ) 
<RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  <->  <. ( z  +R  x ) ,  0R >. 
<RR  <. ( z  +R  y ) ,  0R >. ) )
24 ltresr 9506 . . . . . . 7  |-  ( <.
( z  +R  x
) ,  0R >.  <RR  <. ( z  +R  y
) ,  0R >.  <->  (
z  +R  x ) 
<R  ( z  +R  y
) )
2523, 24syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  R.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( ( <. z ,  0R >.  + 
<. x ,  0R >. ) 
<RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. )  <->  ( z  +R  x )  <R  (
z  +R  y ) ) )
2617, 19, 253bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  R.  /\  ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )
)  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  ( <. z ,  0R >.  +  <. x ,  0R >. )  <RR  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. y ,  0R >. ) ) )
2726ancoms 451 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R. )  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  ( <. z ,  0R >.  +  <. x ,  0R >. )  <RR  ( <.
z ,  0R >.  + 
<. y ,  0R >. ) ) )
28273impa 1189 . . 3  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  ( <. z ,  0R >.  + 
<. x ,  0R >. ) 
<RR  ( <. z ,  0R >.  +  <. y ,  0R >. ) ) )
291, 2, 3, 7, 11, 15, 283gencl 3138 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  <->  ( C  +  A )  <RR  ( C  +  B ) ) )
3029biimpd 207 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  ->  ( C  +  A )  <RR  ( C  +  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   <.cop 4022   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   R.cnr 9232   0Rc0r 9233    +R cplr 9236    <R cltr 9238   RRcr 9480    + caddc 9484    <RR cltrr 9485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-ec 7305  df-qs 7309  df-ni 9239  df-pli 9240  df-mi 9241  df-lti 9242  df-plpq 9275  df-mpq 9276  df-ltpq 9277  df-enq 9278  df-nq 9279  df-erq 9280  df-plq 9281  df-mq 9282  df-1nq 9283  df-rq 9284  df-ltnq 9285  df-np 9348  df-1p 9349  df-plp 9350  df-ltp 9352  df-enr 9422  df-nr 9423  df-plr 9424  df-ltr 9426  df-0r 9427  df-c 9487  df-r 9491  df-add 9492  df-lt 9494
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator