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Theorem axpowndlem4 9050
Description: Lemma for the Axiom of Power Sets with no distinct variable conditions. (Contributed by NM, 4-Jan-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
axpowndlem4  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( -.  A. y  y  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )

Proof of Theorem axpowndlem4
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axpowndlem3 9049 . . . . 5  |-  ( -.  x  =  w  ->  E. x A. w ( A. x ( E. z  x  e.  w  ->  A. w  x  e.  z )  ->  w  e.  x ) )
21ax-gen 1679 . . . 4  |-  A. w
( -.  x  =  w  ->  E. x A. w ( A. x
( E. z  x  e.  w  ->  A. w  x  e.  z )  ->  w  e.  x ) )
3 nfnae 2162 . . . . . 6  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  x
4 nfnae 2162 . . . . . 6  |-  F/ y  -.  A. y  y  =  z
53, 4nfan 2021 . . . . 5  |-  F/ y ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )
6 nfcvf 2625 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ y x )
76adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ y x )
8 nfcvd 2603 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ y w )
97, 8nfeqd 2609 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y  x  =  w )
109nfnd 1994 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y  -.  x  =  w
)
11 nfnae 2162 . . . . . . . 8  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  x
12 nfnae 2162 . . . . . . . 8  |-  F/ x  -.  A. y  y  =  z
1311, 12nfan 2021 . . . . . . 7  |-  F/ x
( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )
14 nfv 1771 . . . . . . . 8  |-  F/ w
( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )
15 nfnae 2162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  x
16 nfnae 2162 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z  -.  A. y  y  =  z
1715, 16nfan 2021 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )
187, 8nfeld 2610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y  x  e.  w )
1917, 18nfexd 2045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y E. z  x  e.  w )
20 nfcvf 2625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ y z )
2120adantl 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ y z )
227, 21nfeld 2610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y  x  e.  z )
2314, 22nfald 2044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y A. w  x  e.  z )
2419, 23nfimd 2010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y
( E. z  x  e.  w  ->  A. w  x  e.  z )
)
2513, 24nfald 2044 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y A. x ( E. z  x  e.  w  ->  A. w  x  e.  z ) )
268, 7nfeld 2610 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y  w  e.  x )
2725, 26nfimd 2010 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y
( A. x ( E. z  x  e.  w  ->  A. w  x  e.  z )  ->  w  e.  x ) )
2814, 27nfald 2044 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y A. w ( A. x
( E. z  x  e.  w  ->  A. w  x  e.  z )  ->  w  e.  x ) )
2913, 28nfexd 2045 . . . . . 6  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y E. x A. w ( A. x ( E. z  x  e.  w  ->  A. w  x  e.  z )  ->  w  e.  x ) )
3010, 29nfimd 2010 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ y
( -.  x  =  w  ->  E. x A. w ( A. x
( E. z  x  e.  w  ->  A. w  x  e.  z )  ->  w  e.  x ) ) )
31 equequ2 1878 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  y  ->  (
x  =  w  <->  x  =  y ) )
3231notbid 300 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  ( -.  x  =  w  <->  -.  x  =  y ) )
3332adantl 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( -.  x  =  w  <->  -.  x  =  y ) )
34 nfcvd 2603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ x w )
35 nfcvf2 2626 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  F/_ x y )
3635adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ x y )
3734, 36nfeqd 2609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ x  w  =  y )
3813, 37nfan1 2020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )
39 nfcvd 2603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ z w )
40 nfcvf2 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( -. 
A. y  y  =  z  ->  F/_ z y )
4140adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/_ z y )
4239, 41nfeqd 2609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  F/ z  w  =  y )
4317, 42nfan1 2020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )
44 elequ2 1911 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  y ) )
4544adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( x  e.  w  <->  x  e.  y ) )
4643, 45exbid 1974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( E. z  x  e.  w  <->  E. z  x  e.  y )
)
47 biidd 245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  z ) )
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( w  =  y  ->  ( x  e.  z  <->  x  e.  z ) ) )
495, 22, 48cbvald 2128 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. w  x  e.  z  <->  A. y  x  e.  z ) )
5049adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( A. w  x  e.  z  <->  A. y  x  e.  z )
)
5146, 50imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( ( E. z  x  e.  w  ->  A. w  x  e.  z )  <->  ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
5238, 51albid 1973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( A. x ( E. z  x  e.  w  ->  A. w  x  e.  z )  <->  A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z ) ) )
53 elequ1 1904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  y  ->  (
w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
5453adantl 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( w  e.  x  <->  y  e.  x ) )
5552, 54imbi12d 326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( ( A. x
( E. z  x  e.  w  ->  A. w  x  e.  z )  ->  w  e.  x )  <-> 
( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5655ex 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( w  =  y  ->  ( ( A. x ( E. z  x  e.  w  ->  A. w  x  e.  z )  ->  w  e.  x )  <->  ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
575, 27, 56cbvald 2128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. w ( A. x
( E. z  x  e.  w  ->  A. w  x  e.  z )  ->  w  e.  x )  <->  A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5813, 57exbid 1974 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( E. x A. w ( A. x ( E. z  x  e.  w  ->  A. w  x  e.  z )  ->  w  e.  x )  <->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
5958adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( E. x A. w ( A. x
( E. z  x  e.  w  ->  A. w  x  e.  z )  ->  w  e.  x )  <->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
6033, 59imbi12d 326 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A. y 
y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  /\  w  =  y )  -> 
( ( -.  x  =  w  ->  E. x A. w ( A. x
( E. z  x  e.  w  ->  A. w  x  e.  z )  ->  w  e.  x ) )  <->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
6160ex 440 . . . . 5  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( w  =  y  ->  ( ( -.  x  =  w  ->  E. x A. w
( A. x ( E. z  x  e.  w  ->  A. w  x  e.  z )  ->  w  e.  x ) )  <->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) ) )
625, 30, 61cbvald 2128 . . . 4  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( A. w ( -.  x  =  w  ->  E. x A. w ( A. x
( E. z  x  e.  w  ->  A. w  x  e.  z )  ->  w  e.  x ) )  <->  A. y ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
632, 62mpbii 216 . . 3  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  A. y
( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
646319.21bi 1957 . 2  |-  ( ( -.  A. y  y  =  x  /\  -.  A. y  y  =  z )  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x ( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) )
6564ex 440 1  |-  ( -. 
A. y  y  =  x  ->  ( -.  A. y  y  =  z  ->  ( -.  x  =  y  ->  E. x A. y ( A. x
( E. z  x  e.  y  ->  A. y  x  e.  z )  ->  y  e.  x ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1452   E.wex 1673   F/_wnfc 2589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-reg 8132
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982
This theorem is referenced by:  axpownd  9051
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