Theorem axpowndlem4 6104

Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions.

Assertion

Ref	Expression
axpowndlem4	|- (-. A.y y = x -> (-. A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))

Proof of Theorem axpowndlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpowndlem3 6103	. . . . 5 |- (-. x = w -> E.xA.w(A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> w e. x))
2	1	ax-gen 1305	. . . 4 |- A.w(-. x = w -> E.xA.w(A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> w e. x))
3		hbnae 1507	. . . . . 6 |- (-. A.y y = x -> A.y -. A.y y = x)
4		hbnae 1507	. . . . . 6 |- (-. A.y y = z -> A.y -. A.y y = z)
5	3, 4	hban 1356	. . . . 5 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> A.y(-. A.y y = x /\ -. A.y y = z))
6		dveeq1 1745	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = x -> (x = w -> A.y x = w))
7	3, 6	hbnd 1467	. . . . . . 7 |- (-. A.y y = x -> (-. x = w -> A.y -. x = w))
8	7	adantr 425	. . . . . 6 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (-. x = w -> A.y -. x = w))
9		hbnae 1507	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = x -> A.x -. A.y y = x)
10		hbnae 1507	. . . . . . . 8 |- (-. A.y y = z -> A.x -. A.y y = z)
11	9, 10	hban 1356	. . . . . . 7 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> A.x(-. A.y y = x /\ -. A.y y = z))
12		ax-17 1317	. . . . . . . 8 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> A.w(-. A.y y = x /\ -. A.y y = z))
13		hbnae 1507	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.y y = x -> A.z -. A.y y = x)
14		dveel1 1747	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.y y = x -> (x e. w -> A.y x e. w))
15	13, 14	hbexd 1472	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. A.y y = x -> (E.z x e. w -> A.yE.z x e. w))
16	15	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (E.z x e. w -> A.yE.z x e. w))
17		ax-15 1751	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. A.y y = x -> (-. A.y y = z -> (x e. z -> A.y x e. z)))
18	17	imp 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (x e. z -> A.y x e. z))
19	12, 18	hbald 1471	. . . . . . . . . . 11 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (A.w x e. z -> A.yA.w x e. z))
20	5, 16, 19	hbimd 1468	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> ((E.z x e. w -> A.w x e. z) -> A.y(E.z x e. w -> A.w x e. z)))
21	11, 20	hbald 1471	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> A.yA.x(E.z x e. w -> A.w x e. z)))
22		dveel2 1748	. . . . . . . . . 10 |- (-. A.y y = x -> (w e. x -> A.y w e. x))
23	22	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (w e. x -> A.y w e. x))
24	5, 21, 23	hbimd 1468	. . . . . . . 8 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> ((A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> w e. x) -> A.y(A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> w e. x)))
25	12, 24	hbald 1471	. . . . . . 7 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (A.w(A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> w e. x) -> A.yA.w(A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> w e. x)))
26	11, 25	hbexd 1472	. . . . . 6 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (E.xA.w(A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> w e. x) -> A.yE.xA.w(A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> w e. x)))
27	5, 8, 26	hbimd 1468	. . . . 5 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> ((-. x = w -> E.xA.w(A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> w e. x)) -> A.y(-. x = w -> E.xA.w(A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> w e. x))))
28		equequ2 1495	. . . . . . . . 9 |- (w = y -> (x = w <-> x = y))
29	28	notbid 673	. . . . . . . 8 |- (w = y -> (-. x = w <-> -. x = y))
30	29	adantl 424	. . . . . . 7 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ w = y) -> (-. x = w <-> -. x = y))
31		nd5 6094	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (-. A.y y = x -> (w = y -> A.x w = y))
32	31	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (w = y -> A.x w = y))
33	32	imdistani 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ w = y) -> ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y))
34		hba1 1350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.x w = y -> A.xA.x w = y)
35	11, 34	hban 1356	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> A.x((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y))
36		nd5 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (-. A.y y = z -> (w = y -> A.z w = y))
37	36	imdistani 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((-. A.y y = z /\ w = y) -> (-. A.y y = z /\ A.z w = y))
38		hba1 1350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (A.z w = y -> A.zA.z w = y)
39		elequ2 1497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (w = y -> (x e. w <-> x e. y))
40	39	a4s 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (A.z w = y -> (x e. w <-> x e. y))
41	38, 40	exbid 1460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A.z w = y -> (E.z x e. w <-> E.z x e. y))
42	41	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((-. A.y y = z /\ A.z w = y) -> (E.z x e. w <-> E.z x e. y))
43	37, 42	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((-. A.y y = z /\ w = y) -> (E.z x e. w <-> E.z x e. y))
44		ax-4 1319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (A.x w = y -> w = y)
45	43, 44	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((-. A.y y = z /\ A.x w = y) -> (E.z x e. w <-> E.z x e. y))
46	45	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> (E.z x e. w <-> E.z x e. y))
47		biidd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (w = y -> (x e. z <-> x e. z))
48	47	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (w = y -> (x e. z <-> x e. z)))
49	5, 18, 48	cbvald 1702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (A.w x e. z <-> A.y x e. z))
50	49	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> (A.w x e. z <-> A.y x e. z))
51	46, 50	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> ((E.z x e. w -> A.w x e. z) <-> (E.z x e. y -> A.y x e. z)))
52	35, 51	albid 1459	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ A.x w = y) -> (A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) <-> A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z)))
53	33, 52	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ w = y) -> (A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) <-> A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z)))
54		elequ1 1496	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = y -> (w e. x <-> y e. x))
55	54	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ w = y) -> (w e. x <-> y e. x))
56	53, 55	imbi12d 688	. . . . . . . . . . 11 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ w = y) -> ((A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> w e. x) <-> (A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
57	56	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (w = y -> ((A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> w e. x) <-> (A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
58	5, 24, 57	cbvald 1702	. . . . . . . . 9 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (A.w(A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> w e. x) <-> A.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
59	11, 58	exbid 1460	. . . . . . . 8 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (E.xA.w(A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> w e. x) <-> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
60	59	adantr 425	. . . . . . 7 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ w = y) -> (E.xA.w(A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> w e. x) <-> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
61	30, 60	imbi12d 688	. . . . . 6 |- (((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) /\ w = y) -> ((-. x = w -> E.xA.w(A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> w e. x)) <-> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
62	61	ex 402	. . . . 5 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (w = y -> ((-. x = w -> E.xA.w(A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> w e. x)) <-> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))))
63	5, 27, 62	cbvald 1702	. . . 4 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (A.w(-. x = w -> E.xA.w(A.x(E.z x e. w -> A.w x e. z) -> w e. x)) <-> A.y(-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))
64	2, 63	mpbii 210	. . 3 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> A.y(-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
65	64	19.21bi 1408	. 2 |- ((-. A.y y = x /\ -. A.y y = z) -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x)))
66	65	ex 402	1 |- (-. A.y y = x -> (-. A.y y = z -> (-. x = y -> E.xA.y(A.x(E.z x e. y -> A.y x e. z) -> y e. x))))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326

This theorem is referenced by:  axpownd 6105

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-15 1751  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049

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